Глобальное поле

В математике глобальное поле — это один из двух типов полей (второй — локальные поля ), которые характеризуются с помощью оценок . Существует два типа глобальных полей :

• Поле алгебраических чисел : расширение конечное $\mathbb {Q}$
• Глобальное функциональное поле : функциональное поле неприводимой , что алгебраической кривой над конечным полем эквивалентно конечному расширению $\mathbb {F} _{q}(T)$, поле рациональных функций одной переменной над конечным полем с $q=p^{n}$ элементы.

Аксиоматическая характеристика этих областей с помощью теории оценки была дана Эмилем Артином и Джорджем Уэплсом в 1940-х годах.

Формальные определения

Основные статьи: Поле алгебраических чисел и Функциональное поле алгебраического многообразия.

Глобальное поле является одним из следующих:

Поле алгебраических чисел

Поле алгебраических чисел F — это конечное (и, следовательно алгебраическое ) полевое поля расширение рациональных чисел Q. , Таким образом, F — это поле, которое содержит Q и имеет конечную размерность если рассматривать его как векторное пространство над Q. ,

Поле функций неприводимой алгебраической кривой над конечным полем

Функциональное поле алгебраического многообразия — это совокупность всех рациональных функций этого многообразия. О неприводимой алгебраической кривой (т. е. одномерном многообразии V ) над конечным полем мы говорим, что рациональная функция на открытом аффинном подмножестве определяется как отношение двух многочленов в аффинном координатном кольце U U , и что Рациональная функция на всем V состоит из таких локальных данных, которые согласуются на пересечениях открытых аффинов. Технически это определяет рациональные функции на V как поле частных аффинного координатного кольца любого открытого аффинного подмножества, поскольку все такие подмножества плотны.

Аналогии между двумя классами полей

Между этими двумя типами полей имеется ряд формальных сходств. Поле любого типа обладает тем свойством, что все его пополнения являются локально компактными полями (см. локальные поля ). Каждое поле любого типа можно реализовать как поле частных , дедекиндовой области в которой каждый ненулевой идеал имеет конечный индекс. В каждом случае имеется формула произведения для ненулевых элементов x :

$\prod _{v}|x|_{v}=1.\$

Аналогия между двумя видами полей была сильной движущей силой в теории алгебраических чисел . Идея аналогии между числовыми полями и римановыми поверхностями восходит к Рихарду Дедекинду и Генриху М. Веберу в девятнадцатом веке. Более строгая аналогия, выраженная идеей «глобального поля», в которой аспект римановой поверхности как алгебраической кривой отображается в кривые, определенные над конечным полем, была построена в 1930-х годах, кульминацией которой стала Римана для кривых над конечными полями. гипотеза Андре Вейля в 1940 году. Терминология может быть принадлежит Вейлю, который написал свою «Основную теорию чисел» (1967) частично для того, чтобы выявить параллелизм.

Обычно проще работать с функциональным полем, а затем попытаться разработать параллельные методы для числового поля. развитие теории Аракелова и ее использование Гердом Фалтингсом в доказательстве гипотезы Морделла Ярким примером является . Аналогия также оказала влияние на развитие теории Ивасавы и основной гипотезы . В доказательстве основной леммы программы Ленглендса также использовались приемы, сводящие случай числового поля к случаю функционального поля.

Теоремы

Хассе

Основная статья: теорема Хассе – Минковского

Теорема Хассе-Минковского является фундаментальным результатом теории чисел , который утверждает, что две квадратичные формы над глобальным полем эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны локально во всех местах , то есть эквивалентны над каждым пополнением поля.

Закон

Основная статья: Закон взаимности Артина

Закон взаимности Артина подразумевает описание абелианизации абсолютной группы Галуа глобального поля K , основанное на локально-глобальном принципе Хассе . Его можно описать в терминах когомологий следующим образом:

Пусть L _v ⁄ K _v — расширение Галуа локальных полей с группой Галуа G . Локальный закон взаимности описывает канонический изоморфизм

$\theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{\times })\to G^{\text{ab}},$

называется локальным символом Артина , локальной картой взаимности или нормальным символом вычета .

Пусть L ⁄ K — расширение Галуа глобальных полей, а CL _. — группа классов идель Л. ​ ​Карты θ _v для разных мест v из K можно собрать в одну глобальную карту символов путем умножения локальных компонентов класса idèle. Одно из утверждений закона взаимности Артина состоит в том, что это приводит к каноническому изоморфизму.

Ссылки

• Артин, Эмиль ; Уэплс, Джордж (1945), «Аксиоматическая характеристика полей с помощью формулы произведения для оценок», Bull. амер. Математика. Соц. , 51 (7): 469–492, doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08383-9 , MR   0013145
• Артин, Эмиль ; Уэплс, Джордж (1946), «Заметки об аксиоматических характеристиках полей», Bull. амер. Математика. Соц. , 52 (4): 245–247, doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08549-3 , MR   0015382
• Дж. В. Кассельс , «Глобальные поля», в книге Дж. В. Касселса и А. Фрелиха (редакторы), Алгебраическая теория чисел , Academic Press , 1973. Глава II, стр. 45–84.
• Дж. В. Касселс, «Локальные поля», издательство Кембриджского университета , 1986, ISBN   0-521-31525-5 . стр.56.
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Том 322. Перевод Шаппахера, Норберта. Берлин: Springer Verlag . ISBN  978-3-540-65399-8 . МР   1697859 . Збл   0956.11021 .
• Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля , Тексты для выпускников по математике, том. 67, перевод Гринберга, Марвина Джея , Нью-Йорк, Гейдельберг, Берлин: Springer-Verlag , ISBN  3-540-90424-7 , Збл   0423.12016
• Серр, Жан-Пьер (1967), «VI. Теория полей локальных классов», в Касселсе, JWS ; Фрелих А. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 128–161, Zbl   0153.07403.
• Серр, Жан-Пьер (29 июня 2013 г.), Local Fields , Springer Science & Business Media, ISBN  978-1-4757-5673-9