Делитель нуля

Не путать с делением на ноль .

В абстрактной алгебре элемент , a кольца ax R называется левым делителем нуля если существует ненулевой x в R такой, что = 0 , или, что то же самое, если отображение из R в R , которое переводит x в ax, не является инъективным . Аналогично, элемент a кольца называется правым делителем нуля , если существует ненулевой элемент y в R такой, что ya = 0 . Это частный случай делимости в кольцах . Элемент, который является левым или правым делителем нуля, называется просто делителем нуля . Элемент a , который является одновременно левым и правым делителем нуля, называется двусторонним делителем нуля (ненулевой x такой, что ax = 0, может отличаться от ненулевого y такого, что ya = 0 ). Если кольцо коммутативно , то левый и правый делители нуля одинаковы.

Элемент кольца, не являющийся левым делителем нуля (соответственно, не правым делителем нуля), называется леворегулярным или левосократимым (соответственно, праворегулярным или правосократимым ). Элемент кольца, который сократим слева и справа и, следовательно, не является делителем нуля, называется регулярным или сократимым . или делитель нуля . Делитель нуля, отличный от нуля, называется ненулевым делителем нуля или нетривиальным делителем нуля . Ненулевое кольцо , не имеющее нетривиальных делителей нуля, называется областью определения .

Примеры

• На ринге $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$, класс вычетов ${\overline {2}}$ является делителем нуля, так как ${\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}$.
• Единственный делитель нуля кольца $\mathbb {Z}$ чисел целых ​ $0$.
• элемент Нильпотентный ненулевого кольца всегда является двусторонним делителем нуля.
• Идемпотентный элемент $e\neq 1$ кольца всегда является двусторонним делителем нуля, так как $e(1-e)=0=(1-e)e$.
• Кольцо размера n × n матриц над полем имеет ненулевые делители нуля, если n примеры делителей нуля в кольце матриц размера 2 × 2 (над любым ненулевым кольцом): ≥ 2. Здесь показаны

$${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},$$

$${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.$$

• Прямое произведение двух или более ненулевых колец всегда имеет ненулевые делители нуля. Например, в $R_{1}\times R_{2}$ с каждым $R_{i}$ ненулевой, $(1,0)(0,1)=(0,0)$, так $(1,0)$ является делителем нуля.
• Позволять $K$ быть полем и $G$быть группой . Предположим, что $G$ имеет элемент $g$ конечного порядка $n>1$. Затем в групповом кольце $K[G]$ надо $(1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0$, причем ни один из факторов не равен нулю, поэтому $1-g$ является ненулевым делителем нуля в $K[G]$.

Односторонний делитель нуля

• Рассмотрим кольцо (формальных) матриц ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}$ с $x,z\in \mathbb {Z}$ и $y\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$. Затем ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}}$ и ${\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}}$. Если $x\neq 0\neq z$, затем ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}$ является левым делителем нуля тогда и только тогда, когда $x$ четно как , так ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}$, и он является правым делителем нуля тогда и только тогда, когда $z$даже по тем же причинам. Если любой из $x,z$ является $0$, то это двусторонний делитель нуля.
• Вот еще один пример кольца, элемент которого является делителем нуля только с одной стороны. Позволять $S$ быть набором всех последовательностей целых чисел $(a_{1},a_{2},a_{3},...)$. Возьмите на ринг все аддитивные карты из $S$ к $S$, с поточечным сложением и композицией в качестве кольцевых операций. (То есть наше кольцо $\mathrm {End} (S)$, кольцо эндоморфизмов аддитивной группы $S$.) Три примера элементов этого кольца — сдвиг вправо $R(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(0,a_{1},a_{2},...)$, левый сдвиг $L(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{2},a_{3},a_{4},...)$, и карта проекции на первый фактор $P(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{1},0,0,...)$. Все три этих аддитивных отображения не равны нулю, а составные $LP$ и $PR$ оба равны нулю, поэтому $L$ является левым делителем нуля и $R$ — правый делитель нуля в кольце аддитивных отображений из $S$ к $S$. Однако, $L$ не является правым делителем нуля и $R$ не является левым делителем нуля: составной $LR$ это личность. $RL$ является двусторонним делителем нуля, поскольку $RLP=0=PRL$, пока $LR=1$ находится не в каком направлении.

Непримеры

• Кольцо целых чисел по модулю простого числа не имеет ненулевых делителей нуля. Поскольку каждый ненулевой элемент является единицей , это кольцо является конечным полем .
• В более общем смысле, тело не имеет ненулевых делителей нуля.
• Ненулевое коммутативное кольцо, единственный делитель нуля которого равен 0, называется областью целостности .

Свойства

• В кольце матриц размера n × n над полем левый и правый делители нуля совпадают; они в точности являются сингулярными матрицами . В кольце матриц размера n × n над областью целостности делителями нуля являются в точности матрицы с нулевым определителем .
• Левые или правые делители нуля никогда не могут быть единицами , потому что если a обратимо и ax = 0 для некоторого ненулевого x , то 0 = a ⁻¹ 0 = а ⁻¹ ax = x , противоречие.
• Элемент упраздним на той стороне, на которой он правильный. То есть, если a является левым регулярным, из ax = ay следует, что x = y , и аналогично для правого регулярного.

Ноль как делитель нуля

нет необходимости в отдельном соглашении Для случая a = 0 , поскольку определение применимо и в этом случае:

• Если R — кольцо, отличное от нулевого кольца , то 0 — (двусторонний) делитель нуля, поскольку любой ненулевой элемент x удовлетворяет условию 0 x = 0 = x 0 .
• Если R — нулевое кольцо, в котором 0 = 1 , то 0 не является делителем нуля, потому что не существует ненулевого элемента, который при умножении на 0 дает 0 .

Некоторые ссылки по соглашению включают или исключают 0 как делитель нуля во всех кольцах, но тогда им приходится вводить исключения в таких утверждениях, как следующие:

• В коммутативном кольце R множество неделителей нуля является множеством в R. мультипликативным (Это, в свою очередь, важно для определения полного факторкольца .) То же самое верно для множества нелевых делителей нуля и множества неправых делителей нуля в произвольном кольце, коммутативном или нет.
• В коммутативном нётеровом кольце R множество делителей нуля представляет собой объединение ассоциированных идеалов кольца R. простых

Делитель нуля в модуле

Пусть R — коммутативное кольцо, M — R - модуль и a — элемент R. кольца Говорят, что а является М -регулярным , если «умножение на отображение » $M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M$ инъективен, и что a является делителем нуля на M. в противном случае Множество M элементов является мультипликативным множеством в R. - регулярных

Специализация определений « M -регулярный» и «делитель нуля на M » для случая M = R восстанавливает определения «регулярный» и «делитель нуля», данные ранее в этой статье.

См. также

• Свойство нулевого продукта
• Глоссарий коммутативной алгебры (точный делитель нуля)
• Граф делителей нуля

Дальнейшее чтение

• «Делитель нуля» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Мишель Хазевинкель ; Надия Губарени; Надежда Михайловна Губарени; Владимир Владимирович Кириченко. (2004), Алгебры, кольца и модули , вып. 1, Спрингер, ISBN  1-4020-2690-0
• Вайсштейн, Эрик В. «Делитель нуля» . Математический мир .