Нётеров модуль

В абстрактной алгебре — нётеров модуль это модуль , который удовлетворяет условию возрастающей цепочки на своих подмодулях , где подмодули частично упорядочены путем включения .

Исторически Гильберт был первым математиком, работавшим со свойствами конечно порожденных подмодулей . Он доказал важную теорему, известную как базисная теорема Гильберта, которая гласит, что любой идеал в кольце многомерных полиномов произвольного поля порожден конечно . Однако собственность названа в честь Эмми Нётер , которая первой осознала истинную важность этой собственности.

Характеристики и свойства

При наличии выбора аксиомы возможны две другие характеристики:

• Любое непустое множество S подмодулей модуля имеет максимальный элемент (относительно включения множества ). Это известно как максимальное условие .
• Все подмодули модуля конечно порождены .

Если M — модуль, а K — подмодуль, то M нётерово тогда и только тогда, когда K и M / K нётеровы. Это контрастирует с общей ситуацией с конечно порожденными модулями: подмодуль конечно порожденного модуля не обязательно должен быть конечно порожденным.

Примеры

• Целые числа , рассматриваемые как модуль над кольцом целых чисел, являются нетеровым модулем.
• Если R = M _n ( F ) — полное кольцо матриц над полем, а M = M _{n 1} ( F ) — набор вектор-столбцов над F , то M можно превратить в модуль с помощью умножения матриц на элементы R слева от элементов М . Это нетеровский модуль.
• Любой модуль, конечный как множество, нётеров.
• Любой конечно порожденный правый модуль над нетеровым справа кольцом является нетеровым модулем.

Использование в других структурах

Нётерово справа кольцо R по определению является нётеровым правым R -модулем над собой, использующим умножение справа. Аналогично кольцо называется нётеровым слева кольцом, если R нётерово, рассматриваемое как левый R -модуль. Когда R — коммутативное кольцо, прилагательные «лево-право» можно опустить, поскольку они не нужны. Кроме того, если R нётерово с обеих сторон, его принято называть нётеровским, а не «левым и правым нетеровским».

Условие Нётерова также может быть определено на бимодульных структурах: нётеров бимодуль — это бимодуль, частично упорядоченное множество подбимодулей которого удовлетворяет условию возрастающей цепи. Поскольку подбимодуль R - S- бимодуля M является, в частности, левым R -модулем, если M, рассматриваемый как левый R -модуль, был нетеровым, то M автоматически является нетеровым бимодулем. Однако может случиться так, что бимодуль будет нетеровым, но его левая или правая структуры не будут нетеровыми.

См. также

• Артинский модуль
• Состояние восходящей/нисходящей цепи
• Композиционная серия
• Конечно сгенерированный модуль
• Размер Крулля

Ссылки

• Коммутативная алгебра Эйзенбуда с точки зрения алгебраической геометрии , Springer-Verlag, 1995.

• Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике (Третье изд.), Springer, ISBN  978-0-387-72828-5