Теорема о размерности векторных пространств

В математике теорема размерности векторных пространств гласит, что все базы векторного пространства имеют одинаковое количество элементов. Это число элементов может быть конечным или бесконечным (в последнем случае это кардинальное число ) и определяет размерность векторного пространства.

Формально теорема размерности векторных пространств утверждает, что:

В векторном пространстве V любые два основания имеют одинаковую мощность .

Поскольку базисом является порождающий набор , который линейно независим , теорема о размерности является следствием следующей теоремы , которая также полезна:

В векторном пространстве V , если G — порождающий набор, а I мощность I не превышает мощность G. — линейно независимый набор, то

В частности, если V конечно порождено , то все его базы конечны и имеют одинаковое количество элементов.

В то время как доказательство существования базиса любого векторного пространства в общем случае требует леммы Цорна и фактически эквивалентно аксиоме выбора , для единственности мощности базиса требуется только лемма об ультрафильтре , что строго слабее (однако приведенное ниже доказательство предполагает трихотомию , т. е. сравнимость всех кардинальных чисел , что также эквивалентно аксиоме выбора). Теорему можно обобщить на произвольные R -модули для колец R, имеющих инвариантную базисную число .

В конечно порожденном случае доказательство использует только элементарные аргументы алгебры и не требует выбранной аксиомы или ее более слабых вариантов.

Доказательство

Пусть V — векторное пространство, { a _i : i ∈ I } — линейно независимый набор элементов V и { b _j : j ∈ J } — порождающий набор . Нужно доказать, что не больше мощность I мощности J .

Если J конечно, это следует из леммы об обмене Стейница . (Действительно, лемма Стейница о замене подразумевает, что каждое конечное подмножество I имеет мощность не больше, чем у J , следовательно, I конечно с мощностью не больше, чем у J .) Если J конечно, матриц также возможно доказательство, основанное на теории . .

Предположим, что J бесконечен. Если I конечно, то доказывать нечего. Таким образом, мы можем предположить, что I также бесконечно. Предположим, что мощность I больше мощности J . Нам предстоит доказать, что это приводит к противоречию.

По лемме Цорна каждое линейно независимое множество содержится в максимальном линейно независимом K. множестве Эта максимальность подразумевает, что K охватывает V и, следовательно, является базисом (максимальность подразумевает, что каждый элемент V линейно зависит от элементов K и, следовательно, является линейной комбинацией элементов K ). Поскольку мощность K больше или равна мощности I , можно заменить { a _i : i ∈ I } на K , то есть без ограничения общности можно предположить, что { a _i : i ∈ I } — это основа.

Таким образом, каждый b _j можно записать в виде конечной суммы

$$b_{j}=\sum _{i\in E_{j}}\lambda _{i,j}a_{i},$$

где $E_{j}$ является конечным подмножеством $I.$ Поскольку J бесконечен, ${\textstyle \bigcup _{j\in J}E_{j}}$ имеет ту же мощность, что и J . Поэтому ${\textstyle \bigcup _{j\in J}E_{j}}$имеет мощность меньше, чем у I . Итак, есть некоторые $i_{0}\in I$ которого нет ни в одном $E_{j}$. Соответствующий $a_{i_{0}}$ может быть выражено как конечная линейная комбинация $b_{j}$s, что, в свою очередь, может быть выражено как конечная линейная комбинация $a_{i}$с, не затрагивая $a_{i_{0}}$. Следовательно $a_{i_{0}}$ линейно зависит от другого $a_{i}$s, что и обеспечивает желаемое противоречие.

расширении ядра для векторных

Это применение теоремы о размерности иногда называют теоремой о размерности . Позволять

T : U → V

быть линейным преобразованием . Затем

dim(диапазон( T )) + dim(ker( T )) = dim( U ) ,

то есть размерность U преобразования равна размерности диапазона плюс размерность ядра . см. в теореме о ранге – недействительности Более подробное обсуждение .