Конформная картографическая проекция

В картографии конформной картографической проекцией каждый угол между двумя кривыми, пересекающими друг друга на Земле ( сфера или эллипсоид называется такая, в которой в изображении проекции сохраняется ); то есть проекция представляет собой конформное отображение в математическом смысле. Например, если две дороги пересекают друг друга под углом 39°, их изображения на карте с конформной проекцией пересекаются под углом 39°.

Свойства

Конформную проекцию можно определить как локально конформную в каждой точке карты, хотя, возможно, и с особыми точками , в которых конформность не удается. Таким образом, каждая маленькая фигурка практически похожа на свое изображение на карте. Проекция сохраняет соотношение двух длин в малой области. Все индикатрисы проекции Тиссо представляют собой круги.

Конформные проекции сохраняют лишь небольшие фигуры. Крупные фигуры искажаются даже конформными проекциями.

В конформной проекции любая маленькая фигура похожа на изображение, но степень сходства ( масштаб ) варьируется в зависимости от местоположения, что и объясняет искажение конформной проекции.

В конформной проекции параллели и меридианы пересекаются на карте прямоугольно; но не все отображения с этим свойством конформны. Контрпримеры — равноугольные и равновеликие цилиндрические проекции (нормальных аспектов). Эти проекции расширяются по меридианам и параллельно в разных соотношениях соответственно. Таким образом, параллели и меридианы пересекаются на карте прямоугольно, но эти проекции не сохраняют других углов; т.е. эти проекции не конформны.

Как доказал Леонард Эйлер в 1775 году, конформная картографическая проекция не может быть равновеликой, а равновеликая картографическая проекция не может быть конформной. Это также является следствием » Карла Гаусса 1827 года «Замечательной теоремы .

Конформная параметризация дискообразной области на сфере считается оптимальной по масштабу, когда она минимизирует соотношение максимального и минимального масштаба по всей карте. Это происходит путем присвоения единичного масштаба границе диска. Чебышев применил эту теорему для создания конформной карты европейской части Российской империи, что позволило сократить ошибки масштаба до 1/50.

Список конформных проекций

• Проекция Меркатора (конформная цилиндрическая проекция)
  • Проекция Меркатора нормального аспекта (Каждая прямая линия изображается на карте как прямая линия).
  • Поперечная проекция Меркатора
    • Система координат Гаусса – Крюгера (эта проекция сохраняет длину центрального меридиана эллипсоида)
  • Косая проекция Меркатора
    • Космически-косая проекция Меркатора (модифицированная проекция косой проекции Меркатора для спутниковых орбит с вращением Земли в пределах близкой конформности)
• Равноугольная коническая проекция Ламберта
  • Наклонная равноугольная коническая проекция (Эта проекция иногда используется для регионов вытянутой формы, таких как континенты Америки или Японский архипелаг .)
• Стереографическая проекция (Соформная азимутальная проекция. Каждый круг на Земле изображается на карте как круг или прямая линия.)
  • Сплющенная стереографическая проекция Миллера (Модифицированная стереографическая проекция для континентов Африки и Европы .)
  • Проекция GS50 (Эта проекция состоит из стереографической проекции с поправкой на комплексных полином чисел .)
• Проекция Литтроу (конформная ретро-азимутальная проекция)
• Проекция Лагранжа (поликоническая проекция и композиция конформной конической проекции Ламберта и преобразования Мёбиуса .)
  • Эпициклоидальная проекция Августа (композиция проекции Лагранжа сферы в круге и многочлена 3-й степени от комплексных чисел.)
• Применение эллиптической функции
  • Квинкунциальная проекция Пирса (она конформно проецирует Землю в квадрат, за исключением четырех особых точек.)
  • Ли-конформная проекция мира в тетраэдре

Приложения

Крупномасштабный

На многих крупномасштабных картах используются конформные проекции, поскольку фигуры на крупномасштабных картах можно считать достаточно маленькими. Фигуры на картах почти аналогичны своим физическим аналогам.

Неконформная проекция может использоваться в ограниченной области, так что проекция является локально конформной. Склеивание множества карт восстанавливает округлость. Чтобы сделать новый лист из множества карт или изменить центр, тело необходимо перепроецировать.

Бесшовные онлайн-карты могут представлять собой очень большие проекции Меркатора , так что любое место может стать центром карты, тогда карта останется конформной. Однако с помощью такой проекции сложно сравнить длины или площади двух далеких фигур.

Универсальная поперечная система координат Меркатора и система Ламберта во Франции представляют собой проекции, которые поддерживают компромисс между плавностью и изменчивостью масштаба.

Для небольших масштабов

Контурная диаграмма масштабных коэффициентов проекции GS50

Карты, отражающие направления, такие как морская карта или аэронавигационная карта , проецируются с помощью конформных проекций. Карты, обрабатывающие значения, градиенты которых важны, например карта погоды с атмосферным давлением , также проецируются с помощью конформных проекций.

Карты мелкого масштаба имеют крупномасштабные вариации конформной проекции, поэтому в последних картах мира используются другие проекции. Исторически сложилось так, что многие карты мира рисуются с помощью конформных проекций, например карты Меркатора или карты полушарий с помощью стереографической проекции .

Конформные карты, содержащие большие регионы, различаются по масштабу в зависимости от местоположения, поэтому сравнивать длину или площадь сложно. Однако некоторые методы требуют, чтобы длина меридиана в 1 градус = 111 км = 60 морских миль . В неконформных картах такие методы недоступны, поскольку одни и те же длины в точке меняют длины на карте.

В меркаторских или стереографических проекциях масштабы различаются в зависимости от широты , поэтому часто добавляются линейчатые шкалы по широте. В сложных проекциях, например косых. Иногда прилагаются контурные диаграммы масштабных коэффициентов.

См. также

• Список картографических проекций

Ссылки

• Эйлер, Леонард (1778). « О изображении сферических поверхностей на плоскости». Известия Императорской Петрополитинской академии наук (на латыни). 1777 (1): 107–132. Е 490

Дальнейшее чтение

• Адамс, Оскар (1925). Эллиптические функции в применении к конформным картам мира (PDF) . Специальное издание береговой и геодезической службы США. Том. 112. Генеральная прокуратура США.
• Кокс, Жак-Франсуа (1935). «Изображение всей поверхности земли в равностороннем треугольнике». Бюллетень научного класса, Королевская академия Бельгии . 5-я серия (на французском языке). 21 :66–71.
• Фурути, Карлос (2005). «Картографические проекции: конформные проекции» . progonos.com/furuti . Архивировано из оригинала 15 июня 2018 г.
• Гюйу, Эмиль (1887). «Новая система проекции сферы: Обобщение проекции Меркатора» . Гидрографический аннал . Серия 2 (на французском языке). 9 :16–35.
• Ли, Лоуренс (1976). Конформные проекции на основе эллиптических функций . Картографические монографии. Том. 16. Издательство Университета Торонто. ISBN  9780919870161 . Главы также опубликованы в The Canadian Cartographer . 13 (1). 1976.
• Лейк, Альфред; Рапопорт, Лев; Татарников, Дмитрий (2015). «Приложение C: Конформное отображение». GPS-спутниковая съемка . Уайли. стр. 715–739. дои : 10.1002/9781119018612.app3 . ISBN  9781119018612 .
• Пирс, Чарльз (1879). «Квинкунциальная проекция сферы» . Американский журнал математики . 2 (4): 394–397. дои : 10.2307/2369491 . JSTOR   2369491 .
• Шварц, Герман (1869). «О некоторых проблемах картографии». Журнал Крелля (на немецком языке). 1869 (70): 105–120. дои : 10.1515/crll.1869.70.105 . S2CID   121291546 .
• Снайдер, Джон (1989). Альбом картографических проекций (PDF) . Профессиональные документы Геологической службы США. Том. 1453. Генеральная прокуратура США.
• Томас, Пол (1952). Конформные проекции в геодезии и картографии (PDF) . Специальное издание береговой и геодезической службы США. Том. 251. Генеральная прокуратура США.