Проекция Моллвейде

Проекция Моллвейде — это равновеликая обычно псевдоцилиндрическая картографическая проекция, используемая для карт мира или небесной сферы . Она также известна как проекция Бабине , гомолографическая проекция , гомолографическая проекция и эллиптическая проекция . Проекция меняет точность угла и формы на точность пропорций площади и поэтому используется там, где это свойство необходимо, например, на картах, изображающих глобальное распределение.

Проекция была впервые опубликована математиком и астрономом Карлом (или Карлом) Бранданом Моллвейде (1774–1825) из Лейпцига в 1805 году. Она была заново изобретена и популяризирована в 1857 году Жаком Бабине , который дал ей название гомалографическая проекция . Вариант гомолографический возник в результате частого использования в звездных атласах девятнадцатого века. ^[1]

Характеристики

Моллвейде — это псевдоцилиндрическая проекция, в которой экватор представлен в виде прямой горизонтальной линии, перпендикулярной центральному меридиану , составляющему половину длины экватора. Остальные параллели сжимаются вблизи полюсов, а остальные меридианы расположены на равном расстоянии от экватора. Меридианы по 90 градусов востока и запада образуют идеальный круг, а вся Земля изображена в пропорциональном эллипсе 2:1. Пропорция площади эллипса между любой данной параллелью и экватором такая же, как доля площади на земном шаре между этой параллелью и экватором, но за счет искажения формы, которое существенно по периметру эллипса. эллиптическая, хотя и не такая выраженная, как в синусоидальной проекции .

Искажение формы можно уменьшить, используя прерывистую версию. Синусоидальная прерывистая проекция Моллвейде отбрасывает центральный меридиан в пользу чередующихся полумеридианов, которые заканчиваются под прямым углом к экватору. Это приводит к разделению земного шара на доли. Напротив, параллельная прерывистая проекция Моллвейде использует несколько непересекающихся центральных меридианов, создавая эффект нескольких эллипсов, соединенных на экваторе. Реже проекцию можно нарисовать наклонно, чтобы сместить области искажения в сторону океанов, позволяя континентам сохранять более правильную форму.

Моллвейде или его свойства вдохновили на создание нескольких других проекций, включая гомолозин Гуда , ван дер Гринтена и эуморфную Боггса . ^[4]

Математическая формулировка

Проекция преобразуется из широты и долготы в координаты карты x и y с помощью следующих уравнений: ^[5]

{\begin{aligned}x&=R{\frac {2{\sqrt {2}}}{\pi }}\left(\lambda -\lambda _{0}\right)\cos \theta ,\\[5px]y&=R{\sqrt {2}}\sin \theta ,\end{aligned}}

где θ - вспомогательный угол, определяемый формулой

2\theta +\sin 2\theta =\pi \sin \varphi \qquad (1)

λ λ — долгота, 0 _— центральный меридиан, φ — широта, а R — радиус проецируемого земного шара. Карта имеет площадь 4 $π$ R ², что соответствует площади поверхности генерирующего шара. Координата x имеет диапазон [−2 R √ 2 , 2 R √ 2 ], а координата y имеет диапазон [− R √ 2 , R √ 2 ].

Уравнение (1) можно решить с помощью быстрой сходимости (но медленной вблизи полюсов), используя Ньютона – Рафсона : итерацию ^[5]

{\begin{aligned}\theta _{0}&=\varphi ,\\\theta _{n+1}&=\theta _{n}-{\frac {2\theta _{n}+\sin 2\theta _{n}-\pi \sin \varphi }{2+2\cos 2\theta _{n}}}.\end{aligned}}

^{[примечание 1]}

Если φ = ± ⁠ $π$ / 2 ⁠ , тогда также θ = ± ⁠ $π$ / 2 ⁠ . В этом случае итерацию следует пропустить; в противном случае деление на ноль может произойти .

Существует обратное преобразование в замкнутой форме : ^[5]

{\begin{aligned}\varphi &=\arcsin {\frac {2\theta +\sin 2\theta }{\pi }},\\[5px]\lambda &=\lambda _{0}+{\frac {\pi x}{2R{\sqrt {2}}\cos \theta }},\end{aligned}}

где θ можно найти по соотношению

\theta =\arcsin {\frac {y}{R{\sqrt {2}}}}.\,

Обратные преобразования позволяют найти широту и долготу, соответствующие координатам карты x и y .

Изменения

Аллен К. Филбрик (1953) Непрерывная проекция Сину-Молвейде с индикатрисами Тиссо

См. также

Примечания

^ Формула в тексте помогает читателю убедиться в правильности формулы. Для численного расчета следует изменить знаменатель, начиная с тождества двойного угла.
${\begin{aligned}\cos 2\theta _{n}&=2\cos ^{2}\theta _{n}-1,\\1+\cos 2\theta _{n}&=2\cos ^{2}\theta _{n},\\2+2\cos 2\theta _{n}&=4\cos ^{2}\theta _{n},\\\theta _{n+1}&=\theta _{n}-{\frac {2\theta _{n}+\sin 2\theta _{n}-\pi \sin \varphi }{4\cos ^{2}\theta _{n}}}.\end{aligned}}$
При численных вычислениях исходный знаменатель может приводить к нулю при θ, близком к ± ⁠ $π$ / 2 ⁠ (катастрофическая отмена). Эта замена верна для всех углов и позволяет избежать проблемы вблизи θ = ± ⁠ $π$ / 2 ⁠, не делая его особым случаем.

Ссылки

^ Сплющивание Земли: две тысячи лет картографических проекций , Джон П. Снайдер, 1993, стр. 112–113, ISBN 0-226-76747-7 .
^ Гэннон, Меган (21 декабря 2012 г.). «Раскрыта новая «детская картинка» Вселенной» . Space.com . Проверено 21 декабря 2012 г.
^ Беннетт, CL; Ларсон, Л.; Вейланд, Дж.Л.; Яроск, Н.; Хиншоу, Н.; Одегард, Н.; Смит, К.М.; Хилл, РС; Голд, Б.; Халперн, М.; Комацу, Э.; Нолта, MR; Пейдж, Л.; Спергель, Д.Н.; Воллак, Э.; Данкли, Дж.; Когут, А.; Лимон, М.; Мейер, СС; Такер, Г.С.; Райт, Эл. (2013). «Девятилетние наблюдения микроволнового зонда анизотропии Уилкинсона (WMAP): окончательные карты и результаты». Серия дополнений к астрофизическому журналу . 208 (2): 20. arXiv : 1212.5225 . Бибкод : 2013ApJS..208...20B . дои : 10.1088/0067-0049/208/2/20 . S2CID 119271232 .
^ Картографические проекции - Рабочее руководство , Профессиональный документ Геологической службы США 1395, Джон П. Снайдер, 1987, стр. 249–252.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик В. «Проекция Моллвейде» . Математический мир .

Внешние ссылки

[6] Формула в тексте помогает читателю убедиться в правильности формулы. Для численного расчета следует изменить знаменатель, начиная с тождества двойного угла.
${\begin{aligned}\cos 2\theta _{n}&=2\cos ^{2}\theta _{n}-1,\\1+\cos 2\theta _{n}&=2\cos ^{2}\theta _{n},\\2+2\cos 2\theta _{n}&=4\cos ^{2}\theta _{n},\\\theta _{n+1}&=\theta _{n}-{\frac {2\theta _{n}+\sin 2\theta _{n}-\pi \sin \varphi }{4\cos ^{2}\theta _{n}}}.\end{aligned}}$
При численных вычислениях исходный знаменатель может приводить к нулю при θ, близком к ± ⁠ $π$ / 2 ⁠ (катастрофическая отмена). Эта замена верна для всех углов и позволяет избежать проблемы вблизи θ = ± ⁠ $π$ / 2 ⁠, не делая его особым случаем.

[1] Сплющивание Земли: две тысячи лет картографических проекций , Джон П. Снайдер, 1993, стр. 112–113, ISBN 0-226-76747-7 .

[Space-20121221-2] Гэннон, Меган (21 декабря 2012 г.). «Раскрыта новая «детская картинка» Вселенной» . Space.com . Проверено 21 декабря 2012 г.

[arXiv-20121220-3] Беннетт, CL; Ларсон, Л.; Вейланд, Дж.Л.; Яроск, Н.; Хиншоу, Н.; Одегард, Н.; Смит, К.М.; Хилл, РС; Голд, Б.; Халперн, М.; Комацу, Э.; Нолта, MR; Пейдж, Л.; Спергель, Д.Н.; Воллак, Э.; Данкли, Дж.; Когут, А.; Лимон, М.; Мейер, СС; Такер, Г.С.; Райт, Эл. (2013). «Девятилетние наблюдения микроволнового зонда анизотропии Уилкинсона (WMAP): окончательные карты и результаты». Серия дополнений к астрофизическому журналу . 208 (2): 20. arXiv : 1212.5225 . Бибкод : 2013ApJS..208...20B . дои : 10.1088/0067-0049/208/2/20 . S2CID 119271232 .

[4] Картографические проекции - Рабочее руководство , Профессиональный документ Геологической службы США 1395, Джон П. Снайдер, 1987, стр. 249–252.

[MathWorldMollweide-5] Jump up to: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик В. «Проекция Моллвейде» . Математический мир .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[примечание 1]