Тор работает

В математике функторы Тора являются производными функторами тензорного произведения модулей над кольцом . Наряду с функтором Ext Tor — одно из центральных понятий гомологической алгебры , в которой идеи алгебраической топологии используются для построения инвариантов алгебраических структур. Гомологии групп , алгебр Ли и ассоциативных алгебр могут быть определены в терминах Tor. Название происходит от связи между первой группой Tor Tor ₁ и периодической подгруппой абелевой группы .

В частном случае абелевых групп Tor был введен Эдуардом Чехом (1935) и назван Сэмюэлем Эйленбергом примерно в 1950 году. ^[1]Впервые он был применен к теореме Кюннета и теореме об универсальных коэффициентах в топологии. Для модулей над любым кольцом Tor был определен Анри Картаном и Эйленбергом в их книге «Гомологическая алгебра» 1956 года . ^[2]

Определение [ править ]

Пусть R — кольцо . Напишите R -Mod для категории левых R R -модулей и Mod- для категории правых R -модулей. (Если R коммутативен , эти две категории можно идентифицировать.) Для фиксированного левого R -модуля B пусть $T(A)=A\otimes _{R}B$ для A в Mod- R . Это правый точный функтор из Mod- R в категорию абелевых групп Ab, поэтому он имеет левые производные функторы $L_{i}T$ . Группы Tor — это абелевы группы, определяемые формулой

\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=(L_{i}T)(A),

для целого числа i . По определению это означает: возьмите любую проективную резолюцию

\cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,

и удаляем A и образуем цепной комплекс :

\cdots \to P_{2}\otimes _{R}B\to P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B\to 0

Для каждого целого числа i группа $\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)$ является гомологией этого комплекса в позиции i . Это ноль для i отрицательного. Более того, $\operatorname {Tor} _{0}^{R}(A,B)$ это коядро карты $P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B$ который изоморфен , $A\otimes _{R}B$ .

В качестве альтернативы можно определить Tor, зафиксировав A и взяв левые производные функторы от правого точного функтора G ( B ) = A ⊗ _R B . То есть тензор A с проективным разрешением B и возьмем гомологию. Картан и Эйленберг показали, что эти конструкции не зависят от выбора проективной резольвенты и что обе конструкции дают одни и те же группы Tor. ^[3] Более того, для фиксированного кольца R Tor является функтором от каждой переменной (от R -модулей до абелевых групп).

Для коммутативного кольца R и R -модулей A и B Tor ^р
_i ( A , B ) является R -модулем (поскольку A ⊗ _RB в этом случае является R -модулем). Для некоммутативного кольца R Tor ^р
_i ( A , B ) — всего лишь абелева группа, вообще говоря. Если R — алгебра над кольцом S (что, в частности, означает, что S коммутативна), то Tor ^р
_i ( A , B ) является по крайней мере S -модулем.

Свойства [ править ]

Вот некоторые основные свойства и вычисления групп Tor. ^[4]

Тор ^р
₀ ( A , B ) ≅ ⊗ RB _для A любого правого R -модуля A и левого R -модуля B .
Тор ^р
_i ( A , B ) = 0 для всех i > 0, если ( например , свободные A или B плоские ) как R -модуль . Фактически, можно вычислить Tor, используя плоское разрешение A или B ; это более общее явление, чем проективное (или свободное) разрешение. ^[5]
К предыдущему утверждению есть обратные утверждения:
- Если Тор ^р
  ₁ ( A , B ) = 0 для всех B , то A плоское (и, следовательно, Tor ^р
  _i ( A , B ) = 0 для всех i > 0).
- Если Тор ^р
  ₁ ( A , B ) = 0 для всех A , то B плоский (и, следовательно, Tor ^р
  _i ( A , B ) = 0 для всех i > 0).
По общим свойствам производных функторов каждая короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 правых R -модулей индуцирует длинную точную последовательность вида ^[6] $\cdots \to \operatorname {Tor} _{2}^{R}(M,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(K,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(L,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,B)\to K\otimes _{R}B\to L\otimes _{R}B\to M\otimes _{R}B\to 0,$ для любого левого - модуля B. R Аналогичная точная последовательность справедлива и для Tor относительно второй переменной.
Симметрия: для коммутативного кольца R существует естественный изоморфизм Tor ^р
_я ( A , B ) ≅ Тор ^р
_я ( Б , А ). ^[7] (Для коммутативности R нет необходимости различать левый и правый R -модули.)
Если R — коммутативное кольцо и u в R не является делителем нуля , то для любого R - B модуля $\operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B/uB&i=0\\B[u]&i=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ где $B[u]=\{x\in B:ux=0\}$ является u -крученной подгруппой группы B . Это объяснение имени Тор. Приняв R за кольцо $\mathbb {Z}$ целых чисел, это вычисление можно использовать для вычисления $\operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(A,B)$ для любой конечно порожденной абелевой группы A .
Обобщая предыдущий пример, можно вычислить группы Tor, которые включают фактор коммутативного кольца по любой регулярной последовательности , используя комплекс Кошуля . ^[8] Например, если R — кольцо полиномов k [ x ₁ , ..., x _n ] над полем k , то $\operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)$ — внешняя алгебра над k на n образующих в Tor ₁ .
$\operatorname {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} }(A,B)=0$ для всех i ≥ 2. Причина: каждая абелева группа A имеет свободную резольвенту длины 1, поскольку каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой.
Для любого кольца R Tor сохраняет прямые суммы (возможно, бесконечные) и отфильтрованные копределы по каждой переменной. ^[9] Например, в первой переменной это говорит о том, что ${\begin{aligned}\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \bigoplus _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\varinjlim _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \varinjlim _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\end{aligned}}$
Плоская замена базы: для коммутативной плоской R -алгебры T , R -модулей A и B и целого числа i , ^[10] $\mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)\otimes _{R}T\cong \mathrm {Tor} _{i}^{T}(A\otimes _{R}T,B\otimes _{R}T).$ Отсюда следует, что Tor коммутирует с локализацией . То есть для мультипликативно замкнутого S в R множества $S^{-1}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)\cong \operatorname {Tor} _{i}^{S^{-1}R}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).$
Для коммутативного кольца R и коммутативных R -алгебр A и B Tor ^р
_* ( A , B ) имеет структуру градуированной коммутативной алгебры над R . Более того, элементы нечетной степени в алгебре Tor имеют квадратный нуль, а можно разделить степенные операции. над элементами положительной четной степени ^[11]

Важные особые случаи [ править ]

Гомология групп определяется формулой $H_{*}(G,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),$ где G группа, M — представление G — в целых числах и $\mathbb {Z} [G]$ является кольцом G . групповым
Для алгебры A над полем k и A - бимодуля M гомологии Хохшильда определяются формулой $HH_{*}(A,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}(A,M).$
Гомологии алгебры Ли определяются формулой $H_{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Tor} _{*}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)$ , где ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли над коммутативным кольцом R , M — ${\mathfrak {g}}$ -модуль и $U{\mathfrak {g}}$ — универсальная обертывающая алгебра .
Для коммутативного кольца R с гомоморфизмом на k поле $\operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)$ — градуированная коммутативная алгебра Хопфа над k . ^[12] (Если R — нётерово локальное кольцо с полем вычетов k , то двойственная алгебра Хопфа к $\operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)$ это доб. ^*
_R ( k , k ).) Как алгебра, $\operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)$ — свободная градуированно-коммутативная разделенная степенная алгебра в градуированном векторном пространстве π _* ( R ). ^[13] Когда k имеет нулевую характеристику , π _* ( R ) можно отождествить с гомологиями Андре-Квиллена D _* ( k / R , k ). ^[14]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Вейбель (1999).
^ Картан и Эйленберг (1956), раздел VI.1.
^ Weibel (1994), раздел 2.4 и теорема 2.7.2.
^ Вайбель (1994), главы 2 и 3.
^ Вейбель (1994), Лемма 3.2.8.
^ Вейбель (1994), Определение 2.1.1.
^ Weibel (1994), Замечание в разделе 3.1.
^ Вайбель (1994), раздел 4.5.
^ Вайбель (1994), Следствие 2.6.17.
^ Вейбель (1994), Следствие 3.2.10.
^ Аврамов и Гальперин (1986), раздел 2.16; Проект Stacks, тег 09PQ .
^ Аврамов и Гальперин (1986), раздел 4.7.
^ Гулликсен и Левин (1969), Теорема 2.3.5; Сёдин (1980), Теорема 1.
^ Куиллен (1970), раздел 7.

Ссылки [ править ]

Аврамов, Лучезар ; Гальперин, Стивен (1986), «Зазеркалье: словарь между рациональной теорией гомотопий и локальной алгеброй», в Ж.-Э. Роос (редактор), Алгебра, алгебраическая топология и их взаимодействия (Стокгольм, 1983) , Конспекты лекций по математике, том. 1183, Springer Nature , стр. 1–27, doi : 10.1007/BFb0075446 , ISBN. 978-3-540-16453-1 , МР 0846435
Картан, Анри ; Эйленберг, Сэмюэл (1999) [1956], Гомологическая алгебра , Принстон: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2 , МР 0077480
Чех, Эдуард (1935), «Les groupes de Betti d'un complexe infini» (PDF) , Основы математики , 25 : 33–44, doi : 10.4064/fm-25-1-33-44 , JFM 61.0609.02
Гулликсен, Тор; Левин, Герсон (1969), Гомология локальных колец , Статьи Королевы по чистой и прикладной математике, том. 20, Королевский университет, MR 0262227
Куиллен, Дэниел (1970), «О (ко)гомологиях коммутативных колец», Приложения категориальной алгебры , Proc. Симп. Чистая Мат., т. 1, с. 17, Американское математическое общество , стр. 65–87, MR 0257068.
Сьёдин, Гуннар (1980), «Алгебры Хопфа и дифференцирования», Journal of Algebra , 64 : 218–229, doi : 10.1016/0021-8693(80)90143-X , MR 0575792
Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4 . МР 1269324 . OCLC 36131259 .
Вайбель, Чарльз (1999), «История гомологической алгебры», История топологии (PDF) , Амстердам: Северная Голландия, стр. 797–836, MR 1721123

Внешние ссылки [ править ]

Авторы проекта Stacks, The Stacks Project

[1] Вейбель (1999).

[2] Картан и Эйленберг (1956), раздел VI.1.

[3] Weibel (1994), раздел 2.4 и теорема 2.7.2.

[4] Вайбель (1994), главы 2 и 3.

[5] Вейбель (1994), Лемма 3.2.8.

[6] Вейбель (1994), Определение 2.1.1.

[7] Weibel (1994), Замечание в разделе 3.1.

[8] Вайбель (1994), раздел 4.5.

[9] Вайбель (1994), Следствие 2.6.17.

[10] Вейбель (1994), Следствие 3.2.10.

[11] Аврамов и Гальперин (1986), раздел 2.16; Проект Stacks, тег 09PQ .

[12] Аврамов и Гальперин (1986), раздел 4.7.

[13] Гулликсен и Левин (1969), Теорема 2.3.5; Сёдин (1980), Теорема 1.

[14] Куиллен (1970), раздел 7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]