Проекция Кассини

Кассини, проекция мира

Проекция Кассини с индикаторами на 1000 км.

Проекция Кассини мира, смоделированная как сильно сплюснутый эллипсоид с уплощением 1:2 (= эксцентриситет √ 3 ⁄ 2 )

( Проекция Кассини также иногда известная как проекция Кассини-Сольднера или проекция Солднера) . ) — это картографическая проекция, впервые описанная в приближенной форме Сезаром-Франсуа Кассини де Тюри в 1745 году. Ее точные формулы были найдены в результате более позднего анализа Иоганном Георгом фон Зольднером примерно в 1810 году. Это поперечный аспект равнопрямоугольной проекции , при котором земной шар сначала поворачивается так, что центральный меридиан становится «экватором», а затем применяется нормальная равнопрямоугольная проекция. Рассматривая Землю как сферу, проекция состоит из операций:

$x=\arcsin(\cos \varphi \sin \lambda )\qquad y=\arctan \left({\frac {\tan \varphi }{\cos \lambda }}\right).$

где λ — долгота от центрального меридиана, а φ — широта. При программировании этих уравнений обратного тангенса используемая функция на самом деле является функцией atan2 с первым аргументом sin φ и вторым cos φ cos λ .

Обратная операция состоит из операций:

$\varphi =\arcsin(\sin y\cos x)\qquad \lambda =\operatorname {atan2} (\tan x,\cos y).$

На практике проекция всегда применялась к моделям Земли в виде эллипсоида , что значительно усложняет математические разработки, но пригодно для геодезических исследований. Тем не менее, использование проекции Кассини в значительной степени было заменено поперечной проекцией Меркатора , по крайней мере, в центральных картографических агентствах.

Искажения

Области вдоль центрального меридиана и под прямым углом к ​​нему не искажены. В других местах искажение в основном происходит в направлении с севера на юг и варьируется в зависимости от квадрата расстояния от центрального меридиана. Таким образом, чем больше продольная протяженность области, тем сильнее становится искажение.

В связи с этим проекция Кассини лучше всего работает для территорий с большей протяженностью с севера на юг, чем с востока на запад. Например, карты Артиллерийской службы Великобритании использовали проекцию Кассини с 1924 года до появления Национальной сети .

Эллиптическая форма

Кассини известен как сферическая проекция, но его можно обобщить как эллиптическую форму.

Учитывая, что Земля представляет собой эллипс, проекция состоит из следующих операций:

$N=(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{-1/2}$

$T=\tan ^{2}\varphi$

$A=\lambda \cos \varphi$

$C={\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\cos ^{2}\varphi$

$x=N\left(A-T{\frac {A^{3}}{6}}-(8-T+8C)T{\frac {A^{5}}{120}}\right)$

$y=M(\varphi )-M(\varphi _{0})+(N\tan \varphi )\left({\frac {A^{2}}{2}}+(5-T+6C){\frac {A^{4}}{24}}\right)$

M — функция меридионального расстояния .

Обратная операция состоит из операций:

$\varphi '=M^{-1}(M(\varphi _{0})+y)$

Если $\varphi '={\frac {\pi }{2}}$ затем $\varphi =\varphi '$ и $\lambda =0.$

В противном случае рассчитайте T и N, как указано выше, с помощью $\varphi '$, и

$R=(1-e^{2})(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi ')^{-3/2}$

$D=x/N$

$\varphi =\varphi '-{\frac {N\tan \varphi '}{R}}\left({\frac {D^{2}}{2}}-(1+3T){\frac {D^{4}}{24}}\right)$

$\lambda ={\frac {D-T{\frac {D^{3}}{3}}+(1+3T)T{\frac {D^{5}}{15}}}{\cos \varphi '}}$

См. также

• Кассини Сетка

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с проекцией Кассини, на Викискладе?
• Таблица примеров и свойств всех распространенных проекций с сайта радикалакартографии.нет.
• Геофакты разведки боеприпасов о проекции Кассини
• Кассини в proj4