Полу- s -кобордизм

В математике кобордизм ​ ( W , M , M ⁻ ) ( n + 1)-мерного многообразия (с краем) W между его граничными компонентами, два n -многообразия M и M ⁻ , называется полу -s -кобордизмом, если (и только если) выполнено включение $M\hookrightarrow W$ является простой гомотопической эквивалентностью (как в s -кобордизме ) без дополнительных требований на включение $M^{-}\hookrightarrow W$ (даже не являясь гомотопической эквивалентностью).

Другие обозначения

Первоначальный создатель этой темы Жан-Клод Хаусманн использовал обозначение M ₋ для правой границы кобордизма.

Характеристики

Следствие ( W , M , M ⁻ ) является полу -s -кобордизмом, состоит в том, что ядро ​​производного гомоморфизма на фундаментальных группах $K=\ker(\pi _{1}(M^{-})\twoheadrightarrow \pi _{1}(W))$ идеален ​ . Следствием этого является то, что $\pi _{1}(M^{-})$ решает проблему расширения группы $1\rightarrow K\rightarrow \pi _{1}(M^{-})\rightarrow \pi _{1}(M)\rightarrow 1$. Решения проблемы расширения группы для заданной факторгруппы $\pi _{1}(M)$ и группа ядра K классифицируются с точностью до конгруэнтности групповыми когомологиями (см. «Гомологии Мак Лейна» , стр. 124–129), поэтому существуют ограничения, согласно которым n-многообразия могут быть правой границей полу- s -кобордизма с предписанной левой -сторонняя граница M и суперсовершенная группа ядер K.

Связь с кобордизмами Plus

Заметим, что если ( W , M , M ⁻ ) является полу- s -кобордизмом, то ( W , M ⁻ , M ) является плюсовым кобордизмом . (Это оправдывает использование M ⁻ для правой границы полу -s -кобордизма — игра на традиционном использовании M ⁺ для правой границы плюс-кобордизма.) Таким образом, полу -s -кобордизм можно рассматривать как обратную конструкцию Плюс Квиллена в категории многообразий. Обратите внимание, что ( М ⁻ ) ⁺ должен быть диффеоморфен (соответственно кусочно-линейно (PL) гомеоморфен ) M , но может быть множество вариантов выбора для ( M ⁺ ) ⁻ для данного замкнутого гладкого (соответственно PL многообразия M. )

Ссылки

• Маклейн (1963), Гомология , стр. 124–129, ISBN  0-387-58662-8
• Хаусманн, Жан-Клод (1976), «Гомологическая хирургия», Annals of Mathematics , Вторая серия, 104 (3): 573–584, doi : 10.2307/1970967 , JSTOR   1970967 .
• Хаусманн, Жан-Клод; Фогель, Пьер (1978), «Построение плюсов и карты подъема из многообразий» , Труды симпозиумов по чистой математике , 32 : 67–76 .
• Хаусманн, Жан-Клод (1978), «Многообразия с заданной гомологией и фундаментальной группой» , Commentarii Mathematici Helvetici , 53 (1): 113–134, doi : 10.1007/BF02566068 .