Деление на ноль

В математике деление на ноль , при котором делитель (знаменатель) равен нулю , является уникальным и проблематичным частным случаем. Используя обозначение дроби , общий пример можно записать как ${\tfrac {a}{0}}$ , где $a$ – делимое (числитель).

Обычное определение частного в элементарной арифметике — это число, которое дает делимое при умножении на делитель. То есть, $c={\tfrac {a}{b}}$ эквивалентно $c\cdot b=a.$ По этому определению частное $q={\tfrac {a}{0}}$ бессмысленно, так как продукт $q\cdot 0$ всегда $0$ а не какое-то другое число $a.$ Следование обычным правилам элементарной алгебры , допуская деление на ноль, может привести к математической ошибке , тонкой ошибке, приводящей к абсурдным результатам. Чтобы предотвратить это, арифметика действительных чисел и более общие числовые структуры, называемые полями, оставляют деление на ноль неопределенным , и к ситуациям, когда может произойти деление на ноль, следует относиться с осторожностью. Поскольку любое число, умноженное на ноль, равно нулю, выражение ${\tfrac {0}{0}}$ также не определен.

Исчисление изучает поведение функций в пределе , когда их входные данные стремятся к некоторому значению. Когда действительную функцию можно выразить как дробь, знаменатель которой стремится к нулю, результат функции становится сколь угодно большим и, как говорят, « стремится к бесконечности », что является разновидностью математической сингулярности . Например, обратная функция , $f(x)={\tfrac {1}{x}},$ стремится к бесконечности, так как $x$ как правило $0.$ Когда и числитель, и знаменатель стремятся к нулю при одном и том же входе, говорят, что выражение принимает неопределенную форму , поскольку результирующий предел зависит от конкретных функций, образующих дробь, и не может быть определен из их отдельных пределов.

В качестве альтернативы общепринятому соглашению о работе с такими полями, как действительные числа, и оставлению деления на ноль неопределенным, можно определить результат деления на ноль другими способами, что приведет к созданию других систем счисления. Например, частное ${\tfrac {a}{0}}$ может быть определен равным нулю; его можно определить как новую явную точку на бесконечности , иногда обозначаемую символом бесконечности. $\infty$ ; или его можно определить как бесконечность со знаком, с положительным или отрицательным знаком в зависимости от знака делимого. В этих системах счисления деление на ноль само по себе больше не является особым исключением, но точка или точки, находящиеся на бесконечности, предполагают свои собственные новые типы исключительного поведения.

При вычислениях ошибка может возникнуть в результате попытки деления на ноль. В зависимости от контекста и типа используемого числа деление на ноль может дать положительную или отрицательную бесконечность или специальное не являющееся числом . значение, ^[1] генерировать исключение , отображать сообщение об ошибке , а также вызывать сбой или зависание программы.

Элементарная арифметика [ править ]

Смысл деления [ править ]

Дивизион $N/D=Q$ концептуально можно интерпретировать по-разному. ^[2]

При кавычном делении делимое $N$ предполагается, что он разделен на части по размеру $D$ (делитель) и частное $Q$ - количество получившихся частей. Например, представьте, что из десяти ломтиков хлеба нужно сделать бутерброды, на каждый из которых требуется два ломтика хлеба. Всего можно приготовить пять бутербродов ( ${\tfrac {10}{2}}=5$ ). Теперь представьте, что на один бутерброд требуется ноль ломтиков хлеба (например, обертка из салата ). Из десяти ломтиков хлеба можно сделать сколь угодно много таких бутербродов, причем хлеб не имеет значения. ^[3]

Кавычное понятие деления поддается расчетам путем многократного вычитания : деление предполагает подсчет того, сколько раз можно вычесть делитель, прежде чем закончится делимое. Поскольку никакое конечное число вычитаний нуля никогда не приведет к исчерпанию ненулевого делимого, вычисление деления на ноль таким способом никогда не прекращается . ^[4] деления на ноль Такой бесконечный алгоритм физически реализован в некоторых механических калькуляторах . ^[5]

При партитивном делении делимое $N$ предполагается разделить на $D$ части, а частное $Q$ — результирующий размер каждой части. Например, представьте, что десять печенек нужно разделить между двумя друзьями. Каждый друг получит пять печенек ( ${\tfrac {10}{2}}=5$ ). Теперь представьте, что десять печенек нужно разделить между нулем друзей. Сколько файлов cookie получит каждый друг? Поскольку друзей нет, это абсурд. ^[6]

В другой интерпретации частное $Q$ представляет собой соотношение $N:D.$ ^[7] Например, рецепт торта может потребовать десяти стаканов муки и двух стаканов сахара — соотношение $10:2$ или, пропорционально, $5:1.$ Чтобы масштабировать этот рецепт на большее или меньшее количество тортов, соотношение муки и сахара пропорционально $5:1$ можно сохранить, например, один стакан муки и одну пятую стакана сахара или пятьдесят стаканов муки и десять стаканов сахара. ^[8]А теперь представьте, что рецепт торта без сахара требует десяти чашек муки и ноля чашек сахара. Соотношение $10:0,$ или пропорционально $1:0,$ совершенно разумно: ^[9]это просто означает, что в торте нет сахара. Однако вопрос «Сколько частей муки на каждую часть сахара?» до сих пор не имеет значимого числового ответа.

Геометрическим проявлением интерпретации деления как отношения является наклон прямой линии в декартовой плоскости . ^[10]Наклон определяется как «подъем» (изменение вертикальной координаты), разделенный на «пробег» (изменение горизонтальной координаты) вдоль линии. Когда это записано с использованием обозначения симметричного отношения, горизонтальная линия имеет наклон. $0:1$ а вертикальная линия имеет наклон $1:0.$ Однако если наклон принять за одно действительное число , то горизонтальная линия будет иметь наклон ${\tfrac {0}{1}}=0$ в то время как вертикальная линия имеет неопределенный наклон, поскольку в арифметике действительных чисел частное ${\tfrac {1}{0}}$ является неопределенным. ^[11] Реальный уклон ${\tfrac {y}{x}}$ линии, проходящей через начало координат, — это вертикальная координата пересечения линии и вертикальной линии в горизонтальной координате. $1,$ на рисунке пунктирный черный. Вертикальная красная и пунктирная чёрная линии параллельны , поэтому не имеют пересечения на плоскости. Иногда говорят, что они пересекаются в бесконечной точке , и отношение $1:0$ представлен новым номером $\infty$ ; ^[12]см. § Проективно расширенная действительная линия ниже. Иногда говорят, что вертикальные линии имеют «бесконечно крутой» наклон.

Обратное умножение [ править ]

Деление является обратным умножению , что означает, что умножение и последующее деление на ту же ненулевую величину или наоборот оставляет исходное количество неизменным; например $(5\times 3)/3={}$ $(5/3)\times 3=5$ . ^[13] Таким образом, такая задача деления, как ${\tfrac {6}{3}}={?}$ можно решить, переписав его как эквивалентное уравнение, включающее умножение, ${?}\times 3=6,$ где ${?}$ представляет ту же неизвестную величину, а затем находит значение, для которого утверждение верно; в этом случае неизвестная величина равна $2,$ потому что $2\times 3=6,$ И потому ${\tfrac {6}{3}}=2.$ ^[14]

Аналогичная задача, связанная с делением на ноль: ${\tfrac {6}{0}}={?},$ требует определения неизвестной величины, удовлетворяющей ${?}\times 0=6.$ Однако любое число, умноженное на ноль, равно нулю, а не шести, поэтому не существует числа, которое могло бы заменить ${?}$ сделать истинное заявление. ^[15]

Когда проблема изменится на ${\tfrac {0}{0}}={?},$ эквивалентный мультипликативный оператор ${?}\times 0=0$ ; в этом случае . неизвестную величину можно заменить любым значением, чтобы получить истинное утверждение, поэтому не существует единого числа, которое можно было бы присвоить в качестве частного ${\tfrac {0}{0}}.$

Из-за этих сложностей частные, у которых делитель равен нулю, традиционно считаются неопределёнными , а деление на ноль не допускается. ^[16]^[17]

Заблуждения [ править ]

Весомая причина запрета деления на ноль заключается в том, что его разрешение приводит к ошибкам .

При работе с числами легко выявить неправильное деление на ноль. Например:

От

0\times 1=0

и

0\times 2=0

каждый получает

0\times 1=0\times 2.

Отмена

0

с обеих сторон дает

1=2

, ложное утверждение.

Заблуждение здесь возникает из-за предположения, что сокращение $0$ законно , как и любое другое число, тогда как на самом деле это является формой деления на $0$ .

С помощью алгебры можно замаскировать деление на ноль. ^[18]получить недействительное доказательство . Например: ^[19]

Пусть

х = 1

. Умножьте обе части на

х

, чтобы получить

x=x^{2}

. Вычтите

по 1

с каждой стороны, чтобы получить

x-1=x^{2}-1.

Правая часть может быть учтена,

x-1=(x+1)(x-1).

Разделив обе части на

x - 1

, получим

1=x+1.

Замена

x = 1

дает

1=2.

По сути, это такое же ошибочное вычисление, как и предыдущая численная версия, но деление на ноль было запутанным, поскольку мы записали $0$ как $x - 1$ .

попытки Ранние

Брахмагупты «Брахмасфутасиддханта» ок ( рассматривается . 598–668) является самым ранним текстом, в котором ноль как самостоятельное число и определяются операции с нулем. ^[18] По словам Брахмагупты,

Положительное или отрицательное число, разделенное на ноль, представляет собой дробь, знаменателем которой является нуль. Ноль, разделенный на отрицательное или положительное число, либо равен нулю, либо выражается дробью с нулем в числителе и конечной величиной в знаменателе. Ноль, разделенный на ноль, равен нулю.

В 830 году Махавира безуспешно пытался исправить ошибку, допущенную Брахмагуптой в своей книге «Ганита Сара Самграха» : «Число остаётся неизменным при делении на ноль». ^[18]

Бхаскары II ( Лилавати 12 век) предположил, что деление на ноль дает бесконечное количество: ^[20]

Величина, разделенная на ноль, становится дробью, знаменатель которой равен нулю. Эту дробь называют бесконечной величиной. В этой величине, состоящей из того, делитель которого равен нулю, изменений нет, хотя многие из них можно вставить или извлечь; как не происходит никакого изменения в бесконечном и неизменном Боге, когда миры создаются или разрушаются, хотя многочисленные группы существ поглощаются или появляются.

Исторически сложилось так, что одна из самых ранних зафиксированных ссылок на математическую невозможность присвоить значение ${\textstyle {\tfrac {a}{0}}}$ содержится в англо-ирландским философом Джорджем Беркли критике исчисления бесконечно малых в 1734 году в «Аналитике» («призраки ушедших величин»). ^[21]

Исчисление [ править ]

Исчисление изучает поведение функций, используя концепцию предела — значения, к которому стремятся выходные данные функции, когда ее входные данные стремятся к некоторому определенному значению. Обозначения ${\textstyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$ означает, что значение функции $f$ можно сделать сколь угодно близким к $L$ выбрав $x$ достаточно близко к $c.$

В случае, когда предел действительной функции $f$ неограниченно возрастает, так как $x$ как правило $c,$ функция не определена в $x,$ разновидность математической сингулярности . Вместо этого говорят, что функция « стремится к бесконечности », что обозначается ${\textstyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,}$ и его график имеет линию $x=c$ как вертикальная асимптота . Хотя такая функция формально не определена для $x=c,$ и символ бесконечности $\infty$ в данном случае не представляет собой какое-либо конкретное действительное число , неофициально говорят, что такие пределы «равны бесконечности». Если значение функции неограниченно уменьшается, говорят, что функция «стремится к отрицательной бесконечности». $-\infty .$ В некоторых случаях функция стремится к двум разным значениям, когда $x$ как правило $c$ сверху ( $x\to c^{+}$ ) и ниже ( $x\to c^{-}$ ) ; такая функция имеет два различных односторонних предела . ^[22]

Основным примером бесконечной особенности является обратная функция , $f(x)=1/x,$ который стремится к положительной или отрицательной бесконечности, как $x$ как правило $0$ :

\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=+\infty ,\qquad \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty .

В большинстве случаев предел частного функции равен частному пределов каждой функции в отдельности,

\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)}}.

Однако, когда функция строится путем деления двух функций, отдельные пределы которых равны $0,$ тогда предел результата не может быть определен из отдельных пределов, поэтому говорят, что он принимает неопределенную форму , неофициально записанную ${\tfrac {0}{0}}.$ (Еще одна неопределенная форма, ${\tfrac {\infty }{\infty }},$ результат деления двух функций, оба предела которых стремятся к бесконечности.) Такой предел может равняться любому действительному значению, может стремиться к бесконечности или может вообще не сходиться, в зависимости от конкретных функций. Например, в

\lim _{x\to 1}{\dfrac {x^{2}-1}{x-1}},

отдельные пределы числителя и знаменателя равны $0$ , поэтому мы имеем неопределенную форму ${\tfrac {0}{0}}$ , но упрощение частного сначала показывает, что предел существует:

\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(x+1)}{x-1}}=\lim _{x\to 1}(x+1)=2.

Альтернативные системы счисления [ править ]

Расширенная реальная линия [ править ]

Аффинно расширенные действительные числа получаются из действительных чисел $\mathbb {R}$ добавив два новых числа $+\infty$ и $-\infty ,$ читается как «положительная бесконечность» и «отрицательная бесконечность» соответственно и представляет точки, находящиеся на бесконечности . С добавлением $\pm \infty ,$ концепцию «предела на бесконечности» можно заставить работать как конечный предел. При работе как с положительными, так и с отрицательными расширенными действительными числами выражение $1/0$ обычно остается неопределенным. Однако в контекстах, где рассматриваются только неотрицательные значения, часто бывает удобно определить $1/0=+\infty$ .

Проективно расширенная действительная линия [ править ]

Набор $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ — проективно расширенная вещественная прямая , которая является одноточечной компактификацией вещественной прямой. Здесь $\infty$ означает беззнаковую бесконечность или точку в бесконечности , бесконечную величину, которая не является ни положительной, ни отрицательной. Это количество удовлетворяет $-\infty =\infty$ , что необходимо в данном контексте. В этой структуре ${\frac {a}{0}}=\infty$ может быть определено для ненулевого $a$ и ${\frac {a}{\infty }}=0$ когда $а$ нет $\infty$ . Это естественный способ просмотреть диапазон функций тангенса и котангенса тригонометрии : $tan(x)$ приближается к единственной точке на бесконечности, когда $x$ приближается либо $к + π / 2$ или $- π / 2$ с любого направления.

Это определение приводит ко многим интересным результатам. Однако результирующая алгебраическая структура не является полем , и не следует ожидать, что она будет вести себя как поле. Например, $\infty +\infty$ не определено в этом расширении реальной линии.

Сфера Римана [ править ]

Предмет комплексного анализа применяет понятия исчисления в комплексных числах . Большое значение в этом предмете имеют расширенные комплексные числа. $\mathbb {C} \cup \{\infty \},$ набор комплексных чисел с добавленным одним дополнительным числом, обычно обозначаемым символом бесконечности $\infty$ и представляет точку на бесконечности , которая определяется как содержащаяся в каждой внешней области , делая их своими топологическими окрестностями .

Интуитивно это можно рассматривать как обертывание бесконечных ребер комплексной плоскости и скрепление их вместе в одной точке. $\infty ,$ одноточечная компактификация , делающая расширенные комплексные числа топологически эквивалентными сфере . Эта эквивалентность может быть расширена до метрической эквивалентности путем сопоставления каждого комплексного числа с точкой на сфере с помощью обратной стереографической проекции , при этом полученное сферическое расстояние применяется как новое определение расстояния между комплексными числами; и вообще геометрию сферы можно изучать с помощью комплексной арифметики, и, наоборот, сложную арифметику можно интерпретировать в терминах сферической геометрии. Как следствие, множество расширенных комплексных чисел часто называют сферой Римана . Набор обычно обозначается символом комплексных чисел, украшенным звездочкой, надчеркиванием, тильдой или циркумфлексом, например ${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}.$

В расширенных комплексных числах для любого ненулевого комплексного числа $z,$ обычная комплексная арифметика расширяется дополнительными правилами ${\tfrac {z}{0}}=\infty ,$ ${\tfrac {z}{\infty }}=0,$ $\infty +0=\infty ,$ $\infty +z=\infty ,$ $\infty \cdot z=\infty .$ Однако, ${\tfrac {0}{0}}$ , ${\tfrac {\infty }{\infty }}$ , и $0\cdot \infty$ остаются неопределенными.

Высшая математика [ править ]

Четыре основные операции – сложение, вычитание, умножение и деление – применительно к целым числам (положительным целым числам), с некоторыми ограничениями, в элементарной арифметике используются в качестве основы для поддержки расширения области чисел, к которой они применяются. Например, чтобы сделать возможным вычитание любого целого числа из другого, область чисел должна быть расширена до всего набора целых чисел , чтобы включить в него отрицательные целые числа. Аналогично, чтобы поддерживать деление любого целого числа на любое другое, область чисел должна расшириться до рациональных чисел . Во время этого постепенного расширения системы счисления уделяется внимание тому, чтобы «расширенные операции», примененные к старым числам, не давали разных результатов. Грубо говоря, поскольку деление на ноль не имеет смысла (не определено ) в настройке целого числа, это остается верным, когда настройка расширяется до действительных или даже комплексных чисел . ^[23]

По мере расширения области чисел, к которым могут применяться эти операции, происходят изменения и в том, как эти операции рассматриваются. Например, в области целых чисел вычитание больше не считается основной операцией, поскольку его можно заменить сложением чисел со знаком. ^[24]Точно так же, когда царство чисел расширяется и включает в себя рациональные числа, деление заменяется умножением на определенные рациональные числа. В соответствии с этим изменением точки зрения вопрос «Почему мы не можем делить на ноль?» превращается в «Почему рациональное число не может иметь нулевой знаменатель?». Чтобы точно ответить на этот пересмотренный вопрос, необходимо внимательно изучить определение рациональных чисел.

В современном подходе к построению области действительных чисел рациональные числа выступают как промежуточный этап развития, основанного на теории множеств. Сначала натуральные числа (включая ноль) устанавливаются на аксиоматической основе, такой как система аксиом Пеано , а затем она расширяется до кольца целых чисел . Следующий шаг — определить рациональные числа, помня, что это необходимо делать, используя только те множества и операции, которые уже установлены, а именно сложение, умножение и целые числа. Начиная с набора упорядоченных пар целых чисел ${(a, b)}$ с $b \neq 0$ , определите бинарное отношение на этом наборе по формуле $(a, b) ≃ (c, d)$ тогда и только тогда, когда $ad = bc$ . Показано, что это отношение является отношением эквивалентности , а его классы эквивалентности затем определяются как рациональные числа. Именно в формальном доказательстве того, что это отношение является отношением эквивалентности, необходимо требование, чтобы вторая координата не была нулевой (для проверки транзитивности ). ^[25]^[26]^[27]

Хотя деление на ноль не может быть разумно определено с помощью действительных и целых чисел, его или подобные операции можно последовательно определить в других математических структурах.

Нестандартный анализ [ править ]

В гипердействительных числах деление на ноль по-прежнему невозможно, но деление на ненулевые бесконечно малые числа . возможно ^[28] То же самое справедливо и в отношении сюрреалистических чисел . ^[29]

Теория распределения [ править ]

В теории распределения можно расширить функцию ${\textstyle {\frac {1}{x}}}$ к распределению по всему пространству действительных чисел (фактически за счет использования главных значений Коши ). Однако не имеет смысла спрашивать о «значении» этого распределения при x = 0; Сложный ответ относится к единственной поддержке дистрибутива.

Линейная алгебра [ править ]

В матричной алгебре квадратными или прямоугольными блоками чисел манипулируют так, как если бы они сами были числами: матрицы можно складывать и умножать , а в некоторых случаях существует также вариант деления. Деление на матрицу означает, точнее, умножение на обратную матрицу . Не все матрицы имеют обратные. ^[30] Например, матрица, содержащая только нули, не является обратимой.

Можно определить псевдоделение, установив a / b = ab ⁺, в котором б ⁺представляет псевдоинверсию b . собой Можно доказать, что если б ⁻¹ существует, то b ⁺ = б ⁻¹. Если b равно 0, то b ⁺ = 0.

Абстрактная алгебра [ править ]

В абстрактной алгебре целые, рациональные, действительные и комплексные числа можно абстрагировать до более общих алгебраических структур, таких как коммутативное кольцо , которое представляет собой математическую структуру, в которой сложение, вычитание и умножение ведут себя так же, как и они. в более привычных системах счисления, но деление может быть не определено. Присоединение мультипликативного, обратного к коммутативному кольцу, называется локализацией . Однако локализацией всякого коммутативного кольца в нуле является тривиальное кольцо , где $0=1$ , поэтому нетривиальные коммутативные кольца не имеют обратных в нуле, и, таким образом, деление на ноль не определено для нетривиальных коммутативных колец.

Тем не менее любую систему счисления, образующую коммутативное кольцо , можно расширить до структуры, называемой колесом , в которой всегда возможно деление на ноль. ^[31]Однако полученная математическая структура больше не является коммутативным кольцом, поскольку умножение больше не распределяется над сложением. Более того, в колесе деление элемента на самого себя больше не приводит к образованию мультипликативного единичного элемента. $1$ и если исходная система была областью целостности , умножение в колесе больше не приводит к сокращающейся полугруппе .

Понятия, применяемые к стандартной арифметике, аналогичны концепциям в более общих алгебраических структурах, таких как кольца и поля . В поле каждый ненулевой элемент обратим при умножении; как указано выше, деление создает проблемы только при попытке деления на ноль. Это справедливо и для тела (которое по этой причине называется телом ). Однако в других кольцах деление на ненулевые элементы также может создавать проблемы. Например, кольцо Z /6 Z целых чисел по модулю 6. Смысл выражения ${\textstyle {\frac {2}{2}}}$ должно быть решением x уравнения $2x=2$ . Но в кольце Z /6 Z 2 — делитель нуля . Это уравнение имеет два различных решения: $x = 1$ и $x = 4$ , поэтому выражение ${\textstyle {\frac {2}{2}}}$ является неопределенным .

В теории поля выражение ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$ является лишь сокращением формального выражения ab ⁻¹, где б ⁻¹является мультипликативным обратным значением b . Поскольку аксиомы поля гарантируют существование таких обратных значений только для ненулевых элементов, это выражение не имеет смысла, когда b равно нулю. Современные тексты, определяющие поля как особый тип колец, включают аксиому $0 \neq 1$ для полей (или ее эквивалент), так что нулевое кольцо исключается из поля. В кольце нулей возможно деление на ноль, что показывает, что других аксиом поля недостаточно, чтобы исключить деление на ноль в поле.

Компьютерная арифметика [ править ]

Арифметика с плавающей запятой [ править ]

В вычислительной технике большинство числовых вычислений выполняется с использованием арифметики с плавающей запятой , которая с 1980-х годов стандартизирована спецификацией IEEE 754 . В арифметике с плавающей запятой IEEE числа представляются с использованием знака (положительного или отрицательного), мантиссы фиксированной точности и целочисленного показателя степени . Числа, показатель степени которых слишком велик, чтобы вместо этого представлять «переполнение» до положительной или отрицательной бесконечности (+∞ или -∞), в то время как числа, показатель степени которых слишком мал, чтобы вместо этого представлять « переполнение » до положительного или отрицательного нуля (+0 или -0) . Значение NaN ( не число) представляет неопределенные результаты.

В арифметике IEEE деление 0/0 или ∞/∞ приводит к NaN, но в противном случае деление всегда дает четко определенный результат. Деление любого ненулевого числа на положительный ноль (+0) приводит к бесконечности того же знака, что и делимое. Деление любого ненулевого числа на отрицательный ноль (-0) приводит к получению бесконечности противоположного знака в качестве делимого. Это определение сохраняет знак результата в случае арифметического опустошения . ^[32]

Например, используя арифметику IEEE одинарной точности, если x = −2 ⁻¹⁴⁹, то x /2 опускается до −0, и деление 1 на этот результат дает 1/( x /2) = −∞. Точный результат −2 ¹⁵⁰ слишком велико для представления в виде числа одинарной точности, поэтому вместо этого для обозначения переполнения используется бесконечность того же знака.

Целочисленная арифметика [ править ]

Целочисленное деление на ноль обычно обрабатывается иначе, чем деление с плавающей запятой, поскольку для результата нет целочисленного представления. Процессоры различаются по поведению: например, процессоры x86 вызывают аппаратное исключение , а процессоры PowerPC молча генерируют неверный результат деления и продолжают работу. Из-за этого несоответствия между платформами C и C++ языки программирования считают результат деления на ноль неопределённым . ^[33] В типичных языках программирования более высокого уровня , таких как Python , ^[34] при попытке деления на ноль возникает исключение , которое можно обработать в другой части программы.

Помощники в корректуре [ править ]

Многие помощники по доказательству , такие как Coq и Lean , определяют 1/0 = 0. Это связано с требованием, чтобы все функции были полными . Такое определение не создает противоречий, поскольку дальнейшие манипуляции (например, вычитание ) по-прежнему требуют, чтобы делитель был ненулевым. ^[35]^[36]

Исторические происшествия [ править ]

21 сентября 1997 года ошибка деления на ноль в «Удаленном диспетчере базы данных» на борту авианосца « Йорктаун » (CG-48) привела к отключению всех машин в сети, что привело к отказу двигательной установки корабля. ^[37]^[38]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ «Документация Perl BigInt» , Perl::doc , Perl 5 Porters, заархивировано из оригинала 26 сентября 2019 г. , получено 1 марта 2020 г.
^ Ченг 2023 , стр. 75–83.
^ Зазкис и Лильедал 2009 , стр. 52–53.
^ Зазкис и Лильедал 2009 , стр. 55–56.
^ Кохенбургер, Ральф Дж.; Турсио, Кэролайн Дж. (1974), Компьютеры в современном обществе , Санта-Барбара: Гамильтон, Некоторые другие операции, включая деление, также можно выполнить с помощью настольного калькулятора (но не пытайтесь делить на ноль; калькулятор никогда не остановится). пытаюсь разделить, пока не остановлюсь вручную).
Видео-демонстрацию см.: Что произойдет, если разделить на ноль на механическом калькуляторе? , 7 марта 2021 г. , получено 6 января 2024 г. - через YouTube.
^ Zazkis & Liljedahl 2009 , стр. 53–54, приведите пример наследников короля, разделивших поровну свое наследство из 12 бриллиантов, и задайте вопрос, что произойдет в случае, если все наследники умрут до того, как воля короля сможет быть исполнена.
^ В Китае, Тайване и Японии в школьных учебниках обычно различают соотношение $N:D$ и значение коэффициента ${\tfrac {N}{D}}.$ Напротив, в учебниках США они обычно рассматриваются как два обозначения одного и того же понятия.
Ло, Джейн-Джейн; Ватанабэ, Тэд; Цай, Джинфа (2004), «Развитие концепций соотношений: азиатская перспектива», Преподавание математики в средней школе , 9 (7): 362–367, doi : 10.5951/MTMS.9.7.0362 , JSTOR 41181943
^ Ченгиз, Несрин; Ратуз, Маргарет (2018), «Осмысление эквивалентных соотношений», Преподавание математики в средней школе , 24 (3): 148–155, doi : 10.5951/mathteacmiddscho.24.3.0148 , JSTOR 10.5951/mathteacmiddscho.24.3.0148 , S2CID 188092067
^ Кларк, Мэтью Р.; Беренсон, Сара Б.; Кэви, Лори О. (2003), «Сравнение отношений и дробей и их роли как инструментов в пропорциональном рассуждении», The Journal of Mathematical Behavior , 22 (3): 297–317, doi : 10.1016/S0732-3123(03 )00023-3
^ Ченг, Иван (2010), «Дроби: новый взгляд на наклон», Преподавание математики в средней школе , 16 (1): 34–41, doi : 10.5951/MTMS.16.1.0034 , JSTOR 41183440
^ Кэви, Лори О.; Махавьер, В. Тед (2010), «Видеть потенциал в вопросах учеников», Учитель математики , 104 (2): 133–137, doi : 10.5951/MT.104.2.0133 , JSTOR 20876802
^ Вегман, Эдвард Дж.; Саид, Ясмин Х. (2010), «Естественные однородные координаты», Междисциплинарные обзоры Wiley: вычислительная статистика , 2 (6): 678–685, doi : 10.1002/wics.122 , S2CID 121947341
^ Робинсон, КМ; Лефевр, Дж. А. (2012), «Обратная связь между умножением и делением: концепции, процедуры и когнитивная структура», Educational Studies in Mathematics , 79 (3): 409–428, doi : 10.1007/s10649-011-9330- 5 , JSTOR 41413121
^ Ченг 2023 , стр. 78; Зазкис и Лильедал 2009 , стр. 55.
^ Зазкис и Лильедал 2009 , стр. 55.
^ Ченг 2023 , стр. 82–83.
^ Банч 1982 , с. 14
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Каплан, Роберт (1999), Ничто, что есть: Естественная история нуля , Нью-Йорк: Oxford University Press, стр. 68–75 , ISBN. 978-0-19-514237-2
^ Банч 1982 , с. 15
^ Рой, Рахул (январь 2003 г.), «Теорема Вавилонского Пифагора, ранняя история нуля и полемика по изучению истории науки» , Resonance , 8 (1): 30–40, doi : 10.1007/BF02834448
^ Каджори, Флориан (1929), «Абсурды из-за деления на ноль: историческая справка», Учитель математики , 22 (6): 366–368, doi : 10.5951/MT.22.6.0366 , JSTOR 27951153 .
^ Герман, Эдвин; Стрэнг, Гилберт ; и другие. (2023), «2.2 Предел функции» , Calculus , vol. 1, Хьюстон: OpenStax, с. 454, ISBN 978-1-947172-13-5 , OCLC 1022848630
^ Кляйн 1925 , с. 63
^ Кляйн 1925 , с. 26
^ Шумахер 1996 , с. 149
^ Гамильтон 1982 , с. 19
^ Хенкин и др. 2012 , с. 292
^ Кейслер, Х. Джером (2023) [1986], Элементарное исчисление: бесконечно малый подход , Приндл, Вебер и Шмидт, стр. 29–30.
^ Конвей, Джон Х. (2000) [1976], О числах и играх (2-е изд.), CRC Press, стр. 20, ISBN 9781568811277
^ Гбур, Грег (2011), Математические методы оптической физики и техники , Cambridge University Press, стр. 88–93, Bibcode : 2011mmop.book.....G , ISBN 978-0-521-51610-5
^ Карлстрем, Йеспер (2004), «Колеса: деление на ноль» , Математические структуры в информатике , 14 (1): 143–184, doi : 10.1017/S0960129503004110
^ Коди, WJ (март 1981 г.), «Анализ предложений по стандарту с плавающей запятой», Computer , 14 (3): 65, doi : 10.1109/CM.1981.220379 , S2CID 9923085 , С соответствующей осторожностью, чтобы быть уверенным, что алгебраические знаки не определяются ошибкой округления, аффинный режим сохраняет отношения порядка, исправляя переполнение. Так, например, величина, обратная отрицательному числу, которое теряет значение, по-прежнему остается отрицательным.
^ Ван, Си; Чен, Хаоган; Чунг, Элвин; Цзя, Чжихао; Зельдович, Николай; Каашук, М. Франс, «Неопределенное поведение: что случилось с моим кодом?», APSYS '12: Материалы Азиатско-Тихоокеанского семинара по системам , APSYS '12, Сеул, 23–24 июля 2012 г., Нью-Йорк: Ассоциация вычислительной техники Машинное оборудование, doi : 10.1145/2349896.2349905 , hdl : 1721.1/86949 , ISBN 978-1-4503-1669-9
^ «Встроенные исключения» , Справочник по библиотеке Python 3 , Python Software Foundation, § «Конкретные исключения – исключения ZeroDivisionError» , получено 22 января 2024 г.
^ Тантер, Эрик; Табаро, Николя (2015), «Постепенное сертифицированное программирование на coq», DLS 2015: Материалы 11-го симпозиума по динамическим языкам , Ассоциация вычислительной техники, arXiv : 1506.04205 , doi : 10.1145/2816707.2816710 , Стандартная функция деления натуральных чисел в Coq, div, является полным и чистым, но неверным: когда делитель равен 0, результат равен 0.
^ Баззард, Кевин (5 июля 2020 г.), «Деление на ноль в теории типов: часто задаваемые вопросы» , Xena Project (блог) , получено 21 января 2024 г.
^ «Потоплен Windows NT» , Wired News , 24 июля 1998 г.
^ Уильям Кахан (14 октября 2011 г.), Крайне необходимые средства для невозможности отладки больших вычислений с плавающей запятой в науке и технике (PDF)

Источники [ править ]

Банч, Брайан (1982), Математические заблуждения и парадоксы , Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд, ISBN 0-442-24905-5 (Дуврское переиздание, 1997 г.)
Ченг, Евгения (2023), Реальна ли математика? Как простые вопросы ведут нас к глубочайшим истинам математики , Basic Books, ISBN 978-1-541-60182-6
Кляйн, Феликс (1925), Элементарная математика с продвинутой точки зрения / Арифметика, алгебра, анализ , перевод Хедрика, ER; Ноубл, Калифорния (3-е изд.), Дувр
Гамильтон, AG (1982), Числа, множества и аксиомы , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0521287616
Хенкин, Леон; Смит, Норман; Варино, Верн Дж.; Уолш, Майкл Дж. (2012), Прослеживая элементарную математику , Literary Licensing LLC, ISBN 978-1258291488
Шумахер, Кэрол (1996), Глава нулевая: Фундаментальные понятия абстрактной математики , Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-82653-1
Зазкис, Рина; Лильедал, Питер (2009), «Истории, которые объясняют», Teaching Mathematics as Storytelling , Sense Publishers, стр. 51–65, doi : 10.1163/9789087907358_008 , ISBN 978-90-8790-734-1

Дальнейшее чтение [ править ]

Нортроп, Юджин П. (1944), Загадки математики: Книга парадоксов , Нью-Йорк: Д. Ван Ностранд, гл. 5 «Не делить на ноль», стр. 77–96.
Сейф, Чарльз (2000), Ноль: Биография опасной идеи , Нью-Йорк: Пингвин, ISBN 0-14-029647-6
Суппес, Патрик (1957), Введение в логику , Принстон: Д. Ван Ностранд, §8.5 «Проблема деления на ноль» и §8.7 «Пять подходов к делению на ноль» (переиздание в Дувре, 1999 г.)
Тарский, Альфред (1941), Введение в логику и методологию дедуктивных наук , Oxford University Press, §53 «Определения, определение которых содержит знак идентичности»

[1] «Документация Perl BigInt» , Perl::doc , Perl 5 Porters, заархивировано из оригинала 26 сентября 2019 г. , получено 1 марта 2020 г.

[FOOTNOTECheng202375–83-2] Ченг 2023 , стр. 75–83.

[FOOTNOTEZazkisLiljedahl200952–53-3] Зазкис и Лильедал 2009 , стр. 52–53.

[FOOTNOTEZazkisLiljedahl200955–56-4] Зазкис и Лильедал 2009 , стр. 55–56.

[5] Кохенбургер, Ральф Дж.; Турсио, Кэролайн Дж. (1974), Компьютеры в современном обществе , Санта-Барбара: Гамильтон, Некоторые другие операции, включая деление, также можно выполнить с помощью настольного калькулятора (но не пытайтесь делить на ноль; калькулятор никогда не остановится). пытаюсь разделить, пока не остановлюсь вручную).
Видео-демонстрацию см.: Что произойдет, если разделить на ноль на механическом калькуляторе? , 7 марта 2021 г. , получено 6 января 2024 г. - через YouTube.

[6] Zazkis & Liljedahl 2009 , стр. 53–54, приведите пример наследников короля, разделивших поровну свое наследство из 12 бриллиантов, и задайте вопрос, что произойдет в случае, если все наследники умрут до того, как воля короля сможет быть исполнена.

[7] В Китае, Тайване и Японии в школьных учебниках обычно различают соотношение $N:D$ и значение коэффициента ${\tfrac {N}{D}}.$ Напротив, в учебниках США они обычно рассматриваются как два обозначения одного и того же понятия.
Ло, Джейн-Джейн; Ватанабэ, Тэд; Цай, Джинфа (2004), «Развитие концепций соотношений: азиатская перспектива», Преподавание математики в средней школе , 9 (7): 362–367, doi : 10.5951/MTMS.9.7.0362 , JSTOR 41181943

[8] Ченгиз, Несрин; Ратуз, Маргарет (2018), «Осмысление эквивалентных соотношений», Преподавание математики в средней школе , 24 (3): 148–155, doi : 10.5951/mathteacmiddscho.24.3.0148 , JSTOR 10.5951/mathteacmiddscho.24.3.0148 , S2CID 188092067

[9] Кларк, Мэтью Р.; Беренсон, Сара Б.; Кэви, Лори О. (2003), «Сравнение отношений и дробей и их роли как инструментов в пропорциональном рассуждении», The Journal of Mathematical Behavior , 22 (3): 297–317, doi : 10.1016/S0732-3123(03 )00023-3

[10] Ченг, Иван (2010), «Дроби: новый взгляд на наклон», Преподавание математики в средней школе , 16 (1): 34–41, doi : 10.5951/MTMS.16.1.0034 , JSTOR 41183440

[11] Кэви, Лори О.; Махавьер, В. Тед (2010), «Видеть потенциал в вопросах учеников», Учитель математики , 104 (2): 133–137, doi : 10.5951/MT.104.2.0133 , JSTOR 20876802

[12] Вегман, Эдвард Дж.; Саид, Ясмин Х. (2010), «Естественные однородные координаты», Междисциплинарные обзоры Wiley: вычислительная статистика , 2 (6): 678–685, doi : 10.1002/wics.122 , S2CID 121947341

[13] Робинсон, КМ; Лефевр, Дж. А. (2012), «Обратная связь между умножением и делением: концепции, процедуры и когнитивная структура», Educational Studies in Mathematics , 79 (3): 409–428, doi : 10.1007/s10649-011-9330- 5 , JSTOR 41413121

[14] Ченг 2023 , стр. 78; Зазкис и Лильедал 2009 , стр. 55.

[FOOTNOTEZazkisLiljedahl200955-15] Зазкис и Лильедал 2009 , стр. 55.

[FOOTNOTECheng202382–83-16] Ченг 2023 , стр. 82–83.

[17] Банч 1982 , с. 14

[Kaplan-18] Перейти обратно: ^а ^б ^с Каплан, Роберт (1999), Ничто, что есть: Естественная история нуля , Нью-Йорк: Oxford University Press, стр. 68–75 , ISBN. 978-0-19-514237-2

[19] Банч 1982 , с. 15

[20] Рой, Рахул (январь 2003 г.), «Теорема Вавилонского Пифагора, ранняя история нуля и полемика по изучению истории науки» , Resonance , 8 (1): 30–40, doi : 10.1007/BF02834448

[21] Каджори, Флориан (1929), «Абсурды из-за деления на ноль: историческая справка», Учитель математики , 22 (6): 366–368, doi : 10.5951/MT.22.6.0366 , JSTOR 27951153 .

[22] Герман, Эдвин; Стрэнг, Гилберт ; и другие. (2023), «2.2 Предел функции» , Calculus , vol. 1, Хьюстон: OpenStax, с. 454, ISBN 978-1-947172-13-5 , OCLC 1022848630

[23] Кляйн 1925 , с. 63

[24] Кляйн 1925 , с. 26

[25] Шумахер 1996 , с. 149

[26] Гамильтон 1982 , с. 19

[27] Хенкин и др. 2012 , с. 292

[28] Кейслер, Х. Джером (2023) [1986], Элементарное исчисление: бесконечно малый подход , Приндл, Вебер и Шмидт, стр. 29–30.

[29] Конвей, Джон Х. (2000) [1976], О числах и играх (2-е изд.), CRC Press, стр. 20, ISBN 9781568811277

[30] Гбур, Грег (2011), Математические методы оптической физики и техники , Cambridge University Press, стр. 88–93, Bibcode : 2011mmop.book.....G , ISBN 978-0-521-51610-5

[31] Карлстрем, Йеспер (2004), «Колеса: деление на ноль» , Математические структуры в информатике , 14 (1): 143–184, doi : 10.1017/S0960129503004110

[32] Коди, WJ (март 1981 г.), «Анализ предложений по стандарту с плавающей запятой», Computer , 14 (3): 65, doi : 10.1109/CM.1981.220379 , S2CID 9923085 , С соответствующей осторожностью, чтобы быть уверенным, что алгебраические знаки не определяются ошибкой округления, аффинный режим сохраняет отношения порядка, исправляя переполнение. Так, например, величина, обратная отрицательному числу, которое теряет значение, по-прежнему остается отрицательным.

[33] Ван, Си; Чен, Хаоган; Чунг, Элвин; Цзя, Чжихао; Зельдович, Николай; Каашук, М. Франс, «Неопределенное поведение: что случилось с моим кодом?», APSYS '12: Материалы Азиатско-Тихоокеанского семинара по системам , APSYS '12, Сеул, 23–24 июля 2012 г., Нью-Йорк: Ассоциация вычислительной техники Машинное оборудование, doi : 10.1145/2349896.2349905 , hdl : 1721.1/86949 , ISBN 978-1-4503-1669-9

[34] «Встроенные исключения» , Справочник по библиотеке Python 3 , Python Software Foundation, § «Конкретные исключения – исключения ZeroDivisionError» , получено 22 января 2024 г.

[35] Тантер, Эрик; Табаро, Николя (2015), «Постепенное сертифицированное программирование на coq», DLS 2015: Материалы 11-го симпозиума по динамическим языкам , Ассоциация вычислительной техники, arXiv : 1506.04205 , doi : 10.1145/2816707.2816710 , Стандартная функция деления натуральных чисел в Coq, div, является полным и чистым, но неверным: когда делитель равен 0, результат равен 0.

[36] Баззард, Кевин (5 июля 2020 г.), «Деление на ноль в теории типов: часто задаваемые вопросы» , Xena Project (блог) , получено 21 января 2024 г.

[37] «Потоплен Windows NT» , Wired News , 24 июля 1998 г.

[38] Уильям Кахан (14 октября 2011 г.), Крайне необходимые средства для невозможности отладки больших вычислений с плавающей запятой в науке и технике (PDF)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]