Неабелева теория полей классов
В математике — неабелева теория полей классов крылатая фраза, означающая расширение результатов теории полей классов , относительно полного и классического набора результатов об абелевых расширениях любого числового поля K , до общего расширения Галуа L / K . Хотя теория полей классов была в основном известна к 1930 году, соответствующая неабелева теория никогда не была сформулирована в окончательном и общепринятом смысле. [1]
История [ править ]
Изложение теории поля классов в терминах групповых когомологий было осуществлено Клодом Шевалле , Эмилем Артеном и другими, главным образом, в 1940-х годах. Это привело к формулировке основных результатов с помощью групповых когомологий группы классов иделей . Теоремы когомологического подхода не зависят от того, является ли группа Галуа G группы L / K абелевой. Эта теория никогда не рассматривалась как востребованная неабелева теория. Первая причина, на которую можно указать, состоит в том, что это не дало свежей информации о расщеплении простых идеалов в расширении Галуа ; Распространенный способ объяснить цель неабелевой теории поля классов состоит в том, что она должна предоставить более явный способ выражения таких моделей расщепления. [2]
Поэтому когомологический подход имел ограниченное применение даже при формулировании неабелевой теории полей классов. За историей стояло желание Шевалле написать доказательства теории полей классов, не используя ряды Дирихле : другими словами, исключить L-функции . Первая волна доказательств центральных теорем теории полей классов была структурирована как состоящая из двух «неравенств» (такая же структура, как и в приведённых сейчас доказательствах фундаментальной теоремы теории Галуа , но гораздо более сложной). Одно из двух неравенств включало аргумент с L-функциями. [3]
Позднее, обратив это развитие вспять, стало понятно, что для обобщения взаимности Артина на неабелев случай фактически было важно найти новый способ выражения L-функций Артина . Современная формулировка этой амбиции осуществляется посредством программы Ленглендса : в которой даются основания полагать, что L-функции Артина также являются L-функциями автоморфных представлений . [4] В начале двадцать первого века именно такая формулировка понятия неабелевой теории поля классов получила самое широкое признание экспертов. [5]
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Остается проблема создания неабелевой теории полей классов для нормальных расширений с неабелевой группой Галуа. От Кузьмин, Л.В. (2001) [1994], «Теория полей классов» , Энциклопедия математики , EMS Press .
- ^ На статистическом уровне классический результат о простых числах в арифметических прогрессиях Дирихле обобщается на теорему о плотности Чеботарёва ; то, что требуется, является обобщением того же масштаба квадратичной взаимности .
- ^ В сегодняшней терминологии это второе неравенство. см. в разделе «Формирование класса» . Современную презентацию
- ^ Джеймс В. Когделл, Функториальность, обратные теоремы и приложения (PDF) утверждает, что сама функториальность является проявлением видения Ленглендса неабелевой теории поля классов .
- ^ Вопрос о законах взаимности и символах для расширений неабелевых полей более правильно вписывается в неабелеву теорию полей классов и программу Ленглендса : из Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Проблемы Гильберта» , Энциклопедия математики , EMS Press