Комплексная группа Ли

В геометрии комплексная группа Ли — это группа Ли над комплексными числами; т. е. это комплексно-аналитическое многообразие , которое также является группой таким образом $G\times G\to G,(x,y)\mapsto xy^{-1}$ является голоморфным . Основные примеры: $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ , общие линейные группы над комплексными числами . Связная компактная комплексная группа Ли — это в точности комплексный тор (не путать с комплексной группой Ли $\mathbb {C} ^{*}$ ). Любой конечной группе можно придать структуру комплексной группы Ли. Комплексная полупростая группа Ли — это линейная алгебраическая группа .

Алгебра Ли комплексной группы Ли является комплексной алгеброй Ли .

Примеры [ править ]

Конечномерное векторное пространство над комплексными числами (в частности, комплексной алгеброй Ли) очевидным образом является комплексной группой Ли.
Связная компактная комплексная группа Ли A размерности g имеет вид $\mathbb {C} ^{g}/L$ , комплексный тор , где L — дискретная подгруппа ранга 2g. Действительно, это алгебра Ли ${\mathfrak {a}}$ можно показать как абелеву, и тогда $\operatorname {exp} :{\mathfrak {a}}\to A$ является сюръективным морфизмом комплексных групп Ли, показывая, что A имеет описанную форму.
$\mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{*},z\mapsto e^{z}$ является примером сюръективного гомоморфизма комплексных групп Ли, который не возникает из морфизма алгебраических групп. С $\mathbb {C} ^{*}=\operatorname {GL} _{1}(\mathbb {C} )$ , это также пример представления комплексной группы Ли, которая не является алгебраической.
Пусть X — компактное комплексное многообразие. Тогда, аналогично реальному случаю, $\operatorname {Aut} (X)$ — комплексная группа Ли, алгеброй Ли которой является пространство $\Gamma (X,TX)$ голоморфных векторных полей на X:. ^{[ нужны разъяснения ]}
Пусть K — связная компактная группа Ли . Тогда существует единственная связная комплексная группа Ли G такая, что (i) $\operatorname {Lie} (G)=\operatorname {Lie} (K)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ и (ii) K — максимальная компактная подгруппа в G . называется комплексификацией К. Это Например, $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ есть комплексификация унитарной группы . Если K действует на компактном кэлеровом многообразии X , то действие K действия G. продолжается до ^[1]

с комплексной полупростой группой Ли Линейная алгебраическая группа , связанная

Пусть G — комплексная полупростая группа Ли. Тогда G допускает естественную структуру линейной алгебраической группы следующим образом: ^[2] позволять $A$ — кольцо голоморфных функций f на G таких, что $G\cdot f$ охватывает конечномерное векторное пространство внутри кольца голоморфных функций на G (здесь G действует левым сдвигом: $g\cdot f(h)=f(g^{-1}h)$ ). Затем $\operatorname {Spec} (A)$ является исходной G. — линейная алгебраическая группа, которая, если рассматривать ее как комплексное многообразие , Более конкретно, выберите достоверное представление $\rho :G\to GL(V)$ Г. Затем $\rho (G)$ Зариски-закрыты в $GL(V)$ . ^{[ нужны разъяснения ]}

Ссылки [ править ]

^ Гиймен, Виктор; Штернберг, Шломо (1982). «Геометрическое квантование и кратности представлений групп». Математические изобретения . 67 (3): 515–538. Бибкод : 1982InMat..67..515G . дои : 10.1007/bf01398934 . S2CID 121632102 .
^ Серр 1993 , с. Ч. VIII. Теорема 10

Ли, Дон Хун (2002), Структура сложных групп Ли , Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC, ISBN 1-58488-261-1 , МР 1887930
Серр, Жан-Пьер (1993), Жебрес

Эта посвященная геометрии, статья, незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Гиймен, Виктор; Штернберг, Шломо (1982). «Геометрическое квантование и кратности представлений групп». Математические изобретения . 67 (3): 515–538. Бибкод : 1982InMat..67..515G . дои : 10.1007/bf01398934 . S2CID 121632102 .

[2] Серр 1993 , с. Ч. VIII. Теорема 10

[1]

[2]