Артинианское кольцо

В математике , особенно в абстрактной алгебре , артиново кольцо (иногда кольцо Артина ) — это кольцо , которое удовлетворяет условию нисходящей цепи на (односторонних) идеалах ; то есть не существует бесконечной нисходящей последовательности идеалов. Артиновы кольца названы в честь Эмиля Артина , который первым обнаружил, что условие нисходящей цепи для идеалов одновременно обобщает конечные кольца и кольца, являющиеся конечномерными векторными пространствами над полями . Определение артиновых колец можно переформулировать, заменив условие нисходящей цепи эквивалентным понятием: условием минимума .

Точнее, кольцо является артиновым слева, если оно удовлетворяет условию нисходящей цепи для левых идеалов, артиновым справа, если оно удовлетворяет условию нисходящей цепи для правых идеалов, и артиновым или двусторонним артиновым, если оно одновременно артиново слева и справа. ^[1] Для коммутативных колец левое и правое определения совпадают, но, вообще говоря, отличны друг от друга.

Теорема Веддерберна -Артина характеризует каждое простое артиново кольцо как кольцо матриц над телом . Отсюда следует, что простое кольцо артиново слева тогда и только тогда, когда оно артиново справа.

То же определение и терминология могут быть применены к модулям , с заменой идеалов подмодулями .

Хотя условие нисходящей цепи кажется двойным по отношению к условию восходящей цепи , в кольцах оно на самом деле является более сильным условием. В частности, следствием теоремы Акизуки-Хопкинса-Левицкого является то, что левое (соответственно правое) артиново кольцо автоматически является левым (соответственно правым) нетеровым кольцом . Это не относится к общим модулям; то есть артинов модуль не обязательно должен быть нетеровым модулем .

Примеры и контрпримеры [ править ]

Область целостности является артиновой тогда и только тогда, когда она является полем.
Кольцо с конечным числом, скажем, левых идеалов артиново слева. В частности, конечное кольцо (например, $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ) является левым и правым артиновым.
Пусть k — поле. Затем $k[t]/(t^{n})$ является артиновым для любого натурального числа n .
Сходным образом, $k[x,y]/(x^{2},y^{3},xy^{2})=k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot xy\oplus k\cdot y^{2}$ — артиново кольцо с максимальным идеалом $(x,y)$ .
Позволять $x$ будет эндоморфизмом между конечномерным векторным пространством V . Тогда подалгебра $A\subset \operatorname {End} (V)$ Сгенерированно с помощью $x$ является коммутативным артиновым кольцом.
Если I — ненулевой идеал дедекиндовой области A , то $A/I$ является главным артиновым кольцом. ^[2]
Для каждого $n\geq 1$ , полное матричное кольцо $M_{n}(R)$ над левым артиновым (соответственно левонетеровым) кольцом R является левоартиновым (соответственно левонетеровым) кольцом. ^[3]

Следующие два являются примерами неартиновых колец.

Если R — любое кольцо, то кольцо полиномов R [ x ] не является артиновым, поскольку идеал, порожденный $x^{n+1}$ (собственно) содержится в идеале, порожденном $x^{n}$ для всех натуральных чисел n . Напротив, если R нётерово, то и R [ x ] согласно базовой теореме Гильберта .
Кольцо целых чисел $\mathbb {Z}$ является нетеровым кольцом, но не артиновым.

над кольцами Модули артиновыми

Пусть M — левый модуль над артиновым слева кольцом. Тогда следующие утверждения эквивалентны ( теорема Хопкинса ): (i) M , конечно порождено (ii) M имеет конечную длину (т. е. имеет композиционный ряд ), (iii) M нётерово, (iv) M артиново. ^[4]

артиновы кольца Коммутативные

Пусть A — коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

А — артиниан.
A — конечное произведение коммутативных артиновых локальных колец . ^[5]
A / nil( A ) — полупростое кольцо , где nil( A ) — нильрадикал кольца A . ^{[ нужна цитата ]}
Каждый конечно порожденный модуль над A имеет конечную длину. (см. выше)
A имеет нулевую размерность Крулля . ^[6] (В частности, нильрадикал является радикалом Джекобсона, поскольку простые идеалы максимальны.)
$\operatorname {Spec} A$ конечно и дискретно.
$\operatorname {Spec} A$ является дискретным. ^[7]

Пусть k — поле и A — конечно порожденная k - алгебра . Тогда A артинов тогда и только тогда, когда A конечно порожден как k -модуль.

Артиново локальное кольцо завершено. Фактор локализация и артинова кольца артиновы.

Простое артиново кольцо [ править ]

Одна из версий теоремы Веддерберна – Артина утверждает, что простое артиново кольцо A является матричным кольцом над телом. Действительно, ^[8]пусть I — минимальный (ненулевой) правый идеал A , который существует, поскольку A артинов (и остальная часть доказательства не использует тот факт, что A артинов). Тогда, поскольку $AI$ является двусторонним идеалом, $AI=A$ поскольку А просто. Таким образом, мы можем выбрать $a_{i}\in A$ так что $1\in a_{1}I+\cdots +a_{k}I$ . Предположим, что k минимально по этому свойству. Рассмотрим отображение правых A -модулей:

{\begin{cases}I^{\oplus k}\to A,\\(y_{1},\dots ,y_{k})\mapsto a_{1}y_{1}+\cdots +a_{k}y_{k}\end{cases}}

Это сюръективно . Если оно не инъективно , то, скажем, $a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}$ с ненулевым $y_{1}$ . Тогда в силу минимальности I имеем: $y_{1}A=I$ . Следует:

a_{1}I=a_{1}y_{1}A\subset a_{2}I+\cdots +a_{k}I

,

что противоречит минимальности k . Следовательно, $I^{\oplus k}\simeq A$ и поэтому $A\simeq \operatorname {End} _{A}(A)\simeq M_{k}(\operatorname {End} _{A}(I))$ .

См. также [ править ]

Цитаты [ править ]

^ Брешар 2014 , с. 73
^ Кларк , Теорема 20.11.
^ Кон 2003 , 5.2. Упражнение 11.
^ Бурбаки 2012 , VIII, с. 7
^ Атья и Макдональд 1969 , Теоремы 8.7
^ Атья и Макдональд 1969 , Теоремы 8.5
^ Атья и Макдональд 1969 , гл. 8, Упражнение 2
^ Милнор 1971 , с. 144

Ссылки [ править ]

Ауслендер, Морис; Рейтен, Идун; Смало, Сверре О. (1995), Теория представлений алгебр Артина , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 36, Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9780511623608 , ISBN. 978-0-521-41134-9 , МР 1314422
Бурбаки, Николя (2012). Алгебра. Глава 8. Полупростые модули и кольца . Гейдельберг: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-35315-7 .
Чарльз Хопкинс. Кольца с условием минимальности для левых идеалов. Анна. математики. (2) 40, (1939). 712–730.
Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
Кон, Пол Мориц (2003). Базовая алгебра: группы, кольца и поля . Спрингер. ISBN 978-1-85233-587-8 .
Брешар, Матей (2014). Введение в некоммутативную алгебру . Спрингер. ISBN 978-3-319-08692-7 .
Кларк, Пит Л. «Коммутативная алгебра» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 декабря 2010 г.
Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K-теорию , Анналы математических исследований, том. 72, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета , MR 0349811 , Zbl 0237.18005

[FOOTNOTEBrešar201473-1] Брешар 2014 , с. 73

[FOOTNOTEClarkTheorem_20.11-2] Кларк , Теорема 20.11.

[FOOTNOTECohn20035.2_Exercise_11-3] Кон 2003 , 5.2. Упражнение 11.

[FOOTNOTEBourbaki2012VIII,_p._7-4] Бурбаки 2012 , VIII, с. 7

[FOOTNOTEAtiyahMacdonald1969Theorems_8.7-5] Атья и Макдональд 1969 , Теоремы 8.7

[FOOTNOTEAtiyahMacdonald1969Theorems_8.5-6] Атья и Макдональд 1969 , Теоремы 8.5

[FOOTNOTEAtiyahMacdonald1969Ch._8,_Exercise_2-7] Атья и Макдональд 1969 , гл. 8, Упражнение 2

[FOOTNOTEMilnor1971144-8] Милнор 1971 , с. 144

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]