Инвариантный базисный номер

В математике , точнее в области теории колец , кольцо R обладает свойством инвариантного базисного числа ( IBN ), если все конечно порожденные свободные левые модули над R имеют четко определенный ранг. В случае полей свойство IBN становится утверждением о том, что конечномерные векторные пространства имеют уникальную размерность .

Определение [ править ]

Кольцо (IBN), если для всех R имеет число натуральных чисел m и n R инвариантное базисное ^м изоморфен R ^н (как левые R -модули) влечет, что m = n .

Эквивалентно, это означает, что не существует различных натуральных чисел m и n таких, что R ^м изоморфен R ^н.

Перефразируя определение инвариантного базисного числа в терминах матриц, оно говорит, что всякий раз, когда A является m на n матрицей размера над R , а B является n на матрицей размера m над R такой, что AB = I и BA = I , тогда м = п . Эта форма показывает, что определение симметрично слева и справа, поэтому не имеет значения, определяем ли мы IBN в терминах левых или правых модулей; эти два определения эквивалентны. ^[1]

Обратите внимание, что изоморфизмы в определениях не являются кольцевыми изоморфизмами, они являются изоморфизмами модулей, даже если один из n или m равен 1.

Свойства [ править ]

Основная цель условия инвариантного базисного числа состоит в том, чтобы свободные модули над кольцом IBN удовлетворяли аналогу теоремы о размерности для векторных пространств : любые два базиса свободного модуля над кольцом IBN имеют одинаковую мощность. Принимая во внимание лемму об ультрафильтре (строго более слабую форму аксиомы выбора ), этот результат фактически эквивалентен приведенному здесь определению и может быть принят в качестве альтернативного определения.

Ранг модуля свободного R ^н над кольцом IBN R определяется как мощность показателя m любого (и, следовательно, каждого) R -модуля R ^м изоморфен R ^н. Таким образом, свойство IBN утверждает, что каждый класс изоморфизма свободных R -модулей имеет уникальный ранг. Ранг не определен для колец, не удовлетворяющих IBN. Для векторных пространств ранг также называют размерностью . Таким образом, приведенный выше результат вкратце сводится к следующему: ранг однозначно определен для всех свободных R -модулей тогда и только тогда, когда он однозначно определен для конечно порожденных свободных R -модулей.

Примеры [ править ]

Любое поле удовлетворяет IBN, и это означает, что конечномерные векторные пространства имеют четко определенную размерность. Более того, любое коммутативное кольцо (кроме нулевого кольца ) удовлетворяет IBN, ^[2] как и любое левонетерово кольцо и любое полулокальное кольцо .

Доказательство

Let A be a commutative ring and assume there exists an A-module isomorphism $f\colon A^{n}\to A^{p}$ . Let $(e_{1},\dots ,e_{n})$ the canonical basis of Aⁿ, which means $e_{i}\in A^{n}$ is all zeros except a one in the i-th position. By Krull's theorem, let I a maximal proper ideal of A and $(i_{1},\dots ,i_{n})\in I^{n}$ . An A-module morphism means

f(i_{1},\dots ,i_{n})=\sum _{k=1}^{n}i_{k}f(e_{k})\in I^{p}

because I is an ideal. So f induces an A/I-module morphism $f'\colon \left({\frac {A}{I}}\right)^{n}\to \left({\frac {A}{I}}\right)^{p}$ , that can easily be proven to be an isomorphism. Since A/I is a field, f' is an isomorphism between finite dimensional vector spaces, so n = p.

Примером ненулевого кольца, не удовлетворяющего требованиям IBN, является кольцо матриц с конечным столбцом. $\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)$ , матрицы с коэффициентами в кольце R , с элементами, индексированными $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ и каждый столбец имеет только конечное число ненулевых записей. Последнее требование позволяет нам определить произведение бесконечных матриц MN , задающих кольцевую структуру. Изоморфизм левого модуля $\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)\cong \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}$ дается:

{\begin{array}{rcl}\psi :\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)&\to &\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}\\M&\mapsto &({\text{odd columns of }}M,{\text{ even columns of }}M)\end{array}}

матриц оказывается изоморфизмом эндоморфизмам свободного справа модуля над R счетного Это бесконечное кольцо ранга. ^[3]

Из этого изоморфизма можно показать (сокращенно $\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)=S$ ), что S ≅ S ^н для любого положительного целого числа n и, следовательно, S ^н ≅ С ^м для любых двух натуральных чисел m и n . Существуют и другие примеры колец, не являющихся IBN, без этого свойства, в том числе алгебры Ливитта . ^[4]

Другие результаты [ править ]

ИБН — необходимое (но не достаточное) условие вложимости кольца без делителей нуля в тело ( ср . поле частных в коммутативном случае). См. также состояние Руды .

Каждое нетривиальное тело или стабильно конечное кольцо имеет инвариантный базисный номер.

Каждое кольцо, удовлетворяющее условию ранга (т.е. имеющее неограниченное порождающее число ), должно иметь инвариантный базисный номер. ^[5]

Ссылки [ править ]

^ ( Лам 1999 , стр. 3)
^ «Проект Stacks, тег 0FJ7» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 4 марта 2023 г.
^ ( Хангерфорд 1980 , стр. 190)
^ ( Абрамс и Ан 2002 )
^ ( Лам 1999 , Предложение 1.22)

Источники [ править ]

Абрамс, Джин; Анх, ПН (2002), «Некоторые ультраматричные алгебры, возникающие в результате пересечения алгебр Ливитта», J. Algebra Appl. , 1 (4): 357–363, doi : 10.1142/S0219498802000227 , ISSN 0219-4988 , MR 1950131

Хангерфорд, Томас В. (1980) [1974], Алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 73, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xxiii+502, ISBN. 0-387-90518-9 , MR 0600654 Перепечатка оригинала 1974 года.

Лам, Цит Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике, том. 189, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xxiv+557, ISBN. 0-387-98428-3 , МР 1653294

[1] ( Лам 1999 , стр. 3)

[2] «Проект Stacks, тег 0FJ7» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 4 марта 2023 г.

[3] ( Хангерфорд 1980 , стр. 190)

[4] ( Абрамс и Ан 2002 )

[5] ( Лам 1999 , Предложение 1.22)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]