Группа «Простая ложь»

В математике простая группа Ли — это связная неабелева группа Ли G , не имеющая нетривиальных связных нормальных подгрупп . Список простых групп Ли можно использовать для чтения списка простых алгебр Ли и римановых симметрических пространств .

Вместе с коммутативной группой Ли действительных чисел $\mathbb {R}$ и комплексных чисел единичной величины U (1) (единичный круг), простые группы Ли дают атомные «блоки», которые составляют все (конечномерные) связанные группы Ли посредством операции расширения группы . Многие часто встречающиеся группы Ли либо просты, либо «близки» к простым: например, так называемая « специальная линейная группа » SL( n , $\mathbb {R}$ ) матриц n на n с определителем, равным 1, является простым для всех нечетных n > 1, когда он изоморфен проективной специальной линейной группе .

Первая классификация простых групп Ли была сделана Вильгельмом Киллингом , а позже эта работа была усовершенствована Эли Картаном . Окончательную классификацию часто называют классификацией Киллинга-Картана.

Определение [ править ]

К сожалению, не существует общепринятого определения простой группы Ли. В частности, она не всегда определяется как группа Ли, простая как абстрактная группа. Авторы расходятся во мнениях относительно того, должна ли простая группа Ли быть связной, разрешено ли ей иметь нетривиальный центр или $\mathbb {R}$ — простая группа Ли.

Наиболее распространенное определение состоит в том, что группа Ли является простой, если она связна, неабелева, и каждая замкнутая связная нормальная подгруппа является либо единицей, либо всей группой. В частности, простым группам разрешается иметь нетривиальный центр, но $\mathbb {R}$ это не просто.

В этой статье перечислены связные простые группы Ли с тривиальным центром. Зная их, можно легко перечислить те, у которых центр нетривиален, следующим образом. Любая простая группа Ли с тривиальным центром имеет универсальное покрытие , центром которого является фундаментальная группа простой группы Ли. Соответствующие простые группы Ли с нетривиальным центром можно получить как факторы этого универсального накрытия по подгруппе центра.

Альтернативы [ править ]

Эквивалентное определение простой группы Ли следует из соответствия Ли : Связная группа Ли является простой, если ее Ли проста алгебра . Важным техническим моментом является то, что простая группа Ли может содержать дискретные нормальные подгруппы. По этой причине определение простой группы Ли не эквивалентно определению группы Ли, которая проста как абстрактная группа .

Простые группы Ли включают в себя множество классических групп Ли , которые обеспечивают теоретико-групповую основу для сферической геометрии , проективной геометрии и родственных геометрий в смысле Феликса Кляйна программы Эрлангена . В ходе классификации простых групп Ли выяснилось, что существует также несколько исключительных возможностей, не соответствующих ни одной известной геометрии. Эти исключительные группы объясняют множество особых примеров и конфигураций в других разделах математики, а также в современной теоретической физике .

Контрпример: общая линейная группа не является ни простой, ни полупростой . Это связано с тем, что кратные единицы образуют нетривиальную нормальную подгруппу, тем самым уклоняясь от определения. Эквивалентно, соответствующая алгебра Ли имеет вырожденную форму Киллинга , поскольку кратные единицы отображаются в нулевой элемент алгебры. Таким образом, соответствующая алгебра Ли также не является ни простой, ни полупростой. Другим контрпримером являются специальные ортогональные группы четной размерности. У них есть матрица $-I$ в центре , и этот элемент связан путем с единичным элементом, поэтому эти группы ускользают от определения. Обе они являются редуктивными группами .

Связанные идеи [ править ]

Простые алгебры Ли [ править ]

Алгебра Ли простой группы Ли является простой алгеброй Ли. Это взаимно однозначное соответствие между связными простыми группами Ли с тривиальным центром и простыми алгебрами Ли размерности больше 1. (Авторы расходятся во мнениях, следует ли считать одномерную алгебру Ли простой.)

Над комплексными числами полупростые алгебры Ли классифицируются по диаграммам Дынкина типов «ABCDEFG». Если L — настоящая простая алгебра Ли, ее комплексификация — это простая комплексная алгебра Ли, если только L не является комплексификацией алгебры Ли, и в этом случае комплексификация L является продуктом двух копий L . Это сводит проблему классификации вещественных простых алгебр Ли к задаче нахождения всех вещественных форм каждой комплексной простой алгебры Ли (т. е. вещественных алгебр Ли, комплексификация которых является заданной комплексной алгеброй Ли). Таких форм всегда как минимум 2: разъемная и компактная, а также обычно еще несколько. Различные действительные формы соответствуют классам автоморфизмов порядка не выше 2 комплексной алгебры Ли.

Симметричные пространства [ править ]

Симметричные пространства классифицируются следующим образом.

Во-первых, универсальное накрытие симметрического пространства по-прежнему симметрично, поэтому мы можем свести его к случаю односвязных симметрических пространств. (Например, универсальным покрытием реальной проективной плоскости является сфера.)

Во-вторых, произведение симметричных пространств симметрично, поэтому мы можем просто классифицировать неприводимые односвязные пространства (где неприводимость означает, что их нельзя записать как произведение меньших симметричных пространств).

Неприводимые односвязные симметрические пространства — это вещественная прямая и ровно два симметрических пространства, соответствующие каждой некомпактной простой группе Ли G ,один компактный и один некомпактный. Некомпактный — это покрытие фактора группы G по максимальной компактной подгруппе H , а компактный — это покрытие фактора группы G.компактную форму группы G той же подгруппой H . Эта двойственность между компактными и некомпактными симметричными пространствами является обобщением хорошо известной двойственности между сферической и гиперболической геометрией.

Эрмитово симметрическое пространство [ править ]

Симметричное пространство с согласованной комплексной структурой называется эрмитовым. Компактные односвязные неприводимые эрмитовы симметрические пространства распадаются на 4 бесконечных семейства, у которых осталось 2 исключительных, каждое из которых имеет некомпактное двойственное семейство. Кроме того, комплексная плоскость также является эрмитовым симметричным пространством; это дает полный список неприводимых эрмитовых симметрических пространств.

Четыре семейства — это типы A III, B I и D I для p = 2 , D III и C I, а два исключительных — это типы E III и E VII комплексных размерностей 16 и 27.

Обозначения [ править ]

$\mathbb {R,C,H,O}$ обозначают действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы .

В таких символах, как E ₆⁻²⁶ для исключительных групп показатель −26 является сигнатурой инвариантной симметричной билинейной формы, отрицательно определенной на максимальной компактной подгруппе. Она равна размерности группы минус удвоенная размерность максимальной компактной подгруппы.

Фундаментальная группа, указанная в таблице ниже, является фундаментальной группой простой группы с тривиальным центром. Подгруппам этой фундаментальной группы (по модулю действия внешней группы автоморфизмов) соответствуют другие простые группы с той же алгеброй Ли.

Полная классификация [ править ]

Простые группы Ли полностью классифицированы. Классификация обычно проводится в несколько этапов, а именно:

Классификация простых комплексных алгебр Ли. Классификация простых алгебр Ли над комплексными числами по диаграммам Дынкина .
Классификация простых вещественных алгебр Ли Каждая простая комплексная алгебра Ли имеет несколько вещественных форм , классифицируемых дополнительными украшениями диаграммы Дынкина, называемыми диаграммами Сатаке , в честь Ичиро Сатаке .
Классификация бесцентровых простых групп Ли Для любой простой алгебры Ли (вещественной или комплексной) ${\mathfrak {g}}$ , существует единственная «бесцентровая» простая группа Ли $G$ чья алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ и который имеет тривиальный центр .
Классификация простых групп Ли

Можно показать, что фундаментальная группа любой группы Ли является дискретной коммутативной группой . Учитывая (нетривиальную) подгруппу $K\subset \pi _{1}(G)$ фундаментальной группы некоторой группы Ли $G$ , можно использовать теорию накрытия пространств , чтобы построить новую группу ${\tilde {G}}^{K}$ с $K$ в его центре. Теперь любую (действительную или комплексную) группу Ли можно получить, применив эту конструкцию к бесцентровым группам Ли. Обратите внимание, что полученные таким образом реальные группы Ли могут не быть реальными формами какой-либо комплексной группы. Очень важным примером такой реальной группы является метаплектическая группа , которая появляется в теории бесконечномерных представлений и физике. Когда человек принимает за $K\subset \pi _{1}(G)$ полная фундаментальная группа, результирующая группа Ли ${\tilde {G}}^{K=\pi _{1}(G)}$ является универсальным накрытием бесцентровой группы Ли $G$ , и просто связен. В частности, каждой (вещественной или комплексной) алгебре Ли также соответствует уникальная связная и односвязная группа Ли. ${\tilde {G}}$ с этой алгеброй Ли, называемой «односвязной группой Ли», связанной с ${\mathfrak {g}}.$

группы Компактные Ли

Каждая простая комплексная алгебра Ли имеет единственную действительную форму, соответствующая ей бесцентровая группа Ли компактна . Оказывается, односвязная группа Ли в этих случаях также компактна. Компактные группы Ли имеют особенно удобную теорию представлений благодаря теореме Питера-Вейля . Как и простые комплексные алгебры Ли, бесцентровые компактные группы Ли классифицируются диаграммами Дынкина (впервые классифицированными Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном ).

Для бесконечной (A, B, C, D) серии диаграмм Дынкина связная компактная группа Ли, связанная с каждой диаграммой Дынкина, может быть явно описана как матричная группа, а соответствующая бесцентровая компактная группа Ли описывается как фактор по подгруппе скалярных матриц. Для типов A и C мы можем найти явные матричные представления соответствующей односвязной группы Ли в виде матричных групп.

Обзор классификации [ править ]

A _r имеет в качестве ассоциированной односвязной компактной группы специальную унитарную группу SU ( r + 1) и в качестве ассоциированной бесцентровой компактной группы проективную унитарную группу PU( r + 1) .

Br _{имеет в качестве ассоциированных с ним} бесцентровых компактных групп нечетные специальные ортогональные группы SO (2 r + 1) . Однако эта группа не является односвязной: ее универсальным (двойным) накрытием является спиновая группа .

Cr _{и в качестве ассоциированной} имеет в качестве ассоциированной односвязной группы группу матриц унитарных симплектических Sp( r ) бесцентровой группы группу Ли PSp( r ) = Sp( r )/{I, −I} проективных унитарных симплектических матриц. . Симплектические группы имеют двойное покрытие метаплектической группой .

D _r имеет в качестве ассоциированной компактной группы четные группы специальные ортогональные SO(2 r ) и в качестве ассоциированной бесцентровой компактной группы проективную специальную ортогональную группу PSO(2 r ) = SO(2 r )/{I, −I}. Как и в серии B, SO(2 r ) не является односвязным; ее универсальным покрытием опять же является спиновая группа , но последняя снова имеет центр (см. ее статью).

Диаграмма D ₂ представляет собой два изолированных узла, так же, как A ₁ ∪ A ₁ , и это совпадение соответствует гомоморфизму покрывающего отображения из SU(2) × SU(2) в SO(4), заданному кватернионов умножением ; см. кватернионы и пространственное вращение . Таким образом, SO(4) не является простой группой. Кроме того, диаграмма D ₃ аналогична диаграмме A ₃ и соответствует гомоморфизму накрывающего отображения из SU(4) в SO(6).

четырем семействам Ai _, ; Bi _, , Ci _{указанным} и Di _выше существует пять так называемых G2 _, E7 F4 _E6 , В _и , дополнение к _, исключительных E8 _{диаграмм} Дынкина этим исключительным диаграммам Дынкина также соответствуют односвязные и бесцентровые компактные группы. Однако группы, связанные с исключительными семействами, описать сложнее, чем группы, связанные с бесконечными семействами, главным образом потому, что в их описаниях используются исключительные объекты . Например, группа, ассоциированная с G2 _, является группой автоморфизмов октонионов , а группа, ассоциированная с F4 _, является группой автоморфизмов некоторой алгебры Альберта .

См. также Е _{7 + 1 ⁄ 2}.

Список [ править ]

Абелев [ править ]

	Измерение	Группа внешних автоморфизмов	Размерность симметричного пространства	Симметричное пространство	Примечания
$\mathbb {R}$ (абелев)	1	$\mathbb {R} ^{*}$	1	$\mathbb {R}$	^†

Примечания [ править ]

^† Группа

\mathbb {R}

не является «простой» как абстрактная группа и, согласно большинству (но не всем) определениям, это не простая группа Ли. Более того, большинство авторов не считают ее алгебру Ли простой алгеброй Ли. Оно перечислено здесь для того, чтобы список «неприводимых односвязных симметрических пространств» был полным. Обратите внимание, что

\mathbb {R}

— единственное такое некомпактное симметрическое пространство без компактного двойственного (хотя оно имеет компактный фактор S ¹).

Компактный [ править ]

	Измерение	Фундаментальный группа	Внешний автоморфизм группа	Другие имена	Примечания
n _≥ ( n 1 ) компактный	п ( п + 2)	Циклический, порядок n + 1	1, если n = 1 , 2, если n > 1 .	проективная специальная унитарная группа БП( n + 1)	A ₁ то же самое, что B ₁ и C ₁
B _n ( n ≥ 2 ) компактный	п (2п + 1)	2	1	специальная ортогональная группа ТАК _{2 n +1} ( р )	B ₁ аналогичен A ₁ и C ₁ . B ₂ является тем же самым, что и C ₂ .
C _n ( n ≥ 3 ) компактный	п (2п + 1)	2	1	проективная компактная симплектическая группа ПСп( n ), ПСп(2 n ), ПУСп( n ), ПУСп(2 n )	Эрмитиан. Сложные структуры H ^н. Копии комплексного проективного пространства в кватернионном проективном пространстве.
D _n ( n ≥ 4 ) компактный	п (2п - 1)	Порядок 4 (циклический, если n нечетно).	2, если n > 4 , S _3, если n = 4	проективная специальная ортогональная группа ПСО _{2 н} ( Р )	Д ₃ то же, что А ₃ , Д ₂ то же самое что А ₁², а D ₁ абелева.
E_Е6⁻⁷⁸ компактный	78	3	2
E ₇⁻¹³³ компактный	133	2	1
E₈⁻²⁴⁸ компактный	248	1	1
F_F4⁻⁵² компактный	52	1	1
Г ₂⁻¹⁴ компактный	14	1	1		Это группа автоморфизмов алгебры Кэли.

Сплит [ править ]

	Измерение	Реальный ранг	Максимально компактный подгруппа	Фундаментальный группа	Внешний автоморфизм группа	Другие имена	Размерность симметричное пространство	Компактный симметричное пространство	Некомпактный симметричное пространство	Примечания
A _n I ( n ≥ 1) расщепление	п ( п + 2)	н	D _{n /2} или B _{( n −1)/2}	Бесконечная цикличность, если n = 1 2, если n ≥ 2	1, если n = 1 2, если n ≥ 2.	проективная специальная линейная группа ПСЛ _{n +1} (R)	п ( п + 3)/2	Реальные структуры на C ^{п +1} или набор РП ^н в КП ^н. Эрмитовым, если n = 1 , и в этом случае это 2-сфера.	Евклидовы структуры на R ^{п +1}. Эрмитовым, если n = 1 , когда это верхняя полуплоскость или единичный комплексный диск.
B _n I ( n ≥ 2) расщепление	п (2п + 1)	н	ТАК( п ) ТАК( п +1)	Нециклический, порядок 4	1	единичный компонент специальной ортогональной группы ТАК( п , п +1)	п ( п + 1)			B ₁ аналогичен A ₁ .
C _n I ( n ≥ 3) расщепление	п (2п + 1)	н	А _{н -1} С ¹	Бесконечная цикличность	1	проективная симплектическая группа ПСп _{2 n} ( R ), ПСп(2 n , R ), ПСп(2 n ), ПСп( n , R ), ПСп( n )	п ( п + 1)	Эрмитиан. Сложные структуры H ^н. Копии комплексного проективного пространства в кватернионном проективном пространстве.	Эрмитиан. Сложные структуры на R ^22н совместим с симплектической формой. Множество комплексных гиперболических пространств в кватернионном гиперболическом пространстве. Верхнее полупространство Зигеля.	C ₂ аналогичен B ₂ , а C ₁ аналогичен B ₁ и A ₁ .
D _n I ( n ≥ 4) расщепление	п (2п - 1)	н	ТАК( п ) ТАК( п )	Порядок 4, если n нечетное, 8, если n четное	2, если n > 4 , S _3, если n = 4	тождественный компонент проективной специальной ортогональной группы ПСО( п , п )	н ²			Д ₃ то же, что А ₃ , Д ₂ то же самое что А ₁², а D ₁ абелева.
E_Е6⁶ I split	78	6	С ₄	Заказ 2	Заказ 2	ЭИ	42
E ₇⁷ V split	133	7	A ₇	Циклический, порядок 4	Заказ 2		70
E₈⁸ VIII раскол	248	8	Д ₈	2	1	Это VIII	128			@ Е8
F_F4⁴ I split	52	4	С ₃ × А ₁	Заказ 2	1	ФИ	28	Кватернионные проективные плоскости в проективной плоскости Кэли.	Гиперболические кватернионные проективные плоскости в гиперболической проективной плоскости Кэли.
Г ₂² I split	14	2	А ₁ × А ₁	Заказ 2	1	GI	8	Кватернионные подалгебры алгебры Кэли. Кватернион-Келер.	Кватернионные подалгебры без деления алгебры Кэли без деления. Кватернион-Келер.

Комплекс [ править ]

	Реальное измерение	Реальный ранг	Максимально компактный подгруппа	Фундаментальный группа	Внешний автоморфизм группа	Другие имена	Размерность симметричное пространство	Компактный симметричное пространство	Некомпактный симметричное пространство
Комплекс _n ( n ≥ 1)	2n ) ( n +2	н	н	Циклический, порядок n + 1	2, если n = 1 , 4 (нециклический), если n ≥ 2 .	проективная комплексная специальная линейная группа ПСЛ _{н +1} ( С )	п ( п + 2)	Компактная группа A _n	Эрмитова форма на C ^{п +1} с фиксированным объемом.
B _n ( n ≥ 2) комплексный	2н 1 (2н + )	н	Б _н	2	Порядок 2 (комплексное сопряжение)	комплексная специальная ортогональная группа ТАК _{2 n +1} ( С )	п (2п + 1)	Компактная группа B _n
C _n ( n ≥ 3) комплексный	2н 1 (2н + )	н	С _н	2	Порядок 2 (комплексное сопряжение)	проективная комплексная симплектическая группа ПСп _{2 н} ( С )	п (2п + 1)	Компактная группа C _n
D _n ( n ≥ 4) комплексный	2 н (2 н - 1)	н	Д _н	Порядок 4 (циклический, когда n нечетно)	Нециклический порядка 4 при n > 4 или произведение группы порядка 2 и симметрической группы S ₃ при n = 4 .	проективная комплексная специальная ортогональная группа ПСО2н ₂₎ ( С	п (2п - 1)	Компактная группа D _n
Е ₆Комплекс	156	6	E_Е6	3	Порядок 4 (нециклический)		78	Компактная группа E ₆
Е ₇Комплекс	266	7	E ₇	2	Порядок 2 (комплексное сопряжение)		133	Компактная группа E ₇
Е ₈Комплекс	496	8	E₈	1	Порядок 2 (комплексное сопряжение)		248	Компактная группа E ₈
Ф ₄Комплекс	104	4	F_F4	1	2		52	Компактная группа F ₄
Г ₂Комплекс	28	2	Г ₂	1	Порядок 2 (комплексное сопряжение)		14	Компактная группа G ₂

Другие [ править ]

	Измерение	Реальный ранг	Максимально компактный подгруппа	Фундаментальный группа	Внешний автоморфизм группа	Другие имена	Размерность симметричное пространство	Компактный симметричное пространство	Некомпактный симметричное пространство	Примечания
А _{2 n −1} II ( п ≥ 2)	(2 n - 1)(2 n + 1)	п - 1	С _н	Заказ 2		СЛ _н ( Ч ), ВС ^∗( 2н )	( п - 1)(2п + 1)	Кватернионные структуры на C ^22н совместим с эрмитовой структурой	Копии кватернионного гиперболического пространства (размерности n - 1 ) в комплексном гиперболическом пространстве (размерности 2 n - 1 ).
А _н III ( п ≥ 1) р + д = п + 1 (1 ≤ р ≤ q )	п ( п + 2)	п	А _{p −1} A _{q −1} S ¹			SU( р , q ), А III	2 шт.	Эрмитиан . Грассманиан p подпространств C ^{п + д}. Если p или q равно 2; кватернион-Келер	Эрмитиан. Грассманиан максимальной положительно определенной подпространства C ^{п , д}. Если p или q равно 2, кватернион-кэлер	Если p = q =1, разделите Если \| р - д \| ≤ 1, квазирасщепление
Б _и я ( п > 1) р + q = 2 п +1	п (2п + 1)	мин( п , q )	ТАК( п ) ТАК( q )			ТАК( п , q )	ПК	Грассманиан R ^пs в R ^{п + д}. Если p или q равно 1, проективное пространство Если p или q равно 2; эрмитовский Если p или q равно 4, кватернион-кэлер	Грассманиан положительно определенного R ^пs в R ^{п , д}. Если p или q равно 1, гиперболическое пространство Если p или q равно 2, эрмитиан Если p или q равно 4, кватернион-кэлер	Если \| р - д \| ≤ 1, разделить.
С _н II ( п > 2) п = р + q (1 ≤ р ≤ q )	п (2п + 1)	мин( п , q )	С _п С _q	Заказ 2	1, если п ≠ q , 2, если п знак равно q .	Сп _{2 п ,2 q} (R)	4 шт.	Грассманиан H ^пs в H ^{п + д}. Если p или q равно 1, кватернионное проективное пространство в этом случае это кватернион-кэлер.	ЧАС ^пs в H ^{п , д}. Если p или q равно 1, кватернионное гиперболическое пространство в этом случае это кватернион-кэлер.
Д _н я ( п ≥ 4) р + q = 2 н	п (2п - 1)	мин( п , q )	ТАК( п ) ТАК( q )		Если p и q ≥ 3, закажите 8.	ТАК( п , q )	ПК	Грассманиан R ^пs в R ^{п + д}. Если p или q равно 1, проективное пространство Если p или q равно 2; эрмитовский Если p или q равно 4, кватернион-кэлер	Грассманиан положительно определенного R ^пs в R ^{п , д}. Если p или q равно 1, гиперболическое пространство Если p или q равно 2, эрмитиан Если p или q равно 4, кватернион-кэлер	Если p = q , разделите Если \| р - д \| ≤ 2, квазирасщепление
Д _н III ( п ≥ 4)	п (2п - 1)	⌊ n /2⌋	А _{н -1} Р ¹	Бесконечная цикличность	Заказ 2	ТАК ^*(2н)	п ( п - 1)	Эрмитиан. Сложные структуры на R ^22н совместима с евклидовой структурой.	Эрмитиан. Кватернионные квадратичные формы на R ^22н.
E_Е6² II (квази-сплит)	78	4	А ₅ А ₁	Циклический, порядок 6	Заказ 2	Э II	40	Кватернион Келер.	Кватернион Келер.	Квази-раскол, но не раскол.
E_Е6⁻¹⁴ III	78	2	Д ₅ С ¹	Бесконечная цикличность	Тривиальный	III	32	Эрмитиан. Эллиптическая проективная плоскость Розенфельда над комплексифицированными числами Кэли.	Эрмитиан. Гиперболическая проективная плоскость Розенфельда над комплексифицированными числами Кэли.
E_Е6⁻²⁶ IV	78	2	F_F4	Тривиальный	Заказ 2	И IV	26	Набор проективных плоскостей Кэли в проективной плоскости над комплексифицированными числами Кэли.	Множество гиперболических плоскостей Кэли в гиперболической плоскости над комплексифицированными числами Кэли.
E ₇⁻⁵ МЫ	133	4	Д ₆ А ₁	Нециклический, порядок 4	Тривиальный	И VI	64	Кватернион Келер.	Кватернион Келер.
E ₇⁻²⁵ VII	133	3	Е ₆ С ¹	Бесконечная цикличность	Заказ 2	Это VII	54	Эрмитиан.	Эрмитиан.
E₈⁻²⁴ IX	248	4	E ₇ × A ₁	Заказ 2	1	IX	112	Кватернион Келер.	Кватернион Келер.
F_F4⁻²⁰ II	52	1	Б ₄ (Спин ₉ ( R ))	Заказ 2	1	Ф II	16	Проективная плоскость Кэли. Кватернион-Келер.	Гиперболическая проективная плоскость Кэли. Кватернион-Келер.

малой размерности группы Ли Простые

В следующей таблице перечислены некоторые группы Ли с простыми алгебрами Ли небольших размеров. измерение. Все группы на данной прямой имеют одну и ту же алгебру Ли. В случае размерности 1 группы абелевы и непросты.

Дим	Группы		Симметричное пространство	Компактный двойной	Классифицировать	Дим
1	ℝ, С ¹ = U(1) = SO ₂ (ℝ) = Спин(2)	абелев	Реальная линия		0	1
3	С ³ = Sp(1) = SU(2)=Spin(3), SO ₃ (ℝ) = PSU(2)	Компактный
3	СЛ ₂ (ℝ) = Сп ₂ (ℝ), ТАК _2,1 (ℝ)	Сплит, эрмитовский, гиперболический	Гиперболическая плоскость $\mathbb {H} ^{2}$	Сфера S ²	1	2
6	СЛ ₂ (ℂ) = Сп ₂ (ℂ), ТАК _3,1 (ℝ), ТАК ₃ (ℂ)	Сложный	Гиперболическое пространство $\mathbb {H} ^{3}$	Сфера S ³	1	3
8	СЛ ₃ (ℝ)	Расколоть	Евклидовы структуры на $\mathbb {R} ^{3}$	Реальные структуры на $\mathbb {C} ^{3}$	2	5
8	СУ(3)	Компактный
8	СУ(1,2)	Эрмитовский, квазирасщепленный, кватернионный	Комплексная гиперболическая плоскость	Сложная проективная плоскость	1	4
10	Sp(2) = Spin(5), SO ₅ (ℝ)	Компактный
10	СО _4,1 (ℝ), Сп _2,2 (ℝ)	Гиперболический, кватернионный	Гиперболическое пространство $\mathbb {H} ^{4}$	Сфера S ⁴	1	4
10	СО _3,2 (ℝ), Сп ₄ (ℝ)	Сплит, Эрмитиан	Верхнее полупространство Зигеля	Сложные конструкции на $\mathbb {H} ^{2}$	2	6
14	Г ₂	Компактный
14	Г ₂	Сплит, кватернион	Кватернионные подалгебры без деления октонионов без деления	Кватернионные подалгебры октонионов	2	8
15	СУ(4) = Спин(6), ТАК ₆ (ℝ)	Компактный
15	СЛ ₄ (ℝ), СО _3,3 (ℝ)	Расколоть	ℝ ³ в ℝ ^3,3	Грассманиан G (3,3)	3	9
15	СУ(3,1)	эрмитовский	Комплексное гиперболическое пространство	Комплексное проективное пространство	1	6
15	SU(2,2), SO _4,2(ℝ)	Эрмитовский, квазирасщепленный, кватернионный	ℝ ² в ℝ ^2,4	Грассманиан G (2,4)	2	8
15	СЛ ₂ (ℍ), СО _5,1 (ℝ)	гиперболический	Гиперболическое пространство $\mathbb {H} ^{5}$	Сфера S ⁵	1	5
16	СЛ ₃ (ℂ)	Сложный		СУ(3)	2	8
20	ТАК ₅ (ℂ), Сп ₄ (ℂ)	Сложный		Вращение ₅ (ℝ)	2	10
21	ТАК ₇ (ℝ)	Компактный
21	СО _6,1 (ℝ)	гиперболический	Гиперболическое пространство $\mathbb {H} ^{6}$	Сфера S ⁶
21	СО _5,2 (ℝ)	эрмитовский
21	СО _4,3 (ℝ)	Сплит, кватернион
21	Сп(3)	Компактный
21	Сп ₆ (ℝ)	Сплит, Эрмитиан
21	Сп _4,2 (ℝ)	кватернионный
24	СУ(5)	Компактный
24	СЛ ₅ (ℝ)	Расколоть
24	СУ _4,1	эрмитовский
24	СУ _3,2	Эрмитовский, кватернионный
28	ТАК ₈ (ℝ)	Компактный
28	СО _7,1 (ℝ)	гиперболический	Гиперболическое пространство $\mathbb {H} ^{7}$	Сфера S ⁷
28	СО _6,2 (ℝ)	эрмитовский
28	СО _5,3 (ℝ)	Квази-сплит
28	СО _4,4 (ℝ)	Сплит, кватернион
28	ТАК ^∗₈ (ℝ)	эрмитовский
28	Г ₂ (ℂ)	Сложный
30	СЛ ₄ (ℂ)	Сложный

Просто ажурные группы [ править ]

Группа с простой связкой — это группа Ли которой , диаграмма Дынкина содержит только простые связи, и поэтому все ненулевые корни соответствующей алгебры Ли имеют одинаковую длину. Все группы серий A, D и E имеют простое переплетение, но ни одна группа типа B, C, F или G не имеет простого переплетения.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Джейкобсон, Натан (1971). Исключительные алгебры Ли . ЦРК Пресс. ISBN 0-8247-1326-5 .
Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (2004). Теория представлений: первый курс . Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-1-4612-0979-9 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Бесса, Эйнштейна Многообразия ISBN 0-387-15279-2
Хельгасон, Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства . ISBN 0-8218-2848-7
Фукс и Швайгерт, Симметрии, алгебры Ли и представления: аспирантура для физиков. Издательство Кембриджского университета, 2003. ISBN 0-521-54119-0