Бимодуль

В абстрактной алгебре бимодуль — это абелева группа , которая является одновременно левым и правым модулем , такая, что левое и правое умножения совместимы. Помимо естественного появления во многих разделах математики, бимодули играют проясняющую роль в том смысле, что многие отношения между левыми и правыми модулями становятся проще, когда они выражаются через бимодули.

Определение

Если R и S — два кольца , то R — S — бимодуль — это абелева группа ( M , +) такая, что:

1. M — левый R -модуль и правый S -модуль.
2. Для всех r в R , s в S и m в M :
   $$(r.m).s=r.(m.s).$$

R - - R -бимодуль также известен как R бимодуль.

Примеры

• Для натуральных чисел n и m множество M _{n , m} ( R ) n × m матриц размера действительных чисел представляет собой R - S -бимодуль, где R — кольцо M _n ( R ) матриц размера n × n , а S — кольцо M _m ( R ) матриц размера m × m . Сложение и умножение осуществляются с использованием обычных правил сложения и умножения матриц ; высоты и ширины матриц выбраны так, чтобы было определено умножение. Обратите внимание, что M _{n , m} ( R ) само по себе не является кольцом (если только n = m ), поскольку умножение матрицы размера n × m на другую матрицу размера n × m не определено. Важнейшее свойство бимодуля ( r.x — . ) s = r .( x . s ) — утверждение о том, что умножение матриц ассоциативно (что в случае кольца матриц соответствует ассоциативности ).
• Любая алгебра A над кольцом R имеет естественную структуру R -бимодуля с левым и правым умножением, определяемым r . а знак равно φ ( р ) а и а . r = aφ ( r ) соответственно, где : R → A — каноническое вложение R в A. φ
• Если R — кольцо, то R само по себе можно рассматривать как R - R -бимодуль, если считать левое и правое действия умножением — действия коммутируют за счет ассоциативности. Это можно распространить на R ^н ( n -кратное прямое произведение R ) .
• Любой двусторонний идеал кольца R является R - R -бимодулем, у которого умножение кольца является одновременно левым и правым умножением.
• Любой модуль над коммутативным кольцом R имеет естественную структуру бимодуля. Например, если M — левый модуль, мы можем определить умножение справа так же, как умножение слева. (Однако не все R -бимодули возникают таким образом: могут существовать и другие совместимые правые умножения.)
• Если M — левый R -модуль, то M — R — Z -бимодуль, где Z — кольцо целых чисел . Аналогично правые R -модули можно интерпретировать как Z - R -бимодули. Любую абелеву группу можно рассматривать как Z - Z -бимодуль.
• Если M — правый R -модуль, то множество End _R ( M ) эндоморфизмов R -модулей представляет собой кольцо с умножением, заданным композицией. Кольцо эндоморфизмов End _R ( M ) действует на M умножением слева, определяемым f . Икс знак равно ж ( Икс ) . Свойство бимодуля, то есть ( f . x ). r = f .( x . r ) вновь утверждает, что f является гомоморфизмом R -модуля из M в себя. Поэтому любой правый R -модуль M является End _R ( M ) -R -бимодулем. Аналогично любой левый R -модуль N является R -концом _R ( N ). ^на -бимодуль.
• Если R — подкольцо в S , то S — R — R -бимодуль. Это также R - S- и S - R -бимодуль.
• Если M — S — R -бимодуль и N — R — T -бимодуль, то M ⊗ _RN — - бимодуль S — T .

и

Если M и N — R - S -бимодули, то отображение f : M → N является гомоморфизмом бимодулей , если оно одновременно является гомоморфизмом левых R -модулей и правых S -модулей.

R -бимодуль — это фактически то же самое , - S что левый модуль над кольцом R ⊗ _Z S. ^на , где S ^на — противоположное кольцо S . (где умножение определяется с заменой аргументов) Бимодульные гомоморфизмы — это то же самое, что гомоморфизмы левого R ⊗ _Z S ^на модули. Используя эти факты, многие определения и утверждения о модулях можно сразу перевести в определения и утверждения о бимодулях. Например, категория всех R — S -бимодулей абелева стандартные теоремы об изоморфизме , и для бимодулей справедливы .

Однако в мире бимодулей есть некоторые новые эффекты, особенно когда речь идет о тензорном произведении : если M — R - S -бимодуль, а N — S - T -бимодуль, то тензорное произведение M и N (взятое над кольцом S ) является R — T -бимодулем естественным образом. Это тензорное произведение бимодулей ассоциативно ( с точностью до единственного канонического изоморфизма), и, следовательно, можно построить категорию, объектами которой являются кольца, а морфизмами — бимодули. На самом деле это 2-категория , каноническим образом – 2 морфизма между R - S -бимодулями M и N являются в точности гомоморфизмами бимодулей, т.е. функциями

$f:M\rightarrow N$

которые удовлетворяют

1. $f(m+m')=f(m)+f(m')$
2. $f(r.m.s)=r.f(m).s$,

для m ∈ M , r ∈ R и s ∈ S. ​Непосредственно проверяется закон перестановки для бимодульных гомоморфизмов, т.е.

$(f'\otimes g')\circ (f\otimes g)=(f'\circ f)\otimes (g'\circ g)$

выполняется всякий раз, когда определена одна (а значит, и другая) часть уравнения и где ∘ — обычная композиция гомоморфизмов. В этой интерпретации категория End ( R ) = Bimod ( R , R ) является в точности моноидальной категорией R - R - бимодулей с обычным тензорным произведением над R, тензорным произведением категории. В частности, если R — коммутативное кольцо , каждый левый или правый R -модуль канонически является R - R -бимодулем, что дает моноидальное вложение категории R - Mod в Bimod ( R , R ) . Случай, когда R является полем K, является мотивирующим примером симметричной моноидальной категории, и в этом случае R - Mod = K - Vect , категория векторных пространств над K , с обычным тензорным произведением ⊗ = ⊗ _K, дающим моноидальную структуру. и с единицей К. , Мы также видим, что моноид в Bimod ( R , R ) является в точности R -алгеброй. Более того, если M — R - S -бимодуль, а — L S T- - бимодуль, то множество Hom _S ( M , L ) всех S гомоморфизмов -модулей из M в L становится T - R -модулем в естественная мода. Эти утверждения распространяются на производные функторы Ext и Tor .

Профункторы можно рассматривать как категориальное обобщение бимодулей.

Заметим, что бимодули вообще не имеют отношения к биалгебрам .

См. также

• Профунктор

Ссылки

• Джейкобсон, Н. (1989). Основная алгебра II . WH Фриман и компания. стр. 133–136. ISBN  0-7167-1933-9 .