Идеальная группа

В математике , точнее в теории групп , группа называется совершенной , если она равна своему собственному коммутанту или, что то же самое, если группа не имеет нетривиальных абелевых факторов (эквивалентно, ее абелианизация , которая является универсальным абелевым фактором, тривиально). В символах совершенная группа — это такая группа, что G ⁽¹⁾ = G (коммутант равен группе) или, что то же самое, такой, что G ^аб = {1} (его абелианизация тривиальна).

Примеры

Наименьшая (нетривиальная) совершенная группа — это знакопеременная группа A ₅ . В более общем смысле, любая неабелева простая группа совершенна, поскольку коммутант является нормальной подгруппой с абелевым фактором. И наоборот, идеальная группа не обязательно должна быть простой; например, специальная линейная группа над полем с 5 элементами SL(2,5) (или бинарная икосаэдральная группа изоморфная ей ) совершенна, но не проста (она имеет нетривиальный центр, содержащий $\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}4&0\\0&4\end{smallmatrix}}\right)$).

Прямое произведение любых двух простых неабелевых групп совершенно, но не просто; коммутатор двух элементов равен [( a , b ),( c , d )] = ([ a , c ],[ b , d ]). Поскольку коммутаторы в каждой простой группе образуют порождающий набор, пары коммутаторов образуют порождающий набор прямого произведения.

Основная группа $SO(3)/I_{60}$ является идеальной группой порядка 120.

В более общем смысле, квазипростая группа (совершенное центральное расширение простой группы), которая является нетривиальным расширением (и, следовательно, не является простой группой), является совершенной, но не простой; сюда входят все неразрешимые непростые конечные специальные линейные группы SL( n , q ) как расширения проективной специальной линейной группы PSL( n , q ) (SL(2,5) является расширением PSL(2,5), который изоморфен A ₅ ). Точно так же специальная линейная группа над действительными и комплексными числами совершенна, но общая линейная группа GL никогда не бывает совершенной (за исключением случаев, когда она тривиальна или над $\mathbb {F} _{2}$, где он равен специальной линейной группе), поскольку определитель дает нетривиальную абелианизацию и действительно подгруппа-коммутант является SL.

Однако нетривиальная совершенная группа обязательно неразрешима ; и 4 делит его порядок (если конечен), причём, если 8 не делит порядок, то 3 делит.

Каждая ациклическая группа совершенна, но обратное неверно: A ₅ совершенна, но не ациклична (фактически, даже не суперсовершенна ), см. ( Berrick & Hillman 2003 ). Фактически, для $n\geq 5$ чередующаяся группа $A_{n}$ идеален, но не суперсовершенен, с $H_{2}(A_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2$ для $n\geq 8$.

Любой фактор совершенной группы совершенен. Тогда нетривиальная конечная совершенная группа, которая не является простой, должна быть расширением хотя бы одной меньшей простой неабелевой группы. Но это может быть расширением более чем одной простой группы. Фактически, прямое произведение совершенных групп также совершенно.

Каждая совершенная группа G определяет другую совершенную группу E (ее универсальное центральное расширение ) вместе с сюръекцией f : E → G ​​которой , ядро находится в центре E, такой, что f универсален с этим свойством. Ядро f называется множителем Шура группы G, потому что оно было впервые изучено Иссаем Шуром в 1904 году; он изоморфен группе гомологий $H_{2}(G)$.

В плюсовой конструкции алгебраической K-теории , если мы рассмотрим группу $\operatorname {GL} (A)={\text{colim}}\operatorname {GL} _{n}(A)$ для коммутативного кольца $A$, то подгруппа элементарных матриц $E(R)$ образует идеальную подгруппу.

Гипотеза Оре

Поскольку подгруппа коммутаторов порождается коммутаторами, совершенная группа может содержать элементы, которые являются произведениями коммутаторов, но не являются самими коммутаторами. Ойстейн Оре доказал в 1951 году, что знакопеременные группы из пяти или более элементов содержат только коммутаторы, и предположил , что это так для всех конечных неабелевых простых групп. Гипотеза Оре была окончательно доказана в 2008 году. Доказательство опирается на классификационную теорему .

Лемма Грина

Основным фактом о совершенных группах является Отто Грюнта утверждение о лемме Грюна ( Грюн, 1935 , теорема 4, п. 3): фактор совершенной группы по ее центру бесцентрен (имеет тривиальный центр).

Доказательство: Если G — совершенная группа, пусть Z ₁ и Z ₂ обозначают первые два члена верхнего центрального ряда группы G (т. е. Z ₁ — центр G , а Z ₂ / Z ₁ — центр G / З ₁ ). Если H и K — подгруппы группы G , обозначим коммутатор H K и и, следовательно , через [ H , K ] и заметим, что [ Z1 ₍ , G ] = 1 и [ , _Z2 G ] ⊆ Z1 _, договоренность о том, что [ X , Y , Z ] = [[ X , Y ], Z ] следует):

$[Z_{2},G,G]=[[Z_{2},G],G]\subseteq [Z_{1},G]=1$

$[G,Z_{2},G]=[[G,Z_{2}],G]=[[Z_{2},G],G]\subseteq [Z_{1},G]=1.$

По лемме о трёх подгруппах самое, по тождеству Холла-Витта ) отсюда следует, что [ , Z2 ] _, = [[ , G ] , Z2 _G ] = [ G G G , Z2 _{(или, что то же} ] = {1} . Следовательно, Z2 _{), и} ⊆ Z1 _Z = тривиальной ( G центр факторгруппы G / Z ( G ) является группой .

Как следствие, все высшие центры (то есть высшие члены верхнего центрального ряда ) совершенной группы равны центру.

Групповая гомология

С точки зрения гомологии групп , совершенная группа — это именно та группа, первая группа гомологии которой равна нулю: H ₁ ( G , Z ) = 0, поскольку первая группа гомологии группы является в точности абелианизацией группы, а совершенная означает тривиальную абелианизацию. Преимущество этого определения состоит в том, что оно допускает усиление:

• — Суперсовершенная группа это группа, первые две группы гомологии которой равны нулю: $H_{1}(G,\mathbb {Z} )=H_{2}(G,\mathbb {Z} )=0$.
• Ациклическая группа — это группа, все (редуцированные) группы гомологии которой равны нулю. ${\tilde {H}}_{i}(G;\mathbb {Z} )=0.$ (Это эквивалентно всем группам гомологии, кроме $H_{0}$ исчезает.)

Квазиидеальная группа

Особенно в области алгебраической K-теории группа называется квазисовершенной, если ее коммутант совершенен; в символах квазисовершенная группа — это такая группа, что G ⁽¹⁾ = Г ⁽²⁾ (коммутант подгруппы коммутатора — это подгруппа коммутанта), а совершенная группа — это такая группа, что G ⁽¹⁾ = G (коммутант — это вся группа). См. ( Каруби 1973 , стр. 301–411) и ( Инассаридзе 1995 , стр. 76).

Ссылки

• Беррик, А. Джон; Хиллман, Джонатан А. (2003), «Совершенные и ациклические подгруппы конечно представимых групп», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 68 (3): 683–98, doi : 10.1112/s0024610703004587 , MR   2009444 , S2CID   30232002
• Грюн, Отто (1935), «Вклад в теорию групп. I». , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 174 : 1–14, ISSN   0075-4102 , Zbl   0012.34102.
• Инассаридзе, Хведри (1995), Алгебраическая К-теория , Математика и ее приложения, том. 311, Дордрехт: Группа академических издателей Kluwer, ISBN  978-0-7923-3185-8 , МР   1368402
• Каруби, Макс (1973), Периодичность эрмитовой K-теории, Эрмитовой K-теории и геометрических приложений , Конспект лекций по математике, том. 343, Шпрингер-Верлаг
• Роуз, Джон С. (1994), Курс теории групп , Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. 61, ISBN  0-486-68194-7 , МР   1298629

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Идеальная группа» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Лемма Грина» . Математический мир .