Размерность (векторное пространство)

В математике размерность его векторного пространства V — это мощность е. количество векторов) базиса V над (т . базовым полем . ^[1]^[2] Иногда ее называют размерностью Гамеля (в честь Георга Гамеля ) или алгебраической размерностью , чтобы отличить ее от других типов размерности .

Для каждого векторного пространства существует базис, ^[а] и все базы векторного пространства имеют одинаковую мощность; ^[б]в результате размерность векторного пространства определена однозначно. Мы говорим $V$ является конечномерный, если размерность $V$ конечно , и бесконечномерен, если его размерность бесконечна .

Размерность векторного пространства $V$ над полем $F$ можно записать как $\dim _{F}(V)$ или как $[V:F],$ читать «размерность $V$ над $F$ ". Когда $F$ можно вывести из контекста, $\dim(V)$ обычно пишется.

Примеры [ править ]

Векторное пространство $\mathbb {R} ^{3}$ имеет

\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}

в качестве стандартной основы и, следовательно,

\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.

В более общем смысле,

\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,

и даже в более общем плане,

\dim _{F}(F^{n})=n

для любой сферы

F.

Комплексные числа $\mathbb {C}$ являются одновременно реальным и комплексным векторным пространством; у нас есть $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2$ и $\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1.$ Таким образом, размерность зависит от базового поля.

Единственное векторное пространство с размерностью $0$ является $\{0\},$ векторное пространство, состоящее только из своего нулевого элемента.

Свойства [ править ]

Если $W$ является линейным подпространством $V$ затем $\dim(W)\leq \dim(V).$

Чтобы показать, что два конечномерных векторных пространства равны, можно использовать следующий критерий: если $V$ является конечномерным векторным пространством и $W$ является линейным подпространством $V$ с $\dim(W)=\dim(V),$ затем $W=V.$

Космос $\mathbb {R} ^{n}$ имеет стандартную основу $\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},$ где $e_{i}$ это $i$ -й столбец соответствующей единичной матрицы . Поэтому, $\mathbb {R} ^{n}$ имеет размерность $n.$

Любые два конечномерных векторных пространства над $F$ одинаковой размерности изоморфны . Любое биективное отображение между их базами можно однозначно расширить до биективного линейного отображения между векторными пространствами. Если $B$ некоторое множество, векторное пространство с размерностью $|B|$ над $F$ можно построить следующим образом: возьмем множество $F(B)$ всех функций $f:B\to F$ такой, что $f(b)=0$ для всех, кроме конечного числа $b$ в $B.$ Эти функции можно добавлять и умножать с элементами $F$ чтобы получить желаемое $F$ -векторное пространство.

Важный результат о размерностях даёт теорема о ранге-нулевой для линейных отображений .

Если $F/K$ является расширением поля , тогда $F$ в частности, является векторным пространством над $K.$ Кроме того, каждый $F$ -векторное пространство $V$ также является $K$ -векторное пространство. Размеры связаны формулой

\dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\dim _{F}(V).

В частности, каждое комплексное векторное пространство размерности

n

это реальное векторное пространство размерности

2n.

Некоторые формулы связывают размерность векторного пространства с мощностью базового поля и мощностью самого пространства. Если $V$ это векторное пространство над полем $F$ и если размерность $V$ обозначается $\dim V,$ затем:

Если тусклый

V

конечно тогда

|V|=|F|^{\dim V}.

Если тусклый

V

тогда бесконечно

|V|=\max(|F|,\dim V).

Обобщения [ править ]

Векторное пространство можно рассматривать как частный случай матроида , и в последнем имеется четко определенное понятие размерности. Длина модуля и ранг абелевой группы обладают несколькими свойствами, аналогичными размерности векторных пространств.

Размерность Крулля коммутативного кольца , названная в честь Вольфганга Крулля (1899–1971), определяется как максимальное число строгих включений в возрастающую цепочку простых идеалов в кольце.

След [ править ]

В качестве альтернативы размерность векторного пространства можно охарактеризовать как след тождественного оператора . Например, $\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.$ Это определение кажется круговым, но оно допускает полезные обобщения.

Во-первых, он позволяет определить понятие размерности, когда у него есть след, но нет естественного чувства основы. Например, можно иметь алгебру $A$ с картами $\eta :K\to A$ (включение скаляров, называемых единицей ) и отображение $\epsilon :A\to K$ (соответствует следу, называемому счетчиком ). Сочинение $\epsilon \circ \eta :K\to K$ является скаляром (будучи линейным оператором в одномерном пространстве), соответствует «следу идентичности» и дает понятие размерности абстрактной алгебры. На практике в биалгебрах это отображение должно быть тождественным, которое можно получить нормализацией счетчика путем деления на размерность ( $\epsilon :=\textstyle {\frac {1}{n}}\operatorname {tr}$ ), поэтому в этих случаях нормировочная константа соответствует размерности.

В качестве альтернативы можно найти след операторов в бесконечномерном пространстве; в этом случае определяется (конечный) след, даже если (конечного) измерения не существует, и это дает понятие «размерности оператора». Они подпадают под категорию « операторов следового класса » в гильбертовом пространстве или, в более общем смысле, ядерных операторов в банаховом пространстве .

Более тонкое обобщение состоит в том, чтобы рассматривать след семейства операторов как своего рода «искривленное» измерение. Это особенно важно в теории представлений , где характер представления является следом представления, следовательно, скалярной функцией на группе. $\chi :G\to K,$ чье значение для личности $1\in G$ - размерность представления, поскольку представление отправляет идентификатор в группе в идентификационную матрицу: $\chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.$ Другие ценности $\chi (g)$ персонажа можно рассматривать как «искаженные» измерения и находить аналоги или обобщения утверждений о измерениях на утверждения о символах или представлениях. Сложный пример этого можно найти в теории чудовищного самогона : $j$ -инвариант — это градуированная размерность бесконечномерного градуированного представления группы монстров , а замена измерения символом дает ряд Маккея-Томпсона для каждого элемента группы монстров. ^[3]

См. также [ править ]

Фрактальное измерение - соотношение, обеспечивающее статистический индекс изменения сложности в зависимости от масштаба.
Размерность Крулля - в математике размерность кольца.
Ранг матроида – максимальный размер независимого набора матроидов.
Ранг (линейная алгебра) - Размерность столбца матрицы.
Топологическое измерение — топологически инвариантное определение измерения пространства. , также называемые размерностью покрытия Лебега.

Примечания [ править ]

^ если принять аксиому выбора
^ см . теорему о размерности для векторных пространств.

Ссылки [ править ]

^ Ицков, Михаил (2009). Тензорная алгебра и тензорный анализ для инженеров: с приложениями к механике сплошной среды . Спрингер. п. 4. ISBN 978-3-540-93906-1 .
^ Экслер (2015) с. 44, §2.36
^ Гэннон, Терри (2006), Самогон за пределами монстра: мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику , Cambridge University Press, ISBN 0-521-83531-3

Источники [ править ]

Экслер, Шелдон (2015). Линейная алгебра сделана правильно . Тексты для студентов по математике (3-е изд.). Спрингер . ISBN 978-3-319-11079-0 .

Внешние ссылки [ править ]

Лекция Гилберта Стрэнга по линейной алгебре Массачусетского технологического института о независимости, базисе и размерности в MIT OpenCourseWare

[3] если принять аксиому выбора

[4] см . теорему о размерности для векторных пространств.

[1] Ицков, Михаил (2009). Тензорная алгебра и тензорный анализ для инженеров: с приложениями к механике сплошной среды . Спрингер. п. 4. ISBN 978-3-540-93906-1 .

[2] Экслер (2015) с. 44, §2.36

[gannon-5] Гэннон, Терри (2006), Самогон за пределами монстра: мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику , Cambridge University Press, ISBN 0-521-83531-3

[1]

[2]

[а]

[б]

[3]

v т Это Измерение
Габаритные пространства	Векторное пространство Евклидово пространство Аффинное пространство Проективное пространство Бесплатный модуль Многообразие Алгебраическое разнообразие Пространство-время
Другие размеры	Крулл Лебеговое покрытие Индуктивный Хаусдорф Минковский фрактал Степени свободы
Многогранники и фигуры	Гиперплоскость Гиперповерхность Гиперкуб Гиперпрямоугольник Демигиперкуб Гиперсфера Кросс-многогранник Симплекс Гиперпирамида
Размеры по номеру	Нуль Один Два Три Четыре Пять Шесть Семь Восемь n -размеры
Смотрите также	Гиперпространство Коразмерность
Категория

v т Это Линейная алгебра
Outline Glossary
Basic concepts	Scalar Vector Vector space Scalar multiplication Vector projection Linear span Linear map Linear projection Linear independence Linear combination Basis Change of basis Row and column vectors Row and column spaces Kernel Eigenvalues and eigenvectors Transpose Linear equations
Matrices	Block Decomposition Invertible Minor Multiplication Rank Transformation Cramer's rule Gaussian elimination
Bilinear	Orthogonality Dot product Hadamard product Inner product space Outer product Kronecker product Gram–Schmidt process
Multilinear algebra	Determinant Cross product Triple product Seven-dimensional cross product Geometric algebra Exterior algebra Bivector Multivector Tensor Outermorphism
Vector space constructions	Dual Direct sum Function space Quotient Subspace Tensor product
Numerical	Floating-point Numerical stability Basic Linear Algebra Subprograms Sparse matrix Comparison of linear algebra libraries
Category