Подгруппа

В теории групп , разделе математики , для группы $G$ при бинарной операции ∗ подмножество $H$ группы $G$ называется подгруппой G $,$ если $H$ также образует группу при операции ∗. Точнее, $H$ является подгруппой $G$ , если ограничение * на $H \times H$ является групповой операцией на $H$ . Это часто обозначается $H \leq G$ , что читается как « $H$ является подгруппой $G$ ».

Тривиальной подгруппой любой группы является подгруппа { e }, состоящая только из единичного элемента. ^[1]

Собственная подгруппа группы $G$ — это подгруппа $H$ , которая является собственным подмножеством группы $G$ (т. е. $H \neq G$ ). Это часто обозначается как $H < G$ , что читается как « $H$ является собственной подгруппой $G$ ». Некоторые авторы также исключают из числа собственных тривиальную группу (т. е. $H \neq {e$ }). ^[2]^[3]

Если $H$ подгруппа группы $G$ , то $G$ иногда называют надгруппой группы $H.$ —

Те же определения применяются в более общем смысле, когда $G$ — произвольная полугруппа , но в этой статье будут рассматриваться только подгруппы групп.

Подгрупповые тесты

Предположим, что $—$ группа, а $H$ — подмножество $G.$ G А пока предположим, что групповая операция $G$ записана мультипликативно и обозначается сопоставлением.

Тогда $H$ является подгруппой группы $G$ тогда и только тогда, когда $H$ непуста и замкнута относительно произведений и обратных групп. Закрытость под продуктами что для каждых $a$ и $b$ в $H$ продукт $ab$ находится в $H.$ означает , Замкнутость относительно инверсий означает, что для каждого $a$ в $H$ инверсия $a -1$ в $Х.$ находится Эти два условия можно объединить в одно: для каждого $a$ и $b$ в $H$ элемент $ab -1$ находится в $H$ , но это более естественно и обычно так же легко проверить два условия замыкания по отдельности. ^[4]
Когда $H$ конечна . , тест можно упростить: $H$ является подгруппой тогда и только тогда, когда она непуста и замкнута относительно произведений Уже из этих условий следует, что каждый элемент $a$ из $H$ порождает конечную циклическую подгруппу из $H$ , порядка $n$ , и тогда обратным к $a$ является $, скажем п -1$ . ^[4]

Если вместо этого групповая операция обозначается сложением, то замкнутая относительно произведений должна быть заменена закрытой относительно сложенной , что является условием того, что для каждых $a$ и $b$ в $H$ сумма $a + b$ находится в $H$ и замкнутая относительно обратных операций должна быть отредактировано так, чтобы сказать, что для каждого $a$ в $H$ обратное значение $- a$ находится в $H$ .

Основные свойства подгрупп

Идентичность подгруппа подгруппы является тождеством группы: если $—$ с единицей $а,$ H $—$ G $с$ единицей $eH G$ , то $eH eG = eG группа$ .
Обратный H это обратный элемент в группе: если $элемент в подгруппе —$ — подгруппа группы $G$ , а $a$ и $b$ — элементы $H$ такие, что $ab = ba = e H$ , то $ab = ba = е Г.$
Если $H$ — подгруппа группы $G$ , то отображение включения $H \to G,$ переводящее каждый элемент $a$ группы $H$ в себя, является гомоморфизмом .
Пересечение снова является подгрупп $A$ и $B$ группы $G$ подгруппой $G$ . ^[5] Например, пересечение $осей X$ и $Y$ в ⁠ $\mathbb {R} ^{2}$ ⁠ при добавлении — это тривиальная подгруппа. В более общем смысле, пересечение произвольного набора подгрупп $G$ является подгруппой $G$ .
Объединение подгрупп когда $A$ и $B$ является подгруппой тогда и только тогда, $A \subseteq B$ или $B \subseteq A$ . Непример: ⁠ $2\mathbb {Z} \cup 3\mathbb {Z}$ ⁠ не является подгруппой ⁠ $\mathbb {Z} ,$ ⁠ потому что 2 и 3 являются элементами этого подмножества, сумма которых 5 не входит в подмножество. Аналогично, объединение $осей x$ и $осей y$ в ⁠ $\mathbb {R} ^{2}$ ⁠ не является подгруппой ⁠ $\mathbb {R} ^{2}.$ ⁠
Если $S$ — подмножество $G$ , то существует наименьшая подгруппа, содержащая $S$ , а именно пересечение всех подгрупп, содержащих $S$ ; она обозначается $⟨ S ⟩$ и называется подгруппой, порожденной $S$ . Элемент $G$ находится в $⟨ S ⟩$ тогда и только тогда, когда он является конечным произведением элементов $S$ и их обратных, возможно, повторяющихся. ^[6]
Каждый элемент $a$ группы $G$ порождает циклическую подгруппу $⟨ a ⟩$ . Если $⟨ a ⟩$ изоморфно ⁠ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ⁠ ( целые числа $по модулю n$ ) для некоторого натурального числа $n$ , тогда $n$ — наименьшее положительное целое число, для $которого н = e$ , $n$ называется порядком a $а$ . Если $⟨ a ⟩$ изоморфно ⁠ $\mathbb {Z} ,$ ⁠ тогда $a$ говорят, что имеет бесконечный порядок .
Подгруппы любой данной группы образуют полную решетку по включению, называемую решеткой подгрупп . (Хотя нижняя грань здесь представляет собой обычное теоретико-множественное пересечение, верхняя грань множества подгрупп — это подгруппа, порожденная теоретико-множественным объединением подгрупп, а не само теоретико-множественное объединение.) Если $e$ — тождество группы $G$ , то тривиальная группа ${e}$ — это минимальная подгруппа группы $G$ , а максимальная группа $G.$ подгруппа — это сама

Классы смежности и теорема Лагранжа

Учитывая подгруппу $H$ и некоторое $a$ в $G$ , мы определяем левый смежный класс $aH = {ah : h в H}.$ Поскольку $a$ обратимо, отображение $φ : H \to aH,$ заданное формулой $φ(h) = ah,$ является биекцией . Более того, каждый элемент $G$ содержится ровно в одном левом смежном классе $H$ ; левые смежные классы являются классами эквивалентности, соответствующими отношению эквивалентности $a 1 ~ a 2$ тогда и только тогда, когда ⁠ $a_{1}^{-1}a_{2}$ ⁠ в $H.$ находится Число левых смежных классов $H$ называется индексом H $и$ в $G$ обозначается $[G : H]$ .

Теорема Лагранжа что для конечной группы $G$ и подгруппы $H$ утверждает ,

[G:H]={|G| \over |H|}

где $| г |$ и $| Ч |$ обозначают порядки G $H$ и $соответственно$ . В частности, порядок каждой подгруппы $G$ (и порядок каждого элемента $G$ должен быть делителем | $) г |$ . ^[7]^[8]

Правые смежные классы определяются аналогично: $Ha = {ha : h in H}.$ Они также являются классами эквивалентности для подходящего отношения эквивалентности, и их число равно $[G : H]$ .

Если $aH = Ha$ для любого $a$ из $G$ , то $H$ называется нормальной подгруппой . Каждая подгруппа индекса 2 нормальна: левые смежные классы, а также правые смежные классы представляют собой просто подгруппу и ее дополнение. В более общем смысле, если $p$ — наименьшее простое число, делящее порядок конечной группы $G$ , то любая подгруппа индекса $p$ (если таковая существует) является нормальной.

Пример: Подгруппы Z ₈

Пусть $G$ — циклическая группа $Z8,$ элементами которой являются

G=\left\{0,4,2,6,1,5,3,7\right\}

и чья групповая операция — сложение по модулю 8 . Его Кэли таблица

+	0	4	2	6	1	5	3	7
0	0	4	2	6	1	5	3	7
4	4	0	6	2	5	1	7	3
2	2	6	4	0	3	7	5	1
6	6	2	0	4	7	3	1	5
1	1	5	3	7	2	6	4	0
5	5	1	7	3	6	2	0	4
3	3	7	5	1	4	0	6	2
7	7	3	1	5	0	4	2	6

Эта группа имеет две нетривиальные подгруппы: $■ J = {0, 4}$ и $■ H 0, 4, 2, 6}$ , где $J$ также является подгруппой $H.$ = { Таблица Кэли для $H$ — это верхний левый квадрант таблицы Кэли для $G$ ; Таблица Кэли для $J$ — это верхний левый квадрант таблицы Кэли $H.$ для Группа $G$ циклическая . , как и ее подгруппы В общем случае подгруппы циклических групп также являются циклическими. ^[9]

Пример: Подгруппы S ₄

$S 4$ — симметричная группа , элементы которой соответствуют перестановкам 4 элементов.
Ниже приведены все его подгруппы, упорядоченные по мощности.
Каждая группа (кроме групп мощности 1 и 2) представлена своей таблицей Кэли .

24 элемента

Как и каждая группа, $S 4$ является своей подгруппой.

Все 30 подгрупп

Упрощенный

Диаграммы решетки подгрупп S

Хассе 4

12 элементов

Альтернирующая группа содержит только четные перестановки .
Это одна из двух нетривиальных собственных подгрупп группы $S4 .$ нормальных (Вторая — ее подгруппа Клейна.)

8 элементов

6 элементов

4 элемента

3 элемента

2 элемента

Каждая перестановка $p$ порядка 2 порождает подгруппу ${1, p$ }.Это перестановки, которые имеют только 2 цикла:

Всего существует 6 транспозиций с одним 2-циклом. (зеленый фон)
И 3 перестановки с двумя 2-циклами. (белый фон, жирные цифры)

1 элемент

Тривиальная подгруппа — это единственная подгруппа порядка 1.

Другие примеры

Чётные целые числа образуют подгруппу ⁠ $2\mathbb {Z}$ ⁠ целочисленного кольца ⁠ $\mathbb {Z} :$ ⁠ сумма двух четных целых чисел четна, а отрицательное число четного числа четно.
Идеал — в кольце $R$ это подгруппа аддитивной группы $R.$ кольца
Линейное подпространство векторного пространства — это подгруппа аддитивной группы векторов.
В абелевой группе элементы конечного порядка образуют подгруппу, называемую периодической подгруппой .

См. также

Примечания

^ Галлиан 2013 , с. 61.
^ Хангерфорд 1974 , с. 32.
^ Артин 2011 , с. 43.
^ Jump up to: ^а ^б Курцвейл и Штелмахер 1998 , с. 4.
^ Джейкобсон 2009 , с. 41.
^ Эш 2002 .
^ См . дидактическое доказательство в этом видео .
^ Даммит и Фут 2004 , с. 90.
^ Галлиан 2013 , с. 81.

Ссылки

Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 1 (2-е изд.), Дувр, ISBN 978-0-486-47189-1 .
Хангерфорд, Томас (1974), Алгебра (1-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181 .
Артин, Майкл (2011), Алгебра (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN 9780132413770 .
Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 9780471452348 . OCLC 248917264 .
Галлиан, Джозеф А. (2013). Современная абстрактная алгебра (8-е изд.). Бостон, Массачусетс: Обучение Брукса / Коула Сенгеджа. ISBN 978-1-133-59970-8 . OCLC 807255720 .
Курцвейл, Ганс; Штелмахер, Бернд (1998). Теория конечных групп . Учебник Спрингера. дои : 10.1007/978-3-642-58816-7 .
Эш, Роберт Б. (2002). Абстрактная алгебра: основной выпускной год . Департамент математики Университета Иллинойса.

[FOOTNOTEGallian201361-1] Галлиан 2013 , с. 61.

[FOOTNOTEHungerford197432-2] Хангерфорд 1974 , с. 32.

[FOOTNOTEArtin201143-3] Артин 2011 , с. 43.

[FOOTNOTEKurzweilStellmacher19984-4] Jump up to: ^а ^б Курцвейл и Штелмахер 1998 , с. 4.

[FOOTNOTEJacobson200941-5] Джейкобсон 2009 , с. 41.

[FOOTNOTEAsh2002-6] Эш 2002 .

[7] См . дидактическое доказательство в этом видео .

[FOOTNOTEDummitFoote200490-8] Даммит и Фут 2004 , с. 90.

[FOOTNOTEGallian201381-9] Галлиан 2013 , с. 81.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

v т и Группы
Basic notions	Subgroup Normal subgroup Commutator subgroup Quotient group Group homomorphism (Semi-) direct product direct sum
Types of groups	Finite groups Abelian groups Cyclic groups Infinite group Simple groups Solvable groups Symmetry group Space group Point group Wallpaper group Trivial group
Discrete groups	Classification of finite simple groups Cyclic group Z_n Alternating group A_n Sporadic groups Mathieu group M_11..12,M_22..24 Conway group Co_1..3 Janko groups J₁, J₂, J₃, J₄ Fischer group F_22..24 Baby monster group B Monster group M Other finite groups Symmetric group S_n Dihedral group D_n Rubik's Cube group
Lie groups	General linear group GL(n) Special linear group SL(n) Orthogonal group O(n) Special orthogonal group SO(n) Unitary group U(n) Special unitary group SU(n) Symplectic group Sp(n) Exceptional Lie groups G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Circle group Lorentz group Poincaré group Quaternion group
Infinite dimensional groups	Conformal group Diffeomorphism group Loop group Quantum group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
History Applications Abstract algebra