Центр (теория групп)

Таблица Кэли для D ₄ , показывающая элементы центра {e, a ²}, коммутируют со всеми другими элементами (это можно увидеть, заметив, что все вхождения данного центрального элемента расположены симметрично относительно центральной диагонали, или заметив, что строка и столбец, начинающиеся с данного центрального элемента, транспонируются друг друга).
∘	и	б	а	а ²	а ³	аб	а ²б	а ³б
и	и	б	а	а ²	а ³	аб	а ²б	а ³б
б	б	и	а ³б	а ²б	аб	а ³	а ²	а
а	а	аб	а ²	а ³	и	а ²б	а ³б	б
а ²	а ²	а ²б	а ³	и	а	а ³б	б	аб
а ³	а ³	а ³б	и	а	а ²	б	аб	а ²б
аб	аб	а	б	а ³б	а ²б	и	а ³	а ²
а ²б	а ²б	а ²	аб	б	а ³б	а	и	а ³
а ³б	а ³б	а ³	а ²б	аб	б	а ²	а	и

В абстрактной алгебре центр элементом группы коммутируют $G$ — это набор элементов, которые с каждым $G.$ группы Он обозначается $Z(G)$ , от немецкого Zentrum , что означает центр . В обозначениях построителя множеств ,

Z(грамм) знак равно {z \in грамм | \forall г \in грамм, zg знак равно gz}

.

Центр — это нормальная подгруппа Z $(G) ⊲ G$ , а также характеристическая подгруппа, но не обязательно полностью характеристическая . Факторгруппа G изоморфна $G Z G)$ автоморфизмов ) группе внутренней ( $Inn / .$ (

Группа $G$ абелева тогда и только тогда, когда $(G) = G.$ Z С другой стороны, группа называется бесцентровой если $Z(G)$ тривиальна , ; т.е. состоит только из единичного элемента .

Элементы центра являются центральными элементами .

Как подгруппа

Центр G всегда подгруппой G $является$ . В частности:

$Z(G)$ содержит единичный элемент G $g$ , поскольку он коммутирует с каждым элементом $;$ по определению: $eg = g = ge$ , где $e$ — единица
Если $x$ и $y$ находятся в $Z(тоже находятся в Z( G G )$ , то и $xy$ ) , по ассоциативности: $(xy) g = x (yg) = x (gy) = (xg) y = (gx) y = g (xy)$ для каждого $г; G$ € т. е. $Z(G)$ замкнуто;
Если $x$ находится в $Z(G)$ , то и $x тоже -1$ поскольку для всех $g$ в $G$ , $x -1$ коммутирует с $g$ : $(gx = xg) \Rightarrow (x -1 гхх -1 = х -1 xgx -1) \Rightarrow (х -1 г = гх -1)$ .

, центр $G$ всегда является абелевой и нормальной подгруппой G $Более того$ . Поскольку все элементы $Z(G)$ коммутируют, оно замкнуто относительно сопряжения .

Групповой гомоморфизм $f : G \to H$ может не ограничиваться гомоморфизмом между их центрами. Элементы изображения $f (g)$ коммутируют с изображением $f (G)$ , но им не обязательно коммутировать со всем $H,$ если только $f$ не является сюръективным. Таким образом, отображение центра $G\to Z(G)$ не является функтором между категориями Grp и Ab, поскольку не порождает отображение стрелок.

Классы сопряженности и централизаторы

По определению элемент является центральным, если его класс сопряженности содержит только сам элемент; т.е. $Cl(г) знак равно {г}$ .

Центр — это пересечение всех централизаторов элементов $G$ :

$Z(G)=\bigcap _{g\in G}Z_{G}(g).$

Поскольку централизаторы являются подгруппами, это еще раз показывает, что центр является подгруппой.

Спряжение

Рассмотрим отображение $f : G \to Aut(G)$ из $G$ в группу автоморфизмов G $,$ определенную формулой $f (g) = φg,$ , где $φg —$ автоморфизм $G$ определенный формулой

ж (г)(час) знак равно φ г (час) знак равно ghg -1

.

Функция $f$ является групповым гомоморфизмом , и ее ядро является в точности центром $G$ ее образ называется внутренней группой автоморфизмов G $, а$ и обозначается $Inn(G)$ . По первой теореме об изоморфизме получаем:

G /Z(G) ≃ Inn(G)

.

Коядром G этого отображения является группа $Out() внешних$ автоморфизмов , образующих точную последовательность

1 ⟶ Z(G) ⟶ G ⟶ Aut(G) ⟶ Out(G) ⟶ 1

.

Примеры

Центр группы G $G.$ принадлежит $целиком$ абелевой
Центр Гейзенберга группы $H$ представляет собой набор матриц вида: ${\begin{pmatrix}1&0&z\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
Центр неабелевой простой группы тривиален.
Центр диэдра группы $D n$ тривиален при нечетном $n \geq 3$ . Для четного $n \geq 4$ центр состоит из единичного элемента вместе с поворотом многоугольника на 180 ° .
Центр кватернионов группы $Q 8 = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}$ равен ${1, -1}$ .
Центр группы симметрической $Sn n$ тривиален при $. 3$ ≥
Центр знакопеременной группы An $тривиален n$ при $. 4$ ≥
Центром полной линейной группы над полем $F$ , $GL n (F)$ , является совокупность скалярных матриц , ${ sI n ∣ s ∈ F \ {0} }$ .
Центр группы ортогональной $O n (F)$ равен ${I n, -I n}$ .
Центр специальной ортогональной группы SO $(n)$ — это вся группа, когда $n = 2$ , и в противном случае ${I n, -I n},$ когда n четное, и тривиальное, когда n нечетное.
Центр унитарной группы , $U(n)$ является $\left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}$ .
Центр Особого унитарного отряда , $\operatorname {SU} (n)$ является ${\textstyle \left\lbrace e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta ={\frac {2k\pi }{n}},k=0,1,\dots ,n-1\right\rbrace }$ .
Центром мультипликативной группы ненулевых кватернионов является мультипликативная группа ненулевых действительных чисел .
Используя уравнение класса , можно доказать, что центр любой нетривиальной конечной p-группы нетривиален.
Если факторгруппа $G /Z(G)$ циклическая G , $G$ абелева G (и, следовательно, $= Z(G)$ , поэтому $G /Z() тривиальна$ ).
Центр группы кубика Рубика состоит из двух элементов — тождества (то есть решенного состояния) и суперфлипа . Центр группы Pocket Cube тривиален.
Центр группы Мегаминкса имеет порядок 2, а центр группы Киломинкса тривиален.

Высшие центры

Факторизация по центру группы дает последовательность групп, называемую верхним центральным рядом :

(г 0 знак равно г) ⟶ (г 1 знак равно г 0 /Z (г 0)) ⟶ (г 2 знак равно г 1 /Z (г 1)) ⟶ \dots

Ядро отображения $G \to G i$ — это $i-$ й центр ^[1] G $и т. д .$ ( второй центр , третий центр ), обозначаемый $Z я (Г)$ . ^[2] Конкретно, ( $i +1$ )-й центр включает элементы, которые коммутируют со всеми элементами до элемента $i$ -го центра. Следуя этому определению, можно определить 0-й центр группы как единичную подгруппу. Это можно продолжить до трансфинитных ординалов с помощью трансфинитной индукции ; объединение всех высших центров называется гиперцентром . ^{[примечание 1]}

Восходящая цепочка подгрупп

1 \leq Z(G) \leq Z 2 (г) \leq \dots

стабилизируется на i (эквивалентно $Z я (г) знак равно Z я+1 (G)$ ) тогда и только тогда, когда $G i$ бесцентрен.

Примеры

Для бесцентровой группы все высшие центры равны нулю, что является случаем $Z 0 (г) знак равно Z 1 (G)$ стабилизации.
По лемме Грюна фактор совершенной группы по ее центру бесцентрен, следовательно, все высшие центры равны центру. Это случай стабилизации на $Z 1 (г) знак равно Z 2 (Г)$ .

См. также

Примечания

^ Это объединение будет включать трансфинитные члены, если ПСК не стабилизируется на конечном этапе.

Ссылки

Фрели, Джон Б. (2014). Первый курс абстрактной алгебры (7-е изд.). Пирсон. ISBN 978-1-292-02496-7 .

Внешние ссылки

«Центр группы» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

^ Эллис, Грэм (1 февраля 1998 г.). «О группах с конечным нильпотентным верхним центральным фактором» . Архив математики . 70 (2): 89–96. дои : 10.1007/s000130050169 . ISSN 1420-8938 .
^ Эллис, Грэм (1 февраля 1998 г.). «О группах с конечным нильпотентным верхним центральным фактором» . Архив математики . 70 (2): 89–96. дои : 10.1007/s000130050169 . ISSN 1420-8938 .

[3] Это объединение будет включать трансфинитные члены, если ПСК не стабилизируется на конечном этапе.

[1] Эллис, Грэм (1 февраля 1998 г.). «О группах с конечным нильпотентным верхним центральным фактором» . Архив математики . 70 (2): 89–96. дои : 10.1007/s000130050169 . ISSN 1420-8938 .

[2] Эллис, Грэм (1 февраля 1998 г.). «О группах с конечным нильпотентным верхним центральным фактором» . Архив математики . 70 (2): 89–96. дои : 10.1007/s000130050169 . ISSN 1420-8938 .

[1]

[2]

[примечание 1]