Квинкунциальная проекция Пирса

Пирс Квинкунциальная проекция мира. Красный экватор — это квадрат, углы которого — единственные четыре точки на карте, в которых проекция не является конформной.

Квинкунциальная проекция Пирса с индикатрисой деформации Тиссо .

Квинкунциальная проекция Пирса — это конформная картографическая проекция сферы на развернутый квадратный двугранник , разработанная Чарльзом Сандерсом Пирсом в 1879 году. Каждый октант проецируется на равнобедренный прямоугольный треугольник , который образует квадрат. Название квинкунсий относится к такому расположению: северный полюс в центре и четверти южного полюса по углам образуют узор квинкунс, подобный точкам на пяти гранях традиционной игральной кости . Проекция обладает тем отличительным свойством, что она образует бесшовную квадратную мозаику плоскости, конформную, за исключением четырех особых точек вдоль экватора.

Обычно проекция квадратная и ориентирована так, что северный полюс лежит в центре, но наклонный аспект прямоугольника был предложен Эмилем Гюйо в 1887 году, а поперечный аспект был предложен Оскаром Адамсом в 1925 году.

Проекция нашла применение в цифровой фотографии для изображения сферических панорам .

История

Развитие комплексного анализа привело к появлению общих методов конформного отображения , где точки плоской поверхности обрабатываются как числа на комплексной плоскости . Работая в Береговой и геодезической службе США , американский философ Чарльз Сандерс Пирс опубликовал в 1879 году свой прогноз: будучи вдохновленным Х. А. Шварцем в 1869 году конформным преобразованием круга в многоугольник с n сторонами (известным как отображение Шварца – Кристоффеля). В обычном аспекте проекция Пирса представляет Северное полушарие в виде квадрата; Южное полушарие разделено на четыре равнобедренных треугольника, симметрично окружающих первый, что похоже на звездообразные проекции. По сути, вся карта представляет собой квадрат, что вдохновило Пирса назвать свою проекцию квинкунциальной , после расположения пяти элементов в квинкунсе .

После того как Пирс представил свою проекцию, два других картографа разработали аналогичные проекции полушария (или всей сферы после соответствующей перестановки) на квадрат: Гую в 1887 году и Адамс в 1925 году. Эти три проекции являются трансверсальными версиями друг друга (см. соответствующие проекции ниже).

Формальное описание

Квинкунциальная проекция Пирса «формируется путем преобразования стереографической проекции с полюсом на бесконечности посредством эллиптической функции». Квинкунциал Пирса на самом деле является проекцией полушария, но его свойства тесселяции (см. ниже) позволяют использовать его для всей сферы. Проекция отображает внутреннюю часть круга на внутреннюю часть квадрата с помощью отображения Шварца – Кристоффеля следующим образом:

$$\operatorname {sd} \left({\sqrt {2}}w,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\sqrt {2}}\,r$$

где

• sd — отношение двух эллиптических функций Якоби : ⁠ ${\tfrac {\rm {sn}}{\rm {dn}}};$⁠
• w — отображаемая точка на плоскости как комплексное число ( w = x + iy ) ;
• r — стереографическая проекция с масштабом 1/2 в центре.

Эллиптический интеграл первого рода можно использовать для определения w . Запятая, используемая для sd( u , k ), означает, что ⁠ ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$⁠ — это модуль отношения эллиптической функции, в отличие от параметра [который будет записан sd( u | m ) ] или амплитуды [который будет записан sd( u \ α ) ]. Отображение имеет масштабный коэффициент 1/2 в центре, как и генерируемая стереографическая проекция.

Обратите внимание, что: $$\operatorname {sd} \left({\sqrt {2}}w,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\sqrt {2}}\operatorname {sl} \left(w\right)$$— функция лемнискатического синуса (см. Лемнискатные эллиптические функции ).

Характеристики

Сетка на квадратном диэдре под обратной квинкунциальной проекцией Пирса конформна, за исключением четырех особенностей вокруг экватора. Каждая линия сетки представляет собой сферический конус .

По мнению Пирса, его проекция обладает следующими свойствами (Пирс, 1879):

• Сфера представлена ​​в виде квадрата.
• Часть, где преувеличение масштаба составляет вдвое больше, чем в центре, составляет всего 9% площади сферы, против 13% для проекции Меркатора и 50% для стереографической проекции.
• Кривизна линий, изображающих большие круги, в каждом случае очень незначительна на большей части их длины.
• Он конформен везде, кроме четырех углов внутреннего полушария (т.е. середин краев проекции), где экватор и четыре меридиана резко меняют направление (экватор представлен квадратом). Это особенности , в которых дифференцируемость невозможна.
• Его можно разметить во всех направлениях.

Плиточные карты квинкунциала Пирса

Тесселяционная версия карты квинкунциала Пирса

Проекция мозаично формирует плоскость; т. е. повторяющиеся копии могут полностью покрывать (плиткать) произвольную область, при этом характеристики каждой копии точно совпадают с характеристиками ее соседей.(См. пример справа).Более того, четыре треугольника второго полушария квинкунциальной проекции Пирса можно переставить в другой квадрат, который будет помещен рядом с квадратом, соответствующим первому полушарию, в результате чего получится прямоугольник с соотношением сторон 2:1; такое расположение эквивалентно поперечному аспекту проекции полушария Гую в квадрате .

Известные применения

Использование квинкунциальной проекции Пирса для представления сферической панорамы.

Как и многие другие прогнозы, основанные на комплексных числах, квинкунциал Пирса редко использовался в географических целях. Один из немногих зарегистрированных случаев произошел в 1946 году, когда Береговая и геодезическая служба США использовала карту мира с воздушными маршрутами. Недавно он использовался для представления сферических панорам как в практических, так и в эстетических целях, где он может отображать всю сферу с узнаваемыми большинством областей.

Связанные прогнозы

В поперечном аспекте одно полушарие становится проекцией полушария Адамса в квадрате (полюс располагается в углу квадрата). Его четыре сингулярности находятся на Северном полюсе, Южном полюсе, на экваторе на 25° з.д. и на экваторе на 155° в.д., в Северном Ледовитом, Атлантическом и Тихом океанах, а также в Антарктиде. Этот большой круг разделяет традиционные Западное и Восточное полушария.

В косом ракурсе (45 градусов) одно полушарие становится проекцией полушария в квадрате Гую (полюс располагается посередине края квадрата). Ее четыре сингулярности находятся на 45 градусах северной и южной широты на большом круге, состоящем из меридиана 20° з.д. и меридиана 160° в.д., в Атлантическом и Тихом океанах. Этот большой круг разделяет традиционные западное и восточное полушария.

См. также

• Список картографических проекций
• Конформный мир Ли в тетраэдре

Дальнейшее чтение

«Мир в квинкунциальной проекции» Пирса (1879) «Квинкунциальная проекция сферы». Американский журнал математики , 2 (4): 394–397.

• Пирс, CS (1877/1879), «Приложение № 15. Квинкунциальная проекция сферы», отчет суперинтенданта Береговой службы США, показывающий ход исследования за финансовый год, закончившийся в июне 1877 года , стр. 191. –194, за которыми следуют 25 эскизов прогресса, включая (25-й) иллюстрацию (саму карту). Полный отчет представлен Сенату 26 декабря 1877 г. и опубликован в 1880 г. (см. ниже).
  • Статья впервые опубликована в декабре 1879 года, American Journal of Mathematics 2 (4): 394–397 (без эскизов, кроме окончательной карты), Google Books Eprint (версия карты Google частично испорчена), JSTOR Eprint , doi : 10.2307/2369491 . AJM Версия перепечатана в «Сочинениях Чарльза С. Пирса» 4 :68–71.
  • Статья переиздана в 1880 году, включая публикацию всех эскизов в полном отчете , типографией правительства США, Вашингтон, округ Колумбия. NOAA PDF Eprint , ссылка ведет на статью Пирса на странице Report's . 191, стр. PDF. 215. В PDF-файле NOAA отсутствуют эскизы и карта, а также есть неработающая ссылка. NOAA в запланированное место в Интернете, в коллекцию исторических карт и диаграмм , где по состоянию на 19 июля 2010 г. их, судя по всему, не было. Google Books Электронная версия (Google испортил эскизы и частично испортил иллюстрацию (саму карту)) . Примечание. В другом издании Google отчета об обследовании побережья 1877 года полностью отсутствуют страницы эскизов, включая иллюстрацию (карту).

Внешние ссылки

• Интерактивный Java-апплет для изучения метрических деформаций проекции Пирса .
• Еще примеры квинкунциальных панорам Пирса
• Снайдер, Джон П. (1989). Альбом картографических проекций, Профессиональная статья 1453 (PDF) . Геологическая служба США. стр. 190, 236. Содержит историю, описание и формулировку, более подходящую для вычислений.