Групповые когомологии

Эта статья о гомологиях и когомологиях группы . Чтобы узнать о группах гомологии или когомологии пространства или другого объекта, см. Гомология (математика) .

В математике (точнее, в гомологической алгебре ) групповые когомологии — это набор математических инструментов, используемых для изучения групп с использованием теории когомологий — метода из алгебраической топологии . Аналогично представлениям групп , групповые когомологии рассматривают групповые действия группы G в ассоциированном G -модуле M, чтобы выяснить свойства группы. Рассматривая G -модуль как своего рода топологическое пространство с элементами $G^{n}$ представляя n - симплексы , можно вычислить топологические свойства пространства, такие как набор групп когомологий $H^{n}(G,M)$. группы G и G -модуля M. Группы когомологий, в свою очередь, дают представление о структуре самих Групповые когомологии играют роль в исследовании неподвижных точек действия группы в модуле или пространстве и фактормодуля или пространства по действию группы. Групповые когомологии используются в областях абстрактной алгебры , гомологической алгебры , алгебраической топологии и алгебраической теории чисел , а также в приложениях к собственно теории групп . Как и в алгебраической топологии, существует двойственная теория, называемая гомологиями групп . Технику групповых когомологий можно распространить и на случай, когда вместо G -модуля G действует на неабелевой G -группе; по сути, это обобщение модуля на неабелевы коэффициенты.

Эти алгебраические идеи тесно связаны с топологическими идеями. Групповые когомологии дискретной группы G — это сингулярные когомологии подходящего пространства, имеющего G в качестве своей фундаментальной группы , а именно соответствующего пространства Эйленберга – Маклейна . Таким образом, групповые когомологии $\mathbb {Z}$ можно рассматривать как сингулярные когомологии круга S ¹ . Аналогично, групповые когомологии $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ представляет собой сингулярные когомологии $\mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} ).$

Многое известно о когомологиях групп, включая интерпретации маломерных когомологий, функториальности и способов изменения групп. Тема групповых когомологий возникла в 1920-х годах, получила развитие в конце 1940-х годов и продолжает оставаться областью активных исследований сегодня.

Мотивация

Общая парадигма теории групп состоит в том, что группу G следует изучать через ее групповые представления . Небольшим обобщением этих представлений являются - модули G - модуль представляет собой группу M вместе с групповым действием G G на M , где каждый элемент G действует как автоморфизм M. абелеву : Будем писать G мультипликативно, а M аддитивно.

Для такого G -модуля M естественно рассмотреть подмодуль G -инвариантных элементов:

$M^{G}=\lbrace x\in M\ |\ \forall g\in G:\ gx=x\rbrace .$

Теперь, если N является G -подмодулем M (т. е. подгруппой M , отображенной в себя действием G ), то, вообще говоря, неверно, что инварианты в $M/N$ находятся как частное инвариантов в M к инвариантам в N : инвариантность «по модулю N » шире. Цель первых групповых когомологий $H^{1}(G,N)$ состоит в том, чтобы точно измерить эту разницу.

Функторы групповых когомологий $H^{*}$ в общем, измеряйте степень, в которой взятие инвариантов не учитывает точные последовательности . Это выражается длинной точной последовательностью .

Определения

Совокупность всех G -модулей является категорией (морфизмы представляют собой эквивариантные групповые гомоморфизмы , то есть групповые гомоморфизмы f со свойством $f(gx)=g(f(x))$ для всех g в G и x в M ). Отправка каждого модуля M в группу инвариантов $M^{G}$ дает функтор из категории G -модулей в категорию Ab абелевых групп. Этот функтор точен слева , но не обязательно точен справа. Поэтому мы можем сформировать его правые производные функторы . Их значения являются абелевыми группами и обозначаются $H^{n}(G,M)$, " n -я группа когомологий группы G с коэффициентами из M ". Более того, группа $H^{0}(G,M)$ может быть отождествлен с $M^{G}$.

Кочейн-комплексы

Определение с использованием производных функторов концептуально очень ясно, но для конкретных приложений часто полезны следующие вычисления, которые некоторые авторы также используют в качестве определения. Для $n\geq 0,$ позволять $C^{n}(G,M)$ — группа всех функций из $G^{n}$ до М (здесь $G^{0}$ означает $\operatorname {id} _{G}$). Это абелева группа; его элементы называются (неоднородными) n -коцепями. Кограничные гомоморфизмы определяются формулой

${\begin{cases}d^{n+1}\colon C^{n}(G,M)\to C^{n+1}(G,M)\\\left(d^{n+1}\varphi \right)(g_{1},\ldots ,g_{n+1})=g_{1}\varphi (g_{2},\dots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\varphi \left(g_{1},\ldots ,g_{i-1},g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+1}\right)+(-1)^{n+1}\varphi (g_{1},\ldots ,g_{n}).\end{cases}}$

Это можно проверить $d^{n+1}\circ d^{n}=0,$ так что это определяет комплекс коцепей , когомологии которого можно вычислить. Можно показать, что приведенное выше определение групповых когомологий в терминах производных функторов изоморфно когомологиям этого комплекса

$H^{n}(G,M)=Z^{n}(G,M)/B^{n}(G,M).$

Здесь группы из n -коциклов и n -кограниц соответственно определяются как

$Z^{n}(G,M)=\ker(d^{n+1})$

$B^{n}(G,M)={\begin{cases}0&n=0\\\operatorname {im} (d^{n})&n\geqslant 1\end{cases}}$

Функторы Ext ^н и формальное определение когомологий групп

Интерпретация G -модулей как модулей над групповым кольцом $\mathbb {Z} [G],$ можно отметить, что

$H^{0}(G,M)=M^{G}=\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),$

т. е. подгруппа G -инвариантных элементов в M отождествляется с группой гомоморфизмов из $\mathbb {Z}$, который рассматривается как тривиальный G -модуль (каждый элемент G действует как единица) к M .

Следовательно, поскольку функторы Ext являются производными функторами Hom , существует естественный изоморфизм

$H^{n}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M).$

Эти группы Ext также можно вычислить с помощью проективного разрешения $\mathbb {Z}$Преимущество состоит в том, что такое разрешение зависит только от , а не от M. G Напомним определение Ext более подробно для этого контекста. Пусть F — проективный $\mathbb {Z} [G]$-разрешение (например, бесплатное $\mathbb {Z} [G]$-разрешение ) тривиального $\mathbb {Z} [G]$-модуль $\mathbb {Z}$:

$\cdots \to F_{n}\to F_{n-1}\to \cdots \to F_{0}\to \mathbb {Z} \to 0.$

например, всегда можно взять разрешение групповых колец, $F_{n}=\mathbb {Z} [G^{n+1}],$ с морфизмами

${\begin{cases}f_{n}:\mathbb {Z} [G^{n+1}]\to \mathbb {Z} [G^{n}]\\(g_{0},g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(g_{0},\ldots ,{\widehat {g_{i}}},\dots ,g_{n}\right)\end{cases}}$

Напомним, что для $\mathbb {Z} [G]$-модулей N и M , Hom _G ( N , M ) — абелева группа, состоящая из $\mathbb {Z} [G]$-гомоморфизмы из N в M . С $\operatorname {Hom} _{G}(-,M)$ является контравариантным функтором и меняет местами стрелки, применяя $\operatorname {Hom} _{G}(-,M)$ до F ​​по срокам и снижается $\operatorname {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,M)$ образует коцепной комплекс $\operatorname {Hom} _{G}(-,M)(F,M)$:

$\cdots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n},M)\leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n-1},M)\leftarrow \dots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{0},M)\leftarrow 0.$

Группы когомологий $H^{*}(G,M)$ группы G с коэффициентами в модуле M определяются как когомологии указанного выше коцепного комплекса:

$H^{n}(G,M)=H^{n}({\rm {Hom}}_{G}(F,M)),\qquad n\geqslant 0.$

Эта конструкция первоначально приводит к кограничному оператору, действующему на «однородные» коцепи. Это элементы $\operatorname {Hom} _{G}(F,M)$, то есть функции $\phi _{n}\colon G^{n}\to M$ которые подчиняются

$g\phi _{n}(g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n})=\phi _{n}(gg_{1},gg_{2},\ldots ,gg_{n}).$

Кограничный оператор $\delta \colon C^{n}\to C^{n+1}$ теперь естественным образом определяется, например,

$\delta \phi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})=\phi _{2}(g_{2},g_{3})-\phi _{2}(g_{1},g_{3})+\phi _{2}(g_{1},g_{2}).$

Связь с кограничным оператором d , определенным в предыдущем разделе и действующим на «неоднородные» коцепи $\varphi$, задается перепараметризацией так, что

${\begin{aligned}\varphi _{2}(g_{1},g_{2})&=\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\\varphi _{3}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\phi _{4}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3}),\end{aligned}}$

и так далее. Таким образом

${\begin{aligned}d\varphi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\delta \phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})\\&=\phi _{3}(g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\phi _{3}(1,g_{2},g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\varphi _{2}(g_{2},g_{3})-\varphi _{2}(g_{1}g_{2},g_{3})+\varphi _{2}(g_{1},g_{2}g_{3})-\varphi _{2}(g_{1},g_{2}),\end{aligned}}$

как в предыдущем разделе.

Групповая гомология

Двойственно конструкции групповых когомологий существует следующее определение групповых гомологий : для данного - модуля M обозначим DM подмодулем, порожденным элементами вида g · m − m , g ∈ G , m ∈ M. G Приписывая M его так называемые коинварианты , частное

$M_{G}:=M/DM,$

является точным правым функтором . Его левые производные функторы по определению являются гомологиями групп.

$H_{n}(G,M).$

Ковариантный функтор , который присваивает M _G значению M, изоморфен функтору, который переводит M в $\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M,$ где $\mathbb {Z}$ наделено тривиальным G -действием. Отсюда также получается выражение гомологии групп через функторы Tor :

$H_{n}(G,M)=\operatorname {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)$

Обратите внимание, что соглашение о верхнем/индексе для когомологий/гомологий согласуется с соглашением о групповых инвариантах/коинвариантах, которое обозначается как «со-» переключатели:

• верхние индексы соответствуют когомологиям H* и инвариантам X ^Г пока
• нижние индексы соответствуют гомологиям H _∗ и коинвариантам X _G := X / G .

В частности, группы гомологии H _n ( G , M ) можно вычислить следующим образом. Начните с проективного разрешения F тривиального $\mathbb {Z} [G]$-модуль $\mathbb {Z} ,$ как в предыдущем разделе. Примените ковариантный функтор $\cdot \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M$ к F почленно, чтобы получить цепной комплекс $F\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M$:

$\cdots \to F_{n}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to F_{n-1}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \cdots \to F_{0}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M.$

Тогда H _n ( G , M ) — группы гомологий этого цепного комплекса, $H_{n}(G,M)=H_{n}(F\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M)$ для n ≥ 0.

Гомологии и когомологии групп можно рассматривать единообразно для некоторых групп, особенно конечных групп , в терминах полных резольвент и групп когомологий Тейта .

Групповая гомология $H_{*}(G,k)$ абелевых групп G со значениями в области главных идеалов k тесно связана с внешней алгеброй $\wedge ^{*}(G\otimes k)$.

маломерных

ЧАС ¹

Первая группа когомологий является фактором так называемых скрещенных гомоморфизмов , то есть отображений (множеств) f : G → M, удовлетворяющих f ( ab ) = f ( a ) + af ( b ) для всех a , b в G по модулю так называемые главные скрещенные гомоморфизмы , т.е. отображения f : G → M формулой f ( g ) = gm − m для некоторого фиксированного m ∈ M. , заданные Это следует из определения коцепей, приведенного выше.

Если действие G на M тривиально к , то сказанное сводится H ¹ ( G , M ) = Hom( G , M ), группа групповых гомоморфизмов G → M , поскольку скрещенные гомоморфизмы тогда являются просто обычными гомоморфизмами, а кограницы (т.е. главные скрещенные гомоморфизмы) должны иметь образ тождественно нулю: следовательно, существует только нулевая кограница.

С другой стороны, рассмотрим случай $H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-}),$ где $\mathbb {Z} _{-}$ обозначает нетривиальное $\mathbb {Z} /2$-структура аддитивной группы целых чисел, которая отправляет a в -a для каждого $a\in \mathbb {Z}$; и где мы рассматриваем $\mathbb {Z} /2$ как группа $\{\pm 1\}$. Рассмотрев все возможные случаи для изображений $\{1,-1\}$, можно видеть, что скрещенные гомоморфизмы составляют все отображения $f_{t}:\{\pm 1\}\to \mathbb {Z}$ удовлетворяющий $f_{t}(1)=0$ и $f_{t}(-1)=t$ для некоторого произвольного выбора целого числа t . Главные скрещенные гомоморфизмы должны дополнительно удовлетворять $f_{t}(-1)=(-1)*m-m=-2m$ для некоторого целого числа m : следовательно, каждый скрещенный гомоморфизм $f_{t}$ отправка -1 в четное целое число $t=-2m$ является главным, поэтому:

$H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})\cong \mathbb {Z} /2={\rm {\ (say)\ {\it {}}}}\langle f:f(1)=0,f(-1)=1\rangle ,$

групповая операция представляет собой поточечное сложение: $(f_{s}+f_{t})(x)=f_{s}(x)+f_{t}(x)=f_{s+t}(x)$, отметив, что $f_{0}$ является элементом идентичности.

ЧАС ²

Если M — тривиальный G -модуль (т.е. действие G на M тривиально), вторая группа когомологий H ² ( G , M ) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством центральных расширений G ( с помощью M с точностью до естественного отношения эквивалентности). В более общем смысле, если действие G на M нетривиально, H ² ( G , M ) классифицирует классы изоморфизма всех расширений $0\to M\to E\to G\to 0$ G изоморфной через M, в котором действие G на E (посредством внутренних автоморфизмов ) наделяет (образ) M структурой G -модуля.

В примере из раздела $H^{1}$ сразу выше, $H^{2}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})=0,$ как единственное продолжение $\mathbb {Z} /2$ к $\mathbb {Z}$ с данным нетривиальным действием — это бесконечная группа диэдра , которая является расщепляемым расширением и поэтому тривиальна внутри $H^{2}$ группа. Фактически, в теоретико-групповых терминах это значение имеет уникальный нетривиальный элемент $H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-}),$.

Примером второй группы когомологий является группа Брауэра : это когомологии абсолютной группы Галуа поля k , которое действует на обратимые элементы в сепарабельном замыкании:

$H^{2}\left(\mathrm {Gal} (k),(k^{\mathrm {sep} })^{\times }\right).$

См. также [1] .

Основные примеры

конечной

Для конечной циклической группы $G=C_{m}$ порядка $m$ с генератором $\sigma$, элемент $\sigma -1\in \mathbb {Z} [G]$ в ассоциированном групповом кольце является делителем нуля, поскольку его произведение на $N$, заданный

$N=1+\sigma +\sigma ^{2}+\cdots +\sigma ^{m-1}\in \mathbb {Z} [G],$

дает

${\begin{aligned}N(1-\sigma )&=1+\sigma +\cdots +\sigma ^{m-1}\\&\quad -\sigma -\sigma ^{2}-\cdots -\sigma ^{m}\\&=1-\sigma ^{m}\\&=0.\end{aligned}}$

Это свойство можно использовать для построения разрешения тривиального $\mathbb {Z} [G]$-модуль $\mathbb {Z}$ через комплекс

$\cdots \xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {N} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\text{aug}} \mathbb {Z} \to 0$

давая вычисление групповых когомологий для любого $\mathbb {Z} [G]$-модуль $A$. Обратите внимание, что карта расширения дает тривиальный модуль $\mathbb {Z}$ его $\mathbb {Z} [G]$-структура по

${\text{aug}}\left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)=\sum _{g\in G}a_{g}$

Это разрешение дает вычисление групповых когомологий, поскольку существует изоморфизм групп когомологий

$H^{k}(G,A)\cong {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} [G]}^{k}(\mathbb {Z} ,A)$

показывая, что применение функтора ${\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(-,A)$ к вышеуказанному комплексу (с $\mathbb {Z}$ удалено, поскольку это разрешение является квазиизоморфизмом ), дает вычисление

$H^{k}(G,A)={\begin{cases}A^{G}/NA&k{\text{ even}},k\geq 2\\{}_{N}A/(\sigma -1)A&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}$

для

${}_{N}A=\{a\in A:Na=0\}$

Например, если $A=\mathbb {Z}$, тривиальный модуль, то $\mathbb {Z} ^{G}=\mathbb {Z}$, $N\mathbb {Z} ={\text{aug}}(N)\mathbb {Z} =m\mathbb {Z}$, и ${}_{N}\mathbb {Z} =0$, следовательно

$H^{k}(C_{m},\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} &k{\text{ even}},k\geq 2\\0&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}$

Явные коциклы

Коциклы групповых когомологий циклической группы можно задать явно. используя разрешение Бара. Получаем полный набор генераторов $l$-коциклы для $l$ странно, как карты

$\omega _{a}:B_{l}\to k^{*}$

данный

$[g^{i_{1}},\ldots ,g^{i_{l}}]\mapsto \zeta _{m}^{ai_{1}\left[{\frac {i_{2}+i_{3}}{m}}\right]\cdots \left[{\frac {i_{l-1}+i_{l}}{m}}\right]}$

для $l$ странный, $0\leq a\leq m-1$, $\zeta _{m}$ примитивный $m$-й корень из единицы, $k$ поле, содержащее $m$-ые корни единства, и

$\left[{\frac {a}{b}}\right]$

для рационального числа $a/b$ обозначающее наибольшее целое число, не превышающее $a/b$. Также мы используем обозначение

$B_{l}=\bigoplus _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{l}\leq m-1}\mathbb {Z} G\cdot [g^{i_{1}},\ldots ,g^{i_{l}}]$

где $g$ это генератор для $G=C_{m}$. Обратите внимание, что для $l$ ненулевые четные индексы, группы когомологий тривиальны.

Когомологии свободных групп

Использование разрешения

Учитывая набор $S$ связанная свободная группа $G={\text{Free}}(S)={\underset {s\in S}{*}}\mathbb {Z}$ имеет явное решение тривиального модуля $\mathbb {Z} _{\text{triv}}$ который можно легко вычислить. Обратите внимание на карту дополнений.

${\text{aug}}:\mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}$

имеет ядро, заданное свободным подмодулем $I_{S}$ генерируется набором $\{s-1:s\in S\}$, так

$I_{S}=\bigoplus _{s\in S}\mathbb {Z} [G]\cdot (s-1)$.

Поскольку этот объект бесплатен, это дает разрешение

$0\to I_{S}\to \mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}\to 0$

следовательно, групповые когомологии $G$ с коэффициентами в $\mathbb {Z} _{\text{triv}}$ можно вычислить, применив функтор ${\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(-,\mathbb {Z} )$ в комплекс $0\to I_{S}\to \mathbb {Z} [G]\to 0$, давая

$H^{k}(G,\mathbb {Z} _{\text{triv}})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\bigoplus _{s\in S}\mathbb {Z} &k=1\\0&k\geq 2\end{cases}}$

это потому что двойная карта

${\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} _{\text{triv}})\to {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(I_{S},\mathbb {Z} _{\text{triv}})$

отправляет любые $\mathbb {Z} [G]$-модульный морфизм

$\phi :\mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}$

к индуцированному морфизму на $I_{S}$ составив включение. Единственные карты, которые отправляются на $0$ являются $\mathbb {Z}$-кратные карты увеличения, дающие первую группу когомологий. Вторую можно найти, заметив единственные другие карты.

$\psi \in {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(I_{S},\mathbb {Z} _{\text{triv}})$

может быть создан с помощью $\mathbb {Z}$-основы отправки карт $(s-1)\mapsto 1$ за фиксированную $s\in S$и отправка $(s'-1)\mapsto 0$ для любого $s'\in S-\{s\}$.

Использование топологии

Групповые когомологии свободных групп $\mathbb {Z} *\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z}$ созданный $n$ буквы можно легко вычислить, сравнивая когомологии группы с ее интерпретацией в топологии. Напомним, что для каждой группы $G$ существует топологическое пространство $BG$, называемое классифицирующим пространством группы, обладающее свойством

$\pi _{1}(BG)=G{\text{ and }}\pi _{k}(BG)=0{\text{ for }}k\geq 2$

Кроме того, он обладает тем свойством, что его топологические когомологии изоморфны групповым когомологиям.

$H^{k}(BG,\mathbb {Z} )\cong H^{k}(G,\mathbb {Z} )$

давая возможность вычислить некоторые группы групповых когомологий. Примечание $\mathbb {Z}$ может быть заменена любой локальной системой ${\mathcal {L}}$ что определяется картой

$\pi _{1}(G)\to GL(V)$

для некоторой абелевой группы $V$. В случае $B(\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} )$ для $n$ букв, это представлено клиновой суммой $n$ круги $S^{1}\vee \cdots \vee S^{1}$ что можно показать с помощью теоремы Ван-Кампена , давая групповые когомологии

$H^{k}(\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} ^{n}&k=1\\0&k\geq 2\end{cases}}$

Групповые когомологии целой решетки

Для цельной решетки $\Lambda$ ранга $n$ (следовательно, изоморфен $\mathbb {Z} ^{n}$), его групповые когомологии можно вычислить относительно легко. Во-первых, потому что $B\mathbb {Z} \cong S^{1}$, и $B\mathbb {Z} \times B\mathbb {Z}$ имеет $\pi _{1}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$, которые как абелевы группы изоморфны $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$групповые когомологии имеют изоморфизм

$H^{k}(\Lambda ,\mathbb {Z} _{\text{triv}})\cong H^{k}(\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} )$

с целочисленными когомологиями тора ранга $n$.

Свойства

Пусть далее M — G -модуль.

Длинная

На практике группы когомологий часто вычисляют, используя следующий факт: если

$0\to L\to M\to N\to 0$

— короткая точная последовательность -модулей G , то индуцируется длинная точная последовательность:

$0\longrightarrow L^{G}\longrightarrow M^{G}\longrightarrow N^{G}{\overset {\delta ^{0}}{\longrightarrow }}H^{1}(G,L)\longrightarrow H^{1}(G,M)\longrightarrow H^{1}(G,N){\overset {\delta ^{1}}{\longrightarrow }}H^{2}(G,L)\longrightarrow \cdots$

Так называемые связующие гомоморфизмы ,

$\delta ^{n}:H^{n}(G,N)\to H^{n+1}(G,L)$

можно описать в терминах неоднородных коцепей следующим образом. Если $c\in H^{n}(G,N)$ представлен n -коциклом $\phi :G^{n}\to N,$ затем $\delta ^{n}(c)$ представлен $d^{n}(\psi ),$ где $\psi$ представляет собой n -коцепь $G^{n}\to M$ "подъем" $\phi$ (т.е. $\phi$ это состав $\psi$ с сюръективным отображением M → N ).

Функциональность

Групповые когомологии контравариантно зависят от группы G в следующем смысле: если f : H → G — групповой гомоморфизм , то мы имеем естественно индуцированный морфизм H ^н ( г , М ) → ЧАС ^н ( H , M ) (где в последнем M рассматривается как H -модуль посредством f ). Эта карта называется картой ограничений . Если индекс H конечен, существует также в G отображение в противоположном направлении, называемое трансферной картой .

$cor_{H}^{G}:H^{n}(H,M)\to H^{n}(G,M).$

В степени 0 оно определяется отображением

${\begin{cases}M^{H}\to M^{G}\\m\mapsto \sum _{g\in G/H}gm\end{cases}}$

Учитывая морфизм G -модулей M → N , получаем морфизм групп когомологий в H ^н ( г , М ) → ЧАС ^н ( Г , Н ).

Продукты

Подобно другим теориям когомологий в топологии и геометрии, таким как сингулярные когомологии или когомологии де Рама , групповые когомологии имеют структуру продукта: существует естественное отображение, называемое чашечным произведением :

$H^{n}(G,N)\otimes H^{m}(G,M)\to H^{n+m}(G,M\otimes N)$

для любых двух G -модулей M и N . Это дает градуированную антикоммутативную кольцевую структуру на $\oplus _{n\geqslant 0}H^{n}(G,R),$ где R — кольцо типа $\mathbb {Z}$ или $\mathbb {Z} /p.$ Для конечной группы G четная часть этого кольца когомологий p характеристики $\oplus _{n\geqslant 0}H^{2n}(G,\mathbb {Z} /p)$ несет много информации о группе. Структура G , например, размерность Крулля этого кольца равна максимальному рангу абелевой подгруппы. $(\mathbb {Z} /p)^{r}$.

Например, пусть G — группа из двух элементов в дискретной топологии. Настоящее проективное пространство $\mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )$ является классифицирующим пространством для G . Позволять $k=\mathbb {F} _{2},$ поле . двух элементов Затем

$H^{*}(G;k)\cong k[x],$

полиномиальная k -алгебра от одного образующего, так как это клеточных когомологий кольцо $\mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} ).$

Формула Кюннета

Если M = k — поле, то H* ( G ; k ) — градуированная k -алгебра и когомологии произведения групп связаны с когомологиями отдельных групп формулой Кюннета :

$H^{*}(G_{1}\times G_{2};k)\cong H^{*}(G_{1};k)\otimes H^{*}(G_{2};k).$

Например, если G — элементарная абелева 2-группа ранга r и $k=\mathbb {F} _{2},$ то формула Кюннета показывает, что когомологии группы G являются полиномиальной k -алгеброй, порожденной r классами из H ¹ ( G ; k ).,

$H^{*}(G;k)\cong k[x_{1},\ldots ,x_{r}].$

Гомологии

Что касается других теорий когомологий, таких как сингулярные когомологии , групповые когомологии и гомологии связаны друг с другом посредством короткой точной последовательности

$0\to \mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}\left(H_{n-1}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to H^{n}(G,A)\to \mathrm {Hom} \left(H_{n}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to 0,$

где A наделен тривиальным G -действием, а член слева — это первая группа Ext .

Объединенные продукты

Учитывая группу A , которая является подгруппой двух групп G ₁ и G ₂ , гомологии объединенного произведения $G:=G_{1}\star _{A}G_{2}$ (с целыми коэффициентами) лежит в длинной точной последовательности

$\cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(G_{1})\oplus H_{n}(G_{2})\to H_{n}(G)\to H_{n-1}(A)\to \cdots$

Гомология $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /4\star _{\mathbb {Z} /2}\mathbb {Z} /6$ можно вычислить с помощью этого:

$H_{n}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} &n=0\\\mathbb {Z} /12&{\text{odd degrees}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Эту точную последовательность можно также применить, чтобы показать, что гомология $\mathrm {SL} _{2}(k[t])$ и специальная линейная группа $\mathrm {SL} _{2}(k)$ согласен для бесконечного поля k .

Смена группы

Спектральная последовательность Хохшильда –Серра связывает когомологии нормальной подгруппы N группы G и фактора G/N с когомологиями группы G (для (про-)конечных групп G ). Отсюда следует точная последовательность ограничения инфляции .

Когомологии классифицирующего пространства

Групповые когомологии тесно связаны с топологическими теориями когомологий, такими как когомологии пучков , посредством изоморфизма.

$H^{n}(BG,\mathbb {Z} )\cong H^{n}(G,\mathbb {Z} ).$

Выражение $BG$ слева — классифицирующее пространство для $G$. Это пространство Эйленберга – Маклейна. $K(G,1)$, т. е. пространство, фундаментальная группа которого есть $G$ и чьи высшие гомотопические группы исчезают). Классификация пространств для $\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /2$ и $\mathbb {Z} /n$ представляют собой 1-сферу S ¹ , бесконечное реальное проективное пространство $\mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )=\cup _{n}\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} ),$ и пространства линз соответственно. В общем, $BG$ можно построить как частное $EG/G$, где $EG$ представляет собой сжимаемое пространство, на котором $G$ действует свободно. Однако, $BG$ обычно не имеет легко поддающегося геометрическому описанию.

В более общем смысле можно прикрепиться к любому $G$-модуль $M$ локальная коэффициентов система $BG$ и указанный выше изоморфизм обобщается до изоморфизма

$H^{n}(BG,M)=H^{n}(G,M).$

Дальнейшие примеры

Полупрямые произведения групп

Существует способ вычислить полупрямое произведение групп, используя топологию расслоений и свойства пространств Эйленберга-Маклена. Напомним, что для полупрямого произведения групп $G=N\rtimes H$ существует ассоциированная короткая точная последовательность групп

$1\to N\to N\rtimes H\to H\to 1$

Используя соответствующие пространства Эйленберга-Маклана, существует расслоение Серра

$K(N,1)\to K(G,1)\to K(H,1)$

которую можно провести через спектральную последовательность Серра . Это дает $E_{2}$-страница

$E_{2}^{p,q}=H^{p}(K(H,1),H^{q}(K(N,1)))\Rightarrow H^{p+q}(K(G,1))$

который дает информацию о групповых когомологиях $G$ из групп групповых когомологий $H,N$. Обратите внимание, что этот формализм можно применить чисто теоретико-групповым способом, используя спектральную последовательность Линдона-Хохшильда-Серра .

Когомологии конечных групп

Высшие группы

Группы когомологий H ^н ( G , M ) конечных групп G являются периодическими для всех n ≥1. Действительно, по теореме Машке категория представлений конечной группы полупроста над любым полем нулевой характеристики (или, в более общем смысле, любым полем, характеристика которого не делит порядок группы), следовательно, когомологии групп рассматриваются как производные функтора в этой абелевой категории , получаем, что он равен нулю. Другой аргумент состоит в том, что над полем нулевой характеристики групповая алгебра конечной группы представляет собой прямую сумму матричных алгебр (возможно, над телами, которые являются расширениями исходного поля), а матричная алгебра эквивалентна Морита своей базе . поле и, следовательно, имеет тривиальные когомологии.

Если порядок G обратим в G -модуле M (например, если M является $\mathbb {Q}$-векторное пространство), карту переноса можно использовать, чтобы показать, что $H^{n}(G,M)=0$ для $n\geqslant 1.$ Типичное применение этого факта состоит в следующем: длинная точная последовательность когомологий короткой точной последовательности (где все три группы имеют тривиальное G -действие)

$0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to 0$

дает изоморфизм

$\mathrm {Hom} (G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )=H^{1}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )\cong H^{2}(G,\mathbb {Z} ).$

Когомологии Тейта

Группы когомологий Тейта сочетают в себе как гомологии, так и когомологии конечной группы G :

${\widehat {H}}^{n}(G,M):={\begin{cases}H^{n}(G,M)&n\geqslant 1\\\operatorname {coker} N&n=0\\\ker N&n=-1\\H_{-n-1}(G,M)&n\leqslant -2,\end{cases}}$

где $N:M_{G}\to M^{G}$ индуцируется отображением нормы:

${\begin{cases}M\to M\\m\mapsto \sum _{g\in G}gm\end{cases}}$

Когомологии Тейта обладают схожими особенностями, такими как длинные точные последовательности, структуры продуктов. Важным применением является теория полей классов , см. формирование классов .

Когомологии Тейта конечных циклических групп , $G=\mathbb {Z} /n,$ 2-периодична в том смысле, что существуют изоморфизмы

${\widehat {H}}^{m}(G,M)\cong {\widehat {H}}^{m+2}(G,M)\qquad {\text{for all }}m\in \mathbb {Z} .$

Необходимым и достаточным критерием d -периодических когомологий является то, что единственные абелевы подгруппы группы G являются циклическими. Например, любой полупрямой продукт $\mathbb {Z} /n\rtimes \mathbb {Z} /m$ имеет это свойство для взаимно простых целых чисел n и m .

Приложения

Алгебраическая K-теория и гомологии линейных групп

Алгебраическая K-теория тесно связана с групповыми когомологиями: в +-конструкции Квиллена K-теории K -теория кольца R определяется как гомотопические группы пространства $\mathrm {BGL} (R)^{+}.$ Здесь $\mathrm {GL} (R)=\cup _{n\geq 1}\mathrm {GL} _{n}(R)$ — бесконечная общая линейная группа . Пространство $\mathrm {BGL} (R)^{+}$ имеет ту же гомологию, что и $\mathrm {BGL} (R),$ т.е. групповые гомологии GL( R ). В некоторых случаях результаты устойчивости утверждают, что последовательность групп когомологий

$\dots \to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n}(R)\right)\to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n+1}(R)\right)\to \cdots$

становится стационарным при достаточно больших n , что сводит вычисление когомологий бесконечной общей линейной группы к вычислению когомологий некоторой $\mathrm {GL} _{n}(R)$. Такие результаты были установлены, когда R — поле или для колец целых чисел в числовом поле .

Явление групповой гомологии ряда групп. $G_{n}$ Стабилизация называется гомологической стабильностью . В дополнение к делу $G_{n}=\mathrm {GL} _{n}(R)$ только что упомянутое, это применимо и к различным другим группам, таким как симметрические группы или группы классов отображения .

представления и

В квантовой механике часто встречаются системы с группой симметрии. $G.$ Мы ожидаем действия $G$ в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ по унитарным матрицам $U(g).$ Мы могли бы ожидать $U(g_{1})U(g_{2})=U(g_{1}g_{2}),$ но правила квантовой механики требуют только

$U(g_{1})U(g_{2})=\exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}U(g_{1}g_{2}),$

где $\exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}\in {\rm {U}}(1)$ является фазой. Это проективное представление $G$ также можно рассматривать как обычное представление расширения группы ${\tilde {G}}$ из $G$ к $\mathrm {U} (1),$ как описано в точной последовательности

$1\to {\rm {U}}(1)\to {\tilde {G}}\to G\to 1.$

Требование ассоциативности

$U(g_{1})[U(g_{2})U(g_{3})]=[U(g_{1})U(g_{2})]U(g_{3})$

приводит к

$\omega (g_{2},g_{3})-\omega (g_{1}g_{2},g_{3})+\omega (g_{1},g_{2}g_{3})-\omega (g_{1},g_{2})=0,$

которое мы признаем как утверждение о том, что $d\omega (g_{1},g_{2},g_{3})=0,$ то есть это $\omega$ является коциклом, принимающим значения в $\mathbb {R} /\mathbb {Z} \simeq {\rm {U}}(1).$ Мы можем задаться вопросом, можем ли мы устранить эти фазы, переопределив

$U(g)\to \exp\{2\pi i\eta (g)\}U(g)$

что меняет

$\omega (g_{1},g_{2})\to \omega (g_{1},g_{2})+\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).$

Мы признаем это как сдвиг $\omega$ по когранице $\omega \to \omega +d\eta .$ Поэтому различные проективные представления классифицируются по $H^{2}(G,\mathbb {R} /\mathbb {Z} ).$ Обратите внимание: если мы позволим группе воздействовать на сами фазы (например, обращение времени приведет к комплексному сопряжению фазы), то первый член в каждой из кограничных операций будет иметь $g_{1}$ действуя на нее так же, как в общих определениях кограницы в предыдущих разделах. Например, $d\eta (g_{1},g_{2})\to g_{1}\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).$

Расширения

Когомологии топологических групп

Учитывая топологическую группу G , т. е. группу, снабженную топологией такой, что произведение и обратное являются непрерывными отображениями, естественно рассматривать непрерывные G -модули, т. е. требуя, чтобы действие

$G\times M\to M$

представляет собой непрерывное отображение. Для таких модулей можно снова рассмотреть производный функтор $M\mapsto M^{G}$. Особый случай, возникающий в алгебре и теории чисел, - это когда G бесконечна, например, абсолютная группа Галуа поля. Полученные когомологии называются когомологиями Галуа .

Неабелевы

Смотрите также: Неабелевы когомологии

Используя G -инварианты и 1-коцепи, можно построить нулевую и первую групповые когомологии для группы G с коэффициентами из неабелевой группы. В частности, G -группа — это (не обязательно абелева) группа A вместе с действием G .

Нулевыми когомологиями группы G с коэффициентами из A называется подгруппа

$H^{0}(G,A)=A^{G},$

элементов A, фиксированных G .

Первые когомологии G с коэффициентами из A определяются как 1-коциклы по модулю отношения эквивалентности, а не через 1-кограницы. Условия для карты $\varphi$ быть 1-коциклом - это $\varphi (gh)=\varphi (g)[g\varphi (h)]$ и $\ \varphi \sim \varphi '$ существует A если в такое , что $\ a\varphi '(g)=\varphi (g)\cdot (ga)$. В общем, $H^{1}(G,A)$ не является группой, если A неабелева. Вместо этого он имеет структуру точечного множества – точно такая же ситуация возникает в 0-й гомотопической группе , $\ \pi _{0}(X;x)$ которое для общего топологического пространства является не группой, а точечным множеством. Обратите внимание, что группа — это, в частности, точечный набор, в котором единичный элемент является выделенной точкой.

Используя явные вычисления, все равно получается усеченная длинная точная последовательность в когомологиях. Конкретно, пусть

$1\to A\to B\to C\to 1\,$

— короткая точная последовательность G -групп, то существует точная последовательность указанных множеств

$1\to A^{G}\to B^{G}\to C^{G}\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(G,B)\to H^{1}(G,C).\,$

История и связь с другими областями

Низкомерные когомологии группы классически изучались и в других формах, задолго до того, как в 1943–45 было сформулировано понятие групповых когомологий. Первую теорему по этой теме можно назвать Теоремой Гильберта 90 1897 года; это было преобразовано в Эмми Нётер уравнения в теории Галуа (появление коциклов для $H^{1}$). Идея фактормножеств для задачи расширения групп (связанная с $H^{2}$) возник в работе Отто Гёльдера (1893), в Иссаи Шура исследовании проективных представлений в 1904 году, в трактовке Отто Шрайера 1926 года и в Рихардом Брауэром исследовании простых алгебр и группы Брауэра в 1928 году . Более полное обсуждение этой истории можно найти в ( Weibel 1999 , стр. 806–811).

В 1941 году во время учебы $H^{2}(G,\mathbb {Z} )$ (которая играет особую роль в группах), Хайнц Хопф открыл то, что сейчас называется интегральной формулой гомологий Хопфа ( Хопф, 1942 ), которая идентична формуле Шура для множителя Шура конечной, конечно представленной группы:

$H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R],$

где $G\cong F/R$ и F — свободная группа.

Результат Хопфа привел к независимому открытию групповых когомологий несколькими группами в 1943-45 годах: Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Мак Лейном в США ( Rotman 1995 , стр. 358); Хопф и Бено Экманн в Швейцарии; Ганс Фройденталь в Нидерландах ( Weibel 1999 , стр. 807); и Дмитрий Фаддеев в Советском Союзе ( Арсланов 2011 , стр. 29, Фаддеев 1947 ). Ситуация была хаотичной, поскольку во время Второй мировой войны связь между этими странами была затруднена.

С топологической точки зрения гомологии и когомологии G были впервые определены как гомологии и когомологии модели топологического классифицирующего пространства BG , как обсуждалось выше. На практике это означало использование топологии для создания цепных комплексов, используемых в формальных алгебраических определениях. С теоретико-модульной точки зрения это было интегрировано в Картана – Эйленберга теорию гомологической алгебры в начале 1950-х годов.

Применение теории алгебраических чисел к теории полей классов позволило получить теоремы, справедливые для общих расширений Галуа (а не только для абелевых расширений ). Когомологическая часть теории поля классов была аксиоматизирована как теория классовых образований . В свою очередь, это привело к понятию когомологий Галуа и этальных когомологий (которые на этом основаны) ( Weibel 1999 , стр. 822). После 1960 года в теорию были внесены некоторые усовершенствования, такие как непрерывные коциклы и Джона Тейта , новое определение но основные контуры остались прежними. Это большая область, которая в настоящее время является основной в теориях алгебраических групп .

Аналогичная теория для алгебр Ли , называемая когомологиями алгебр Ли , была впервые развита в конце 1940-х годов Клодом Шевалле , Эйленбергом и Жаном-Луи Кошулем ( Weibel 1999 , стр. 810). Формально это аналогично, если использовать соответствующее определение инварианта действия алгебры Ли. Оно широко применяется в теории представлений и тесно связано с БРСТ-квантованием теоретической физики .

Теория групповых когомологий имеет также прямое применение в физике конденсированного состояния. Подобно тому, как теория групп является математической основой фаз спонтанного нарушения симметрии , теория групповых когомологий является математической основой класса квантовых состояний материи — короткодействующих запутанных состояний с симметрией. Близкодействующие запутанные состояния с симметрией также известны как топологические состояния с защищенной симметрией .

См. также

• Спектральная последовательность Линдона – Хохшильда – Серра
• N-группа (теория категорий)
• Postnikov tower

Ссылки

Цитируемые работы

• Адем, Алехандро ; Милгрэм, Р. Джеймс (2004), Когомологии конечных групп , Основы математических наук, том. 309 (2-е изд.), Springer-Verlag, номер документа : 10.1007/978-3-662-06280-7 , ISBN.  978-3-540-20283-7 , МР   2035696 , Збл   1061.20044
• Arslanov, M. M. (2011), Математическая жизнь в Казани в годы войны , Mat. Pros., Ser. 3 , vol. 15, MCCME, pp. 20–34, ISBN  978-5-94057-741-6
• Браун, Кеннет С. (1972), Когомологии групп , Тексты для аспирантов по математике , том. 87, Спрингер Верлаг, ISBN  978-0-387-90688-1 , МР   0672956
• Faddeev, D. K. (1947), О фактор-системах в абелевых группах с операторами , Dokl. Akad. Nauk SSSR , vol. 58, Leningrad Department of V. A. Steklov Institute of Mathematics, USSR Academy of Sciences, pp. 361–364, ISSN  0002-3264
• Хопф, Хайнц (1942), «Фундаментальная группа и вторая группа Бетти» , Commentarii Mathematici Helvetici , 14 (1): 257–309, doi : 10.1007/BF02565622 , JFM   68.0503.01 , MR   0006510 , S2CID   122819784 , Збл   0027.09503
• Кнудсон, Кевин П. (2001), Гомологии линейных групп , Progress in Mathematics, vol. 193, Биркхойзер Ферлаг, Збл   0997.20045
• Милн, Джеймс (2013), «Глава II: Когомологии групп» , Теория поля классов , том. v4.02
• Ротман, Джозеф Дж. (1995), Введение в теорию групп , Тексты для аспирантов по математике , том. 148 (4-е изд.), Springer-Verlag, номер документа : 10.1007/978-1-4612-4176-8 , ISBN.  978-0-387-94285-8 , МР   1307623
• Серр, Жан-Пьер (1979). «Глава VII». Локальные поля . Тексты для аспирантов по математике . Том. 67. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90424-5 . МР   0554237 . Збл   0423.12016 .
• Вейбель, Чарльз А. (1999), «История гомологической алгебры», История топологии , Cambridge University Press, стр. 797–836, CiteSeerX   10.1.1.39.9076 , doi : 10.1016/B978-044482375-5/50029-8 , ISBN  978-0-444-82375-5 , МР   1721123

Дальнейшее чтение

• Серр, Жан-Пьер (1994), Когомологии Галуа , Конспект лекций по математике, том. 5 (Пятое изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0108758 , ISBN  978-3-540-58002-7 , МР   1324577
• Шац, Стивен С. (1972), Проконечные группы, арифметика и геометрия , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08017-8 , МР   0347778
• Глава 6 Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4 . МР   1269324 . OCLC   36131259 .