Плюс строительство

В математике конструкция «плюс» — это метод упрощения фундаментальной группы пространства без изменения его гомологий и когомологий групп .

Явно, если $X$ представляет собой связный комплекс CW и $P$ является совершенно нормальной подгруппой $\pi _{1}(X)$ тогда карта $f\colon X\to Y$ называется +-конструкцией относительно $P$ если $f$ индуцирует изоморфизм гомологий, и $P$ является ядром $\pi _{1}(X)\to \pi _{1}(Y)$ . ^[1]

Конструкция «плюс» была введена Мишелем Кервером ( 1969 ) и использовалась Дэниелом Квилленом для определения алгебраической K-теории . Учитывая совершенную нормальную подгруппу фундаментальной группы связного комплекса CW $X$ , присоедините две клеточки по петлям в $X$ чьи образы в фундаментальной группе порождают подгруппу. Эта операция обычно меняет гомологию пространства, но эти изменения можно обратить вспять путем добавления трехклеток.

Наиболее распространенное применение плюсовой конструкции - в алгебраической K-теории. Если $R$ — с единицей кольцо , обозначим через $\operatorname {GL} _{n}(R)$ группа обратимых $n$ -к- $n$ матрицы с элементами в $R$ . $\operatorname {GL} _{n}(R)$ встраивается в $\operatorname {GL} _{n+1}(R)$ прикрепив $1$ по диагонали и $0$ это где-то еще. Прямой предел этих групп через эти отображения обозначается $\operatorname {GL} (R)$ и его классифицирующее пространство обозначается $B\operatorname {GL} (R)$ . Тогда конструкция «плюс» может быть применена к совершенно нормальной подгруппе. $E(R)$ из $\operatorname {GL} (R)=\pi _{1}(B\operatorname {GL} (R))$ , сгенерированный матрицами, которые отличаются от единичной матрицы только одной недиагональной записью. Для $n>0$ , $n$ -я гомотопическая группа полученного пространства, $B\operatorname {GL} (R)^{+}$ , изоморфен $n$ -й $K$ -группа $R$ , то есть,

\pi _{n}\left(B\operatorname {GL} (R)^{+}\right)\cong K_{n}(R).

См. также [ править ]

Полу-s-кобордизм

Ссылки [ править ]

^ Чарльз Вейбель , Введение в алгебраическую K-теорию IV, Определение 1.4.1

Адамс, Дж. Франк (1978), Пространства бесконечных петель , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , стр. 82–95, ISBN 0-691-08206-5
Кервер, Мишель А. (1969), «Гладкие сферы гомологии и их фундаментальные группы», Труды Американского математического общества , 144 : 67–72, doi : 10.2307/1995269 , ISSN 0002-9947 , MR 0253347
Куиллен, Дэниел (1971), «Спектр кольца эквивариантных когомологий: I», Annals of Mathematics , Second Series, 94 (3): 549–572, doi : 10.2307/1970770 .
Куиллен, Дэниел (1971), «Спектр кольца эквивариантных когомологий: II», Annals of Mathematics , Second Series, 94 (3): 573–602, doi : 10.2307/1970771 .
Куиллен, Дэниел (1972), «О когомологиях и K-теории общих линейных групп над конечным полем», Annals of Mathematics , Second Series, 96 (3): 552–586, doi : 10.2307/1970825 .

Внешние ссылки [ править ]

«Плюс-строительство» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Чарльз Вейбель , Введение в алгебраическую K-теорию IV, Определение 1.4.1

[1]