Плюс строительство

В математике конструкция «плюс» — это метод упрощения фундаментальной группы пространства без изменения его гомологий и когомологий групп .

Явно, если $X$ представляет собой связный комплекс CW и $P$ является совершенно нормальной подгруппой $\pi _{1}(X)$ тогда карта $f\colon X\to Y$ называется +-конструкцией относительно $P$ если $f$ индуцирует изоморфизм гомологий, и $P$ является ядром $\pi _{1}(X)\to \pi _{1}(Y)$.

Конструкция «плюс» была введена Мишелем Кервером ( 1969 ) и использовалась Дэниелом Квилленом для определения алгебраической K-теории . Учитывая совершенную нормальную подгруппу фундаментальной группы связного комплекса CW $X$, присоедините две клеточки по петлям в $X$ чьи образы в фундаментальной группе порождают подгруппу. Эта операция обычно меняет гомологию пространства, но эти изменения можно обратить вспять путем добавления трех ячеек.

Наиболее распространенное применение плюсовой конструкции - в алгебраической K-теории. Если $R$ — с единицей кольцо , обозначим через $\operatorname {GL} _{n}(R)$ группа обратимых $n$-к- $n$ матрицы с элементами в $R$. $\operatorname {GL} _{n}(R)$ встраивается в $\operatorname {GL} _{n+1}(R)$ прикрепив $1$ по диагонали и $0$это где-то еще. Прямой предел этих групп через эти отображения обозначается $\operatorname {GL} (R)$ и его классифицирующее пространство обозначается $B\operatorname {GL} (R)$. Тогда конструкция «плюс» может быть применена к совершенно нормальной подгруппе. $E(R)$ из $\operatorname {GL} (R)=\pi _{1}(B\operatorname {GL} (R))$, сгенерированный матрицами, которые отличаются от единичной матрицы только одной недиагональной записью. Для $n>0$, $n$-я гомотопическая группа полученного пространства, $B\operatorname {GL} (R)^{+}$, изоморфен $n$-й $K$-группа $R$, то есть,

$\pi _{n}\left(B\operatorname {GL} (R)^{+}\right)\cong K_{n}(R).$

См. также

• Полу-s-кобордизм

Ссылки

• Адамс, Дж. Франк (1978), Пространства бесконечных петель , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , стр. 82–95, ISBN  0-691-08206-5
• Кервер, Мишель А. (1969), «Гладкие сферы гомологии и их фундаментальные группы», Труды Американского математического общества , 144 : 67–72, doi : 10.2307/1995269 , ISSN   0002-9947 , MR   0253347
• Куиллен, Дэниел (1971), «Спектр кольца эквивариантных когомологий: I», Annals of Mathematics , Second Series, 94 (3): 549–572, doi : 10.2307/1970770 .
• Куиллен, Дэниел (1971), «Спектр кольца эквивариантных когомологий: II», Annals of Mathematics , Second Series, 94 (3): 573–602, doi : 10.2307/1970771 .
• Куиллен, Дэниел (1972), «О когомологиях и K-теории общих линейных групп над конечным полем», Annals of Mathematics , Second Series, 96 (3): 552–586, doi : 10.2307/1970825 .

Внешние ссылки

• «Плюс-строительство» , Энциклопедия Математики , EMS Press , 2001 [1994]