Модель полуплоскости Пуанкаре

В неевклидовой геометрии модель полуплоскости Пуанкаре представляет собой верхнюю полуплоскость , обозначенную ниже как H $=\{\langle x,y\rangle \mid y>0;x,y\in \mathbb {R} \}$ вместе с метрикой Пуанкаре , что делает его моделью двумерной гиперболической геометрии .

Аналогичным образом, модель полуплоскости Пуанкаре иногда описывается как комплексная плоскость , в которой мнимая часть ( упомянутая выше координата y ) положительна.

Модель полуплоскости Пуанкаре названа в честь Анри Пуанкаре , но она возникла благодаря Эудженио Бельтрами , который использовал ее вместе с моделью Клейна и моделью диска Пуанкаре , чтобы показать, что гиперболическая геометрия эквисовместима с евклидовой геометрией .

Эта модель является конформной , что означает, что углы, измеренные в точке, в модели такие же, как и в реальной гиперболической плоскости.

Преобразование Кэли обеспечивает изометрию между моделью полуплоскости и моделью диска Пуанкаре.

Эту модель можно обобщить для моделирования $n+1$ мерное гиперболическое пространство путем замены действительного числа x вектором в n- мерном евклидовом векторном пространстве.

Метрика

Метрика модели на полуплоскости, $\{\langle x,y\rangle \mid y>0\},$ является:

(ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}}{y^{2}}}

где s измеряет длину вдоль (возможно, изогнутой) линии. в Прямые линии гиперболической плоскости ( геодезические для этого метрического тензора, т.е. кривые, минимизирующие расстояние) представлены в этой модели дугами окружностей, перпендикулярными оси x (полукруги, центры которых находятся на оси x ) и прямые вертикальные лучи, перпендикулярные оси x .

Расчет расстояния

Если ${\textstyle p_{1}=\langle x_{1},y_{1}\rangle }$ и ${\textstyle p_{2}=\langle x_{2},y_{2}\rangle }$ две точки в полуплоскости ${\textstyle y>0}$ и ${\textstyle {\tilde {p}}_{1}=\langle x_{1},-y_{1}\rangle }$ является отражением ${\textstyle p_{1}}$ по оси x в нижнюю полуплоскость расстояние между двумя точками в метрике гиперболической плоскости равно:

${\begin{aligned}\operatorname {dist} (p_{1},p_{2})&=2\operatorname {arsinh} {\frac {\|p_{2}-p_{1}\|}{2{\sqrt {y_{1}y_{2}}}}}\\[10mu]&=2\operatorname {artanh} {\frac {\|p_{2}-p_{1}\|}{\|p_{2}-{\tilde {p}}_{1}\|}}\\[10mu]&=2\ln {\frac {\|p_{2}-p_{1}\|+\|p_{2}-{\tilde {p}}_{1}\|}{2{\sqrt {y_{1}y_{2}}}}},\end{aligned}}$

где ${\textstyle \|p_{2}-p_{1}\|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}$ это евклидово расстояние между точками ${\textstyle p_{1}}$ и ${\textstyle p_{2},}$ ${\textstyle \operatorname {arsinh} x=\ln {\bigl (}x+{\sqrt {x^{2}+1}}{\bigr )}}$ – обратный гиперболический синус , а ${\textstyle \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln \left((1+x)/(1-x)\right)}$ – обратный гиперболический тангенс . Этот ${\textstyle 2\operatorname {arsinh} }$ формулу можно рассматривать как исходящую из длины хорды в метрике Минковского между точками в модели гиперболоида , ${\textstyle \operatorname {chord} (p_{1},p_{2})=2\sinh {\tfrac {1}{2}}\operatorname {dist} (p_{1},p_{2}),}$ аналогично нахождению длины дуги на сфере через длину хорды. Этот ${\textstyle 2\operatorname {artanh} }$ Формулу можно рассматривать как полученную из евклидова расстояния в модели диска Пуанкаре с одной точкой в начале координат, что аналогично нахождению длины дуги на сфере путем взятия стереографической проекции с центром в одной точке и измерения евклидова расстояния в плоскости от начала координат до другой момент.

Если две точки ${\textstyle p_{1}}$ и ${\textstyle p_{2}}$ находятся на гиперболической прямой (евклидов полукруг), которая пересекает ось x в идеальных точках. ${\textstyle p_{0}=\langle x_{0},0\rangle }$ и ${\textstyle p_{3}=\langle x_{3},0\rangle ,}$ расстояние от ${\textstyle p_{1}}$ к ${\textstyle p_{2}}$ является:

$\operatorname {dist} (p_{1},p_{2})=\left|\ln {\frac {\|p_{2}-p_{0}\|\|p_{1}-p_{3}\|}{\|p_{1}-p_{0}\|\|p_{2}-p_{3}\|}}\right|.$

См. Перекрестное соотношение .

Некоторые частные случаи можно упростить. Две точки с одинаковым ${\textstyle x}$ координировать: ^{[ 1 ]}

$\operatorname {dist} (\langle x,y_{1}\rangle ,\langle x,y_{2}\rangle )=\left|\ln {\frac {y_{2}}{y_{1}}}\right|=\left|\ln(y_{2})-\ln(y_{1})\right|.$

Две точки с одинаковым ${\textstyle y}$ координировать:

$\operatorname {dist} \left(\langle x_{1},y\rangle ,\langle x_{2},y\rangle \right)=2\operatorname {arsinh} {\frac {|x_{2}-x_{1}|}{2y}}.$

Один балл ${\textstyle \langle x_{1},r\rangle }$ на вершине полукруга ${\textstyle (x-x_{1})^{2}+y^{2}=r^{2},}$ и еще одна точка под центральным углом ${\textstyle \phi .}$

$\operatorname {dist} (\langle x_{1},r\rangle ,\langle x_{1}\pm r\sin \phi ,r\cos \phi \rangle )={2\operatorname {artanh} }{\bigl (}{\tan {\tfrac {1}{2}}\phi }{\bigr )}=\operatorname {gd} ^{-1}\phi ,$

где ${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$ – обратная функция Гудермана , а ${\textstyle \operatorname {artanh} x={\tfrac {1}{2}}\ln {\dfrac {1+x}{1-x}}}$ – обратный гиперболический тангенс .

Особые точки и кривые

Идеальные точки (точки, находящиеся на бесконечности) в модели полуплоскости Пуанкаре бывают двух видов:

точки на оси x , и
одна воображаемая точка в $y=\infty$ которая является идеальной точкой , к которой сходятся все линии, ортогональные оси x .

Прямые линии , геодезические (кратчайший путь между точками, содержащимися внутри него) моделируются либо:

полукруги, начало координат которых находится на оси X
прямые вертикальные лучи, ортогональные оси x

Круг центром (кривые, равноудаленные от центральной точки) с $(x,y)$ и радиус $r$ моделируется:

круг с центром

(x,y\cosh(r))

и радиус

y\sinh(r)

Гиперцикл (кривая , равноудаленная от прямой линии, ее оси) моделируется либо:

дуга окружности, пересекающая ось x в тех же двух идеальных точках, что и полукруг, моделирующий ее ось, но под острым или тупым углом
прямая линия, пересекающая ось X в той же точке, что и вертикальная линия, моделирующая ее ось, но под острым или тупым углом .

Орицикл (кривая , все нормали которой асимптотически сходятся в одном направлении, ее центре) моделируется либо:

окружность, касающаяся оси x (но исключая идеальную точку пересечения, которая является ее центром)
линия, параллельная оси x , в данном случае центром является точка идеальная $y=\infty$ .

Евклидов синопсис

Евклидов круг с центром $\langle x_{e},y_{e}\rangle$ и радиус $r_{e}$ представляет:

когда круг полностью находится внутри полуплоскости, получается гиперболический круг с центром

\left(x_{e},{\sqrt {y_{e}^{2}-r_{e}^{2}}}\right)

и радиус

{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {y_{e}+r_{e}}{y_{e}-r_{e}}}\right).

когда окружность полностью находится внутри полуплоскости и касается границы, орицикл с центром вокруг идеальной точки $(x_{e},0)$
когда окружность пересекает границу, ортогональную $(y_{e}=0)$ гиперболическая линия
когда окружность пересекает границу, неортогональную гиперциклу.

Конструкции циркуля и линейки

Вот как можно использовать в модели конструкции циркуля и линейки , чтобы добиться эффекта основных конструкций в гиперболической плоскости . ^{[ 2 ]} Например, как построить полукруг в евклидовой полуплоскости, который моделирует линию на гиперболической плоскости, проходящую через две заданные точки.

Создание линии через две существующие точки

Нарисуйте отрезок между двумя точками. Постройте биссектрису отрезка прямой. Найдите его пересечение с осью x . Нарисуйте круг вокруг пересечения, проходящего через данные точки. Сотрите часть, которая находится на оси X или ниже .

Или, в особом случае, когда две заданные точки лежат на вертикальной линии, проведите эту вертикальную линию через две точки и сотрите часть, которая находится на оси x или ниже .

Создание круга через одну точку с центром в другой точке

Если две точки не находятся на вертикальной линии:

Нарисуйте радиальную линию (полукруг) между двумя заданными точками, как и в предыдущем случае. Постройте касательную к этой линии в нецентральной точке. Опустите перпендикуляр из данной центральной точки на ось x . Найдите пересечение этих двух линий, чтобы получить центр модельного круга. Нарисуйте круг модели вокруг этого нового центра и проходящий через заданную нецентральную точку.

Если две данные точки лежат на вертикальной линии и данный центр находится над другой заданной точкой:

Нарисуйте круг вокруг пересечения вертикальной линии и оси X , проходящей через данную центральную точку. Проведите горизонтальную линию через нецентральную точку. Постройте касательную к окружности в месте ее пересечения с этой горизонтальной линией.

Средняя точка между пересечением касательной с вертикальной линией и данной нецентральной точкой является центром модельного круга. Нарисуйте круг модели вокруг этого нового центра и проходящий через заданную нецентральную точку.

Если две данные точки лежат на вертикальной линии и данный центр находится ниже другой данной точки:

Нарисуйте круг вокруг пересечения вертикальной линии и оси X , проходящей через данную центральную точку. Нарисуйте линию, касательную к окружности, которая проходит через данную нецентральную точку. Проведите горизонтальную линию через эту точку касания и найдите ее пересечение с вертикальной линией.

Средняя точка между этим пересечением и данной нецентральной точкой является центром модельного круга. Нарисуйте круг модели вокруг этого нового центра и проходящий через заданную нецентральную точку.

Дан круг, найдите его (гиперболический) центр.

Опустите перпендикуляр p из евклидова центра окружности на ось x .

Пусть точка q будет пересечением этой прямой и оси x .

Нарисуйте линию, касательную к окружности, проходящей через точку q .

Нарисуйте полукруг h с центром q, проходящим через точку пересечения касательной и окружности.

(Гиперболический) центр — это точка пересечения h и p . ^{[ 3 ]}

Другие конструкции

Создание точки, которая является пересечением двух существующих линий, если они пересекаются:

Найдите пересечение двух данных полукругов (или вертикальных линий).

Создание одной или двух точек на пересечении линии и круга (если они пересекаются):

Найдите пересечение данного полукруга (или вертикальной линии) с данным кругом.

Создание одной или двух точек пересечения двух окружностей (если они пересекаются):

Найдите пересечение двух данных окружностей.

Группы симметрии

Проективная линейная группа PGL(2, C ) действует на сфере Римана преобразованиями Мёбиуса . Подгруппой, которая отображает верхнюю полуплоскость H на себя, является PSL(2, R ), преобразования с вещественными коэффициентами, которые действуют транзитивно и изометрически на верхнюю полуплоскость, делая ее однородным пространством .

Существует четыре тесно связанных группы Ли , которые действуют в верхней полуплоскости дробно-линейными преобразованиями и сохраняют гиперболическое расстояние.

Специальная линейная группа SL(2, R ) , состоящая из набора матриц 2×2 с вещественными элементами, определитель которых равен +1. Обратите внимание, что во многих текстах (включая Википедию) часто говорится SL(2, R ), хотя на самом деле имеется в виду PSL(2, R ).
Группа S*L(2, R ), состоящая из набора матриц 2×2 с вещественными элементами, определитель которых равен +1 или −1. Обратите внимание, что SL(2, R ) является подгруппой этой группы.
Проективная специальная линейная группа PSL(2, R ) = SL(2, R )/{± I }, состоящая из матриц из SL(2, R ) по модулю плюс или минус единичная матрица.
Группа ПС. ^*L(2, R ) = S ^*L(2, R )/{± I }=PGL(2, R ) снова является проективной группой, и снова по модулю плюс или минус единичная матрица. PSL(2, R ) содержится как нормальная подгруппа индекса два, а другой смежный класс представляет собой набор матриц 2 × 2 с действительными элементами, определитель которых равен -1 по модулю плюс или минус единица.

Связь этих групп с моделью Пуанкаре следующая:

Группа всех изометрий H H , иногда обозначаемая как Isom( ) , изоморфна PS ^*Л(2, Р ). Сюда входят как изометрии, сохраняющие ориентацию, так и изометрии, меняющие ориентацию. Карта, меняющая ориентацию (зеркальная карта), $z\rightarrow -{\overline {z}}$ .
Группа сохраняющих ориентацию изометрий H , иногда обозначаемая как Isom ⁺( H ), изоморфен PSL(2, R ).

Важными подгруппами группы изометрий являются фуксовы группы .

Также часто можно встретить модулярную группу SL(2, Z ). Эта группа важна в двух отношениях. Во-первых, это группа симметрии квадратной решетки точек 2х2. Таким образом, функции, которые являются периодическими на квадратной сетке, такие как модулярные формы и эллиптические функции , унаследуют симметрию SL (2, Z ) от сетки. Во-вторых, SL(2, Z ), конечно, является подгруппой SL(2, R ) и, таким образом, имеет встроенное в нее гиперболическое поведение. В частности, SL(2, Z ) можно использовать для разбиения гиперболической плоскости на ячейки равной площади (Пуанкаре).

Изометрическая симметрия

Групповое действие проективной специальной линейной группы ${\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )$ на $\mathbb {H}$ определяется

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {(ac|z|^{2}+bd+(ad+bc)\Re (z))+i(ad-bc)\Im (z)}{|cz+d|^{2}}}.

Обратите внимание, что действие транзитивно : для любого $z_{1},z_{2}\in \mathbb {H}$ , существует $g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )$ такой, что $gz_{1}=z_{2}$ . Это также верно в том смысле, что если $gz=z$ для всех $z\in \mathbb {H} ,$ тогда г = е .

Стабилизатор изотропии или подгруппа элемента $z\in \mathbb {H}$ это набор $g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )$ которые оставляют z неизменным: gz = z . Стабилизатор i - это группа вращения

{\rm {SO}}(2)=\left.\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbb {R} \right\}.

Поскольку любой элемент $z\in \mathbb {H}$ отображается в i некоторым элементом ${\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )$ что подгруппа изотропии любого z изоморфна , это означает , SO(2). Таким образом, $\mathbb {H} ={\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )/{\rm {SO}}(2)$ . Альтернативно, расслоение касательных векторов единичной длины в верхней полуплоскости, называемое единичным касательным расслоением , изоморфно ${\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )$ .

Верхняя полуплоскость разбивается на свободные регулярные множества модульной группой ${\rm {SL}}(2,\mathbb {Z} ).$

Геодезика

Геодезическими для этого метрического тензора являются дуги окружностей, перпендикулярные действительной оси (полукруги, начало которых находится на действительной оси) и прямые вертикальные линии, заканчивающиеся на действительной оси.

Геодезическая с единичной скоростью, идущая вертикально через точку i, определяется выражением

\gamma (t)={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\cdot i=ie^{t}.

Поскольку PSL(2, R ) действует транзитивно через изометрии верхней полуплоскости, эта геодезическая отображается в другие геодезические посредством действия PSL(2, R ). Таким образом, общая геодезическая с единичной скоростью определяется выражением

\gamma (t)={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\cdot i={\frac {aie^{t}+b}{cie^{t}+d}}.

Это дает базовое описание геодезического потока на касательном расслоении единичной длины (комплексном линейном расслоении ) в верхней полуплоскости. Начиная с этой модели, можно получить течение на произвольных римановых поверхностях , как описано в статье о потоке Аносова .

Модель в трех измерениях

Метрика модели на полупространстве ${\textstyle \{\langle x,y,z\rangle \mid z>0\}}$ дается

$(ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}{z^{2}}}\,$

где s измеряет длину вдоль возможно изогнутой линии. в Прямые линии гиперболическом пространстве ( геодезические для этого метрического тензора, т.е. кривые, минимизирующие расстояние) представлены в этой модели дугами окружностей, нормальными к плоскости z = 0 (полукруги, начало которых находится в точке z = 0 -). плоскости) и прямые вертикальные лучи, нормальные к плоскости z = 0 .

Расстояние точками между двумя ${\textstyle p_{1}=\langle x_{1},y_{1},z_{1}\rangle }$ и ${\textstyle p_{2}=\langle x_{2},y_{2},z_{2}\rangle }$ измеренная в этой метрике вдоль такой геодезической равна:

$\operatorname {dist} (p_{1},p_{2})=2\operatorname {arsinh} {\frac {\|p_{2}-p_{1}\|}{2{\sqrt {z_{1}z_{2}}}}}.$

Модель в n измерениях

Эту модель можно обобщить для моделирования $n+1$ мерное гиперболическое пространство путем замены действительного числа x вектором в n- мерном евклидовом векторном пространстве.

См. также

Ссылки

Примечания

^ «Формула расстояния для точек в модели полуплоскости Пуанкаре на «вертикальной геодезической» » . математический стек обмена. 6 августа 2015 г. Проверено 19 сентября 2015 г.
^ Бочака, Юдит Абардиа. «Инструменты для работы с моделью полуплоскости» . Инструменты для работы с режимом Half-Plane . Проверено 25 июня 2015 г.
^ Ароматы геометрии, Публикации MSRI, Том 31, 1997, Гиперболическая геометрия, Дж. В. Кэннон, У. Дж. Флойд, Р. Кеньон и В. Р. Парри, стр. 87, рисунок 19. Построение гиперболического центра круга

Источники

Эухенио Бельтрами , Фундаментальная теория пространств постоянной кривизны , Annali di Matematica Pura ed Applicata , сер II 2 (1868), 232–255
Анри Пуанкаре (1882) «Теория групп Fuchsiens», Acta Mathematica v.1, стр. 1. Первая статья из серии, посвященной модели полуплоскости. Архивная копия находится в свободном доступе. На странице 52 можно увидеть пример характерных для модели полукруговых диаграмм.
Гершель М. Фаркас и Ирвин Кра , Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 0-387-90465-4 .
Юрген Йост , Компактные римановы поверхности (2002), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 3-540-43299-X (см. раздел 2.3) .
Сол Шталь, Полуплоскость Пуанкаре , Джонс и Бартлетт, 1993, ISBN 0-86720-298-X .
Джон Стиллвелл (1998) Числа и геометрия , стр. 100–104, Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 0-387-98289-2 . Элементарное введение в полуплоскую модель Пуанкаре гиперболической плоскости.

[1] «Формула расстояния для точек в модели полуплоскости Пуанкаре на «вертикальной геодезической» » . математический стек обмена. 6 августа 2015 г. Проверено 19 сентября 2015 г.

[2] Бочака, Юдит Абардиа. «Инструменты для работы с моделью полуплоскости» . Инструменты для работы с режимом Half-Plane . Проверено 25 июня 2015 г.

[3] Ароматы геометрии, Публикации MSRI, Том 31, 1997, Гиперболическая геометрия, Дж. В. Кэннон, У. Дж. Флойд, Р. Кеньон и В. Р. Парри, стр. 87, рисунок 19. Построение гиперболического центра круга

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]