Полулокальное кольцо
В математике полулокальное кольцо — это кольцо для которого R /J( R ) — полупростое кольцо , где J( R ) — радикал Джекобсона кольца R. , ( Лам 2001 , стр. §20) ( Михалев и Пильц 2002 , стр. C.7)
Приведенное выше определение выполняется, если R имеет конечное число максимальных правых идеалов (и конечное число максимальных левых идеалов). Когда R — коммутативное кольцо , обратное импликация также верно, и поэтому определение полулокального для коммутативных колец часто считается «имеющим конечное число максимальных идеалов ».
В некоторой литературе коммутативное полулокальное кольцо вообще называется квазиполулокальное кольцо , используя полулокальное кольцо для обозначения нётерова кольца с конечным числом максимальных идеалов.
Таким образом, полулокальное кольцо является более общим, чем локальное кольцо , которое имеет только один максимальный (правый/левый/двусторонний) идеал.
Примеры
[ редактировать ]- Любое правое или левое артиново кольцо , любое сериальное кольцо и любое полусовершенное кольцо полулокально.
- Частное является полулокальным кольцом. В частности, если является первичной степенью, то это местное кольцо.
- Конечная прямая сумма полей является полулокальным кольцом.
- В случае коммутативных колец с единицей этот пример является прототипическим в следующем смысле: китайская теорема об остатках показывает, что для полулокального коммутативного кольца R с единицей и максимальными идеалами m 1 , ..., m n
- .
- (Карта является естественной проекцией). Правая часть представляет собой прямую сумму полей. Здесь мы замечаем, что ∩ i m i =J( R ), и видим, что R /J( R ) действительно является полупростым кольцом.
- Классическое кольцо частных любого коммутативного нётерова кольца является полулокальным кольцом.
- артинова Кольцо эндоморфизмов модуля является полулокальным кольцом.
- Полулокальные кольца возникают, например, в геометрии , когда (коммутативное) кольцо R локализовано алгебраической относительно мультипликативно замкнутого подмножества S = ∩ (R \ p i ) , где pi — конечное число простых идеалов .
Учебники
[ редактировать ]- Лам, TY (2001), «7», Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, том. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+385, ISBN. 0-387-95183-0 , МР 1838439
- Михалев Александр Владимирович; Пильц, Гюнтер Ф., ред. (2002), Краткий справочник по алгебре , Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, стр. xvi+618, ISBN 0-7923-7072-4 , г-н 1966155