группа Галуа

В математике , в области абстрактной алгебры, известной как теория Галуа , группа Галуа определенного типа расширения поля — это определенная группа, связанная с расширением поля. Изучение расширений полей и их связи с полиномами , которые их порождают, через группы Галуа, называется теорией Галуа , названной так в честь Эвариста Галуа , который первым их открыл.

Более элементарное обсуждение групп Галуа в терминах групп перестановок см. в статье о теории Галуа .

Определение [ править ]

Предположим, что $E$ является расширением поля $F$ (написано как $E/F$ и прочитайте « E над F »). Автоморфизм $E/F$ определяется как автоморфизм $E$ это исправляет $F$ точечно. Другими словами, автоморфизм $E/F$ является изоморфизмом $\alpha :E\to E$ такой, что $\alpha (x)=x$ для каждого $x\in F$ . Множество автоморфизмов всех $E/F$ образует группу с помощью операции композиции функций . Эту группу иногда обозначают $\operatorname {Aut} (E/F).$

Если $E/F$ является расширением Галуа , то $\operatorname {Aut} (E/F)$ называется Галуа группой $E/F$ , и обычно обозначается $\operatorname {Gal} (E/F)$ . ^[1]

Если $E/F$ не является расширением Галуа, то группа Галуа $E/F$ иногда определяется как $\operatorname {Aut} (K/F)$ , где $K$ это Галуа замыкание $E$ .

Группа Галуа многочлена [ править ]

Другое определение группы Галуа исходит из группы Галуа полинома. $f\in F[x]$ . Если есть поле $K/F$ такой, что $f$ факторы как произведение линейных полиномов

f(x)=(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{k})\in K[x]

над полем $K$ , то группа Галуа многочлена $f$ определяется как группа Галуа $K/F$ где $K$ минимально среди всех таких полей.

Структура Галуа групп

теории Галуа Основная теорема

Одна из важных структурных теорем теории Галуа вытекает из фундаментальной теоремы теории Галуа . Это утверждает, что для конечного расширения Галуа $K/k$ , существует биекция между множеством подполей $k\subset E\subset K$ и подгруппы $H\subset G.$ Затем, $E$ задается набором инвариантов $K$ под действием $H$ , так

E=K^{H}=\{a\in K:ga=a{\text{ where }}g\in H\}

Более того, если $H$ является нормальной подгруппой , то $G/H\cong \operatorname {Gal} (E/k)$ . И наоборот, если $E/k$ является обычным расширением поля, то соответствующая подгруппа в $\operatorname {Gal} (K/k)$ это нормальная группа.

Решётчатая структура [ править ]

Предполагать $K_{1},K_{2}$ являются расширениями Галуа $k$ с группами Галуа $G_{1},G_{2}.$ Поле $K_{1}K_{2}$ с группой Галуа $G=\operatorname {Gal} (K_{1}K_{2}/k)$ есть инъекция $G\to G_{1}\times G_{2}$ который является изоморфизмом всякий раз, когда $K_{1}\cap K_{2}=k$ . ^[2]

Введение [ править ]

Как следствие, это можно ввести конечное число раз. Учитывая расширения Галуа $K_{1},\ldots ,K_{n}/k$ где $K_{i+1}\cap (K_{1}\cdots K_{i})=k,$ то существует изоморфизм соответствующих групп Галуа:

\operatorname {Gal} (K_{1}\cdots K_{n}/k)\cong \operatorname {Gal} (K_{1}/k)\times \cdots \times \operatorname {Gal} (K_{n}/k).

Примеры [ править ]

В следующих примерах $F$ это поле, и $\mathbb {C} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Q}$ — поля комплексных , действительных и рациональных чисел соответственно. Обозначение $F (a)$ указывает на расширение поля, полученное элемента a $к$ полю $F.$ присоединением

Вычислительные инструменты [ править ]

Галуа и степень расширения Мощность поля группы

Одно из основных предложений, необходимых для полного определения групп Галуа. ^[3] расширения конечного поля заключается в следующем: учитывая полином $f(x)\in F[x]$ , позволять $E/F$ быть его расширением поля расщепления. Тогда порядок группы Галуа равен степени расширения поля; то есть,

\left|\operatorname {Gal} (E/F)\right|=[E:F]

Критерий Эйзенштейна [ править ]

Полезным инструментом для определения группы Галуа многочлена является критерий Эйзенштейна . Если полином $f\in F[x]$ факторы в неприводимые многочлены $f=f_{1}\cdots f_{k}$ группа Галуа $f$ можно определить с помощью групп Галуа каждого $f_{i}$ поскольку группа Галуа $f$ содержит каждую из групп Галуа $f_{i}.$

Тривиальная группа [ править ]

$\operatorname {Gal} (F/F)$ — тривиальная группа, имеющая единственный элемент, а именно тождественный автоморфизм.

Другой тривиальный пример группы Галуа: $\operatorname {Aut} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} ).$ Действительно, можно показать, что любой автоморфизм $\mathbb {R}$ должно сохранять порядок действительных чисел и, следовательно, должно быть тождественным.

Рассмотрим поле $K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$ Группа $\operatorname {Aut} (K/\mathbb {Q} )$ содержит только тождественный автоморфизм. Это потому, что $K$ не является нормальным расширением , поскольку два других кубических корня $2$ ,

\exp \left({\tfrac {2\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}}

и

\exp \left({\tfrac {4\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}},

отсутствуют в расширении — другими словами, $K$ не является полем разложения .

группы абелевы Конечные

Группа Галуа $\operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )$ имеет два элемента: тождественный автоморфизм и автоморфизм комплексного сопряжения . ^[4]

Квадратичные расширения [ править ]

Расширение поля второй степени $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$ есть группа Галуа $\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )$ с двумя элементами: тождественным автоморфизмом и автоморфизмом $\sigma$ который обменивает ${\sqrt {2}}$ и $-{\sqrt {2}}$ . Этот пример обобщается для простого числа $p\in \mathbb {N} .$

Произведение квадратичных расширений [ править ]

Используя решетчатую структуру групп Галуа, для неравных простых чисел $p_{1},\ldots ,p_{k}$ группа Галуа $\mathbb {Q} \left({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}}\right)/\mathbb {Q}$ является

\operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})/\mathbb {Q} \right)\times \cdots \times \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{k}

Циклотомные расширения [ править ]

Другой полезный класс примеров связан с полями расщепления круговых полиномов . Это полиномы $\Phi _{n}$ определяется как

\Phi _{n}(x)=\prod _{\begin{matrix}1\leq k\leq n\\\gcd(k,n)=1\end{matrix}}\left(x-e^{\frac {2ik\pi }{n}}\right)

чья степень $\phi (n)$ , полная функция Эйлера при $n$ . Тогда поле расщепления над $\mathbb {Q}$ является $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ и имеет автоморфизмы $\sigma _{a}$ отправка $\zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{a}$ для $1\leq a<n$ относительно простой для $n$ . Поскольку степень поля равна степени многочлена, эти автоморфизмы порождают группу Галуа. ^[5] Если $n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}},$ затем

\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )\cong \prod _{a_{i}}\operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} (\zeta _{p_{i}^{a_{i}}})/\mathbb {Q} \right)

Если $n$ является простым $p$ , то следствием этого является

\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{p})/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z}

Фактически, любая конечная абелева группа может быть найдена как группа Галуа некоторого подполя расширения кругового поля по теореме Кронекера-Вебера .

Конечные поля [ править ]

Другой полезный класс примеров групп Галуа с конечными абелевыми группами происходит из конечных полей. Если $q$ — степень простого числа и если $F=\mathbb {F} _{q}$ и $E=\mathbb {F} _{q^{n}}$ обозначим поля Галуа порядка $q$ и $q^{n}$ соответственно, тогда $\operatorname {Gal} (E/F)$ является циклическим порядка $n$ и порождается гомоморфизмом Фробениуса .

Примеры степени 4 [ править ]

Расширение поля $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q}$ это пример степени $4$ расширение поля. ^[6] Имеет два автоморфизма $\sigma ,\tau$ где $\sigma ({\sqrt {2}})=-{\sqrt {2}}$ и $\tau ({\sqrt {3}})=-{\sqrt {3}}.$ Поскольку эти два генератора определяют группу порядка $4$ , четверка Клейна , они определяют всю группу Галуа. ^[3]

Другой пример дан из поля расщепления $E/\mathbb {Q}$ многочлена

f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1

Обратите внимание, потому что $(x-1)f(x)=x^{5}-1,$ корни $f(x)$ являются $\exp \left({\tfrac {2k\pi i}{5}}\right).$ Есть автоморфизмы

{\begin{cases}\sigma _{l}:E\to E\\\exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\mapsto \left(\exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\right)^{l}\end{cases}}

создание группы порядка $4$ . С $\sigma _{2}$ порождает эту группу, группа Галуа изоморфна $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ .

Конечные неабелевы группы [ править ]

Рассмотрим сейчас $L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega ),$ где $\omega$ является примитивным кубическим корнем из единицы . Группа $\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )$ изоморфна $S 3$ , группе диэдра порядка 6 , а $L$ фактически является полем расщепления $x^{3}-2$ над $\mathbb {Q} .$

Группа кватернионов [ править ]

Группу кватернионов можно найти как группу Галуа расширения поля $\mathbb {Q}$ . Например, расширение поля

\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {(2+{\sqrt {2}})(3+{\sqrt {3}})}}\right)

имеет предписанную группу Галуа. ^[7]

Симметричная группа простого порядка [ править ]

Если $f$ — неприводимый многочлен простой степени $p$ с рациональными коэффициентами и ровно двумя невещественными корнями, то группа Галуа $f$ это полная симметричная группа $S_{p}.$ ^[2]

Например, $f(x)=x^{5}-4x+2\in \mathbb {Q} [x]$ неприводимо по критерию Эйзенштейна. Построение графика $f$ с помощью графического программного обеспечения или бумаги показано, что он имеет три действительных корня, следовательно, два комплексных корня, показывая, что его группа Галуа равна $S_{5}$ .

Галуа расширений глобальных полей Сравнение групп

Учитывая поля глобальное расширение $K/k$ (такой как $\mathbb {Q} ({\sqrt[{5}]{3}},\zeta _{5})/\mathbb {Q}$ ) и классы эквивалентности оценок $w$ на $K$ (например, $p$ -адическая оценка ) и $v$ на $k$ такие, что их пополнения дают расширение поля Галуа

$K_{w}/k_{v}$

локальных полей существует индуцированное действие группы Галуа $G=\operatorname {Gal} (K/k)$ на множестве классов эквивалентности нормирований таких, что пополнения полей согласованы. Это означает, что если $s\in G$ то существует индуцированный изоморфизм локальных полей

$s_{w}:K_{w}\to K_{sw}$

Поскольку мы приняли гипотезу о том, что $w$ лежит над $v$ (т.е. существует расширение поля Галуа $K_{w}/k_{v}$ ), морфизм поля $s_{w}$ на самом деле является изоморфизмом $k_{v}$ -алгебры. Если мы возьмем подгруппу изотропии $G$ по классу оценки $w$

$G_{w}=\{s\in G:sw=w\}$

тогда существует сюръекция глобальной группы Галуа в локальную группу Галуа такая, что существует изоморфизм между локальной группой Галуа и подгруппой изотропии. Схематически это означает

${\begin{matrix}\operatorname {Gal} (K/v)&\twoheadrightarrow &\operatorname {Gal} (K_{w}/k_{v})\\\downarrow &&\downarrow \\G&\twoheadrightarrow &G_{w}\end{matrix}}$

где вертикальные стрелки — изоморфизмы. ^[8] Это дает метод построения групп Галуа локальных полей с использованием глобальных групп Галуа.

Бесконечные группы [ править ]

Базовый пример расширения поля с бесконечной группой автоморфизмов: $\operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} )$ , поскольку оно содержит каждое расширение алгебраического поля $E/\mathbb {Q}$ . Например, расширения полей $\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q}$ для элемента без квадратов $a\in \mathbb {Q}$ у каждого есть уникальная степень $2$ автоморфизм, индуцирующий автоморфизм в $\operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} ).$

Одним из наиболее изученных классов бесконечной группы Галуа является абсолютная группа Галуа , которая представляет собой бесконечную проконечную группу, определяемую как обратный предел всех конечных расширений Галуа. $E/F$ для фиксированного поля. Обратный предел обозначается

\operatorname {Gal} ({\overline {F}}/F):=\varprojlim _{E/F{\text{ finite separable}}}{\operatorname {Gal} (E/F)}

,

где ${\overline {F}}$ – сепарабельное замыкание поля $F$ . Обратите внимание, что эта группа является топологической группой . ^[9] Некоторые основные примеры включают в себя $\operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )$ и

\operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {F} }}_{q}/\mathbb {F} _{q})\cong {\hat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}

. ^[10]^[11]

Другой легко вычислимый пример — расширение поля $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q}$ содержащий квадратный корень из каждого положительного простого числа. Есть группа Галуа.

\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q} )\cong \prod _{p}\mathbb {Z} /2

,

которое можно вывести из бесконечного предела

\cdots \to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )

и используя вычисление групп Галуа.

Свойства [ править ]

Значение расширения, являющегося Галуа, состоит в том, что оно подчиняется фундаментальной теореме теории Галуа : замкнутые (относительно топологии Крулля ) подгруппы группы Галуа соответствуют промежуточным полям расширения поля.

Если $E/F$ является расширением Галуа, то $\operatorname {Gal} (E/F)$ можно задать топологию , называемую топологией Крулла, которая превращает ее в проконечную группу .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Некоторые авторы ссылаются на $\operatorname {Aut} (E/F)$ как группа Галуа для произвольных расширений $E/F$ и используйте соответствующие обозначения, например Jacobson 2009 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ланг, Серж. Алгебра (пересмотренное третье изд.). стр. 263, 273.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б «Абстрактная алгебра» (PDF) . стр. 372–377. Архивировано (PDF) из оригинала 18 декабря 2011 г.
^ Кук, Роджер Л. (2008), Классическая алгебра: ее природа, происхождение и использование , John Wiley & Sons, стр. 138, ISBN 9780470277973 .
^ Черт возьми; Фут. Абстрактная алгебра . стр. 596, 14.5 Циклотомные расширения.
^ Поскольку $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {2}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {6}}$ как $\mathbb {Q}$ векторное пространство.
^ Милн. Теория поля . п. 46.
^ «Сравнение глобальной и локальной групп Галуа расширения числовых полей» . Математический обмен стеками . Проверено 11 ноября 2020 г.
^ «9.22 Бесконечная теория Галуа» . Проект Стеки .
^ Милн. «Теория поля» (PDF) . п. 98. Архивировано (PDF) из оригинала 27 августа 2008 г.
^ «Бесконечная теория Галуа» (PDF) . п. 14. Архивировано (PDF) из оригинала 6 апреля 2020 г.

Ссылки [ править ]

Джейкобсон, Натан (2009) [1985]. Основная алгебра I (2-е изд.). Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-47189-1 .
Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556

Внешние ссылки [ править ]

[1] Некоторые авторы ссылаются на $\operatorname {Aut} (E/F)$ как группа Галуа для произвольных расширений $E/F$ и используйте соответствующие обозначения, например Jacobson 2009 .

[:1-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ланг, Серж. Алгебра (пересмотренное третье изд.). стр. 263, 273.

[:0-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б «Абстрактная алгебра» (PDF) . стр. 372–377. Архивировано (PDF) из оригинала 18 декабря 2011 г.

[4] Кук, Роджер Л. (2008), Классическая алгебра: ее природа, происхождение и использование , John Wiley & Sons, стр. 138, ISBN 9780470277973 .

[5] Черт возьми; Фут. Абстрактная алгебра . стр. 596, 14.5 Циклотомные расширения.

[6] Поскольку $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {2}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {6}}$ как $\mathbb {Q}$ векторное пространство.

[7] Милн. Теория поля . п. 46.

[8] «Сравнение глобальной и локальной групп Галуа расширения числовых полей» . Математический обмен стеками . Проверено 11 ноября 2020 г.

[9] «9.22 Бесконечная теория Галуа» . Проект Стеки .

[10] Милн. «Теория поля» (PDF) . п. 98. Архивировано (PDF) из оригинала 27 августа 2008 г.

[11] «Бесконечная теория Галуа» (PDF) . п. 14. Архивировано (PDF) из оригинала 6 апреля 2020 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]