Таблица групп Ли

В этой статье представлена таблица некоторых распространенных групп Ли и связанных с ними алгебр Ли .

Отмечаются: топологические свойства групп ( размерность ; связность ; компактность ; природа фундаментальной группы или нет ; односвязность ), а также их алгебраические свойства ( абелевы ; простые ; полупростые ).

Дополнительные примеры групп Ли и других связанных тем см. в списке простых групп Ли ; групп классификация Бьянки размером до трех измерений; см . классификацию маломерных вещественных алгебр Ли для измерений до четырех измерений; и список тем группы Ли .

группы Ли и алгебры их Вещественные

Легенда столбца

Cpt : Является ли эта группа G компактной ? (Да или нет)
$\pi _{0}$ Дает компонентов G. : группу Порядок группы компонентов дает количество связанных компонентов . Группа связна тогда и только тогда, когда группа компонентов тривиальна (обозначается 0).
$\pi _{1}$ : дает фундаментальную группу G G всякий раз, когда связен . Группа односвязна тогда и только тогда, когда фундаментальная группа тривиальна (обозначается 0).
UC : Если не является односвязным, дает покрытие G. G универсальное

Группа лжи	Описание	Капитан	$\pi _{0}$	$\pi _{1}$	Калифорнийский университет	Примечания	Алгебра Ли	тусклый/ Р
Р ^н	Евклидово пространство со сложением	Н	0	0		абелев	Р ^н	н
Р ^×	ненулевые действительные числа с умножением	Н	З ₂	–		абелев	Р	1
Р ⁺	положительные действительные числа с умножением	Н	0	0		абелев	Р	1
С ¹ = U(1)	: группа круга комплексные числа с абсолютным значением 1 с умножением;	И	0	С	Р	абелева, изоморфная SO(2), Spin(2) и R / Z	Р	1
Афф(1)	обратимые аффинные из R в R. преобразования	Н	З ₂	–		разрешимое полупрямое произведение R ⁺ и Р ^×	$\left\{\left[{\begin{smallmatrix}a&b\\0&1\end{smallmatrix}}\right]:a\in \mathbb {R} ^{*},b\in \mathbb {R} \right\}$	2
ЧАС ^×	ненулевые кватернионы с умножением	Н	0	0			ЧАС	4
С ³ = Сп(1)	кватернионы по модулю 1 с умножением; топологически это 3-сфера	И	0	0		изоморфен SU(2) и Spin(3) ; двойная крышка SO (3)	Я( Ч )	3
GL( п , р )	общая линейная группа : обратимые размера n × n вещественные матрицы	Н	З ₂	–			М( п , р )	н ²
ГЛ ⁺( п , р )	n × n вещественные матрицы с положительным определителем	Н	0	З н =2 З ₂ н >2		ГЛ ⁺(1, R ) изоморфен R ⁺ и просто связан	М( п , р )	н ²
СЛ( п , р )	специальная линейная группа : действительные матрицы с определителем 1	Н	0	З н =2 З ₂ н >2		SL(1, R ) — одна точка и поэтому компактна и односвязна.	сл( п , р )	н ²−1
СЛ(2, Р )	Сохраняющие ориентацию изометрии полуплоскости Пуанкаре , изоморфные SU(1,1), изоморфные Sp(2, R ).	Н	0	С		Универсальное накрытие не имеет конечномерных точных представлений.	сл(2, Р )	3
На )	ортогональная группа : действительные ортогональные матрицы	И	З ₂	–		Группа симметрии сферы ( n = 3) или гиперсферы .	итак ( н )	п ( п -1)/2
ТАК( п )	специальная ортогональная группа : действительные ортогональные матрицы с определителем 1	И	0	З н =2 З ₂ н >2	Спин( п ) п >2	SO(1) — одна точка, SO(2) изоморфна группе окружностей , SO(3) — группа вращения сферы.	итак ( н )	п ( п -1)/2
SE( п )	специальная евклидова группа : группа движений твердого тела в n-мерном пространстве.	Н	0				се ( п )	п + п ( п -1)/2
Спин( п )	спиновая группа : двойное покрытие SO( n )	И	0 н >1	0 н >2		Spin(1) изоморфен Z ₂ и несвязен; Spin(2) изоморфен группе окружностей и не является односвязным.	итак ( н )	п ( п -1)/2
Sp(2 n , R )	симплектическая группа : настоящие симплектические матрицы	Н	0	С			сп(2 n , R )	п (2п + 1)
Сп( п )	компактная симплектическая группа : кватернионные n × n унитарные матрицы размера	И	0	0			сп( п )	п (2п + 1)
Мп( 2n , Р )	метаплектическая группа : двойное накрытие вещественной симплектической группы Sp( 2n , R )	И	0	С		Mp(2, R ) — группа Ли, не являющаяся алгебраической.	сп( 2n , R )	п (2п + 1)
У ( п )	унитарная группа : комплексные n × n унитарные матрицы размера	И	0	С	Р ×SU( п )	Для n =1: изоморфен S ¹. Примечание: это не комплексная группа/алгебра Ли.	ты ( п )	н ²
Солнце )	специальная унитарная группа : комплексные n × n унитарные матрицы размера с определителем 1.	И	0	0		Примечание: это не комплексная группа/алгебра Ли.	его ( н )	н ²−1

алгебры Настоящие Ли

Алгебра Ли	Описание	Простой?	Полупростой ?	Примечания	тусклый/ Р
Р	действительные числа , скобка Ли равна нулю				1
Р ^н	скобка Ли равна нулю				н
Р ³	скобка Лия — это векторное произведение	Да	Да		3
ЧАС	кватернионы , со скобкой Ли коммутатором				4
Я( Ч )	кватернионы с нулевой вещественной частью, со скобкой Ли в качестве коммутатора; изоморфен вещественным 3-векторам, со скобкой Ли — векторное произведение ; также изоморфен su(2) и so(3, R )	Да	Да		3
М( п , р )	матрицы n × n , в скобках Ли коммутатор				н ²
сл( п , р )	квадратные матрицы со следом 0, со скобкой Ли коммутатор	Да	Да		н ²−1
итак ( н )	кососимметричные квадратные действительные матрицы со скобкой Ли в качестве коммутатора.	Да, за исключением n = 4	Да	Исключение: so(4) полупросто, но не простой.	п ( п -1)/2
сп(2 n , R )	действительные матрицы, удовлетворяющие JA + A ^ТJ = 0, где J — стандартная кососимметричная матрица.	Да	Да		п (2п + 1)
сп( п )	квадратные кватернионные матрицы A, удовлетворяющие A = − A ^∗, со скобкой Ли коммутатор	Да	Да		п (2п + 1)
ты ( п )	квадратные комплексные матрицы A, удовлетворяющие A = − A ^∗, со скобкой Ли коммутатор			Примечание: это не комплексная алгебра Ли.	н ²
его ( н ) n ≥2	квадратные комплексные матрицы A со следом 0, удовлетворяющие A = − A ^∗, со скобкой Ли коммутатор	Да	Да	Примечание: это не комплексная алгебра Ли.	н ²−1

группы Ли и алгебры их Комплексные

Обратите внимание, что «комплексная группа Ли» определяется как комплексное аналитическое многообразие, которое также является группой, умножение и обращение которой задаются голоморфным отображением. Размеры в таблице ниже относятся к C. размерам Обратите внимание, что каждую комплексную группу/алгебру Ли также можно рассматривать как реальную группу/алгебру Ли удвоенной размерности.

Группа лжи	Описание	Капитан	$\pi _{0}$	$\pi _{1}$	Калифорнийский университет	Примечания	Алгебра Ли	тусклый/ С
С ^н	групповая операция - сложение	Н	0	0		абелев	С ^н	н
С ^×	ненулевые комплексные числа с умножением	Н	0	С		абелев	С	1
GL( п , С )	общая линейная группа : обратимые размера n × n комплексные матрицы	Н	0	С		Для n =1: изоморфен C ^×	М( п , С )	н ²
СЛ( п , С )	специальная линейная группа : комплексные матрицы с определителем 1	Н	0	0		для n =1 это одна точка и, следовательно, компактная.	сл( п , С )	н ²−1
СЛ(2, С )	Частный случай SL( n , C ) для n =2	Н	0	0		Изоморфен Spin(3, C ), изоморфен Sp(2, C ).	сл(2, С )	3
ПСЛ(2, С )	Проективная специальная линейная группа	Н	0	З ₂	СЛ(2, С )	Изоморфен группе Мёбиуса , изоморфен ограниченной группе Лоренца SO ⁺(3,1, R ), изоморфный SO(3, C ).	сл(2, С )	3
О( п , С )	ортогональная группа : комплексные ортогональные матрицы	Н	З ₂	–		конечен при n =1	итак( п , С )	п ( п -1)/2
ТАК( п , С )	специальная ортогональная группа : комплексные ортогональные матрицы с определителем 1	Н	0	З н =2 З ₂ н >2		SO(2, C ) абелева и изоморфна C ^×; неабелева при n >2. SO(1, C ) — это одна точка, поэтому она компактна и односвязна.	итак( п , С )	п ( п -1)/2
Sp(2 n , C )	симплектическая группа : комплексные симплектические матрицы	Н	0	0			сп(2 н , С )	п (2п + 1)

алгебры Комплексные Ли

Указанные размерности являются размерностями над C . Обратите внимание, что любую комплексную алгебру Ли можно также рассматривать как действительную алгебру Ли удвоенной размерности.

Алгебра Ли	Описание	Простой?	Полупростой?	Примечания	тусклый/ С
С	комплексные числа				1
С ^н	скобка Ли равна нулю				н
М( п , С )	матрицы n × n со скобкой Ли коммутатором				н ²
сл( п , С )	квадратные матрицы со следом 0 со скобкой Ли коммутатор	Да	Да		н ²−1
сл(2, С )	Частный случай sl( n , C ) с n =2	Да	Да	изоморфен su(2) $\otimes$ С	3
итак( п , С )	кососимметричные квадратные комплексные матрицы со скобкой Ли коммутатор	Да, за исключением n = 4	Да	Исключение: so(4, C ) полупросто, но не простой.	п ( п -1)/2
сп(2 н , С )	комплексные матрицы, удовлетворяющие JA + A ^ТДж = 0 где J — стандартная кососимметричная матрица	Да	Да		п (2п + 1)

Алгебра Ли аффинных преобразований размерности два фактически существует для любого поля. Пример реальных алгебр Ли уже указан в первой таблице.

См. также [ править ]

Классификация маломерных вещественных алгебр Ли

Группа простой лжи # Полная классификация

Ссылки [ править ]

Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . МР 1153249 . OCLC 246650103 .