Поточечно

В математике квалификатор поточечно используется для обозначения того, что определенное свойство определяется путем рассмотрения каждого значения. $f(x)$ какой-то функции $f.$Важным классом поточечных концепций являются поточечные операции , то есть операции, определенные над функциями путем применения операций к значениям функций отдельно для каждой точки в области определения. Важные отношения также могут быть определены поточечно.

Поточечные операции

Поточечная сумма (верхний график, фиолетовый) и произведение (зеленый) функций sin (нижний график, синий) и ln (красный). Выделенный вертикальный срез показывает вычисление в точке x =2π.

Формальное определение

Бинарную операцию o : Y × Y → Y на множестве Y можно поточечно поднять до операции O : ( X → Y ) × ( X → Y ) → ( X → Y ) на множестве X → Y всех функций из X в Y следующим образом: для данных двух функций f ₁ : X → Y и f ₂ : X → Y определите функцию O ( f ₁ , f ₂ ): X → Y следующим образом :

( О ( ж ₁ , ж ₂ )) ( Икс ) знак равно о ( ж ₁ ( Икс ), ж ₂ ( Икс )) для всех Икс ∈ Икс .

Обычно o и O обозначаются одним и тем же символом. Аналогичное определение используется для унарных операций o и для операций другой арности .

Примеры

Точечное дополнение $f+g$ из двух функций $f$ и $g$ с тем же доменом и кодоменом определяется:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x).$

Поточечное произведение или поточечное умножение:

$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x).$

Поточечное произведение со скаляром обычно сначала записывается со скалярным членом. Таким образом, когда $\lambda$ является скаляром :

$(\lambda \cdot f)(x)=\lambda \cdot f(x).$

Примером операции над функциями, которая не является поточечной, является свертка .

Свойства

Поточечные операции наследуют такие свойства, как ассоциативность , коммутативность и дистрибутивность, от соответствующих операций в кодомене . Если $A$ — некоторая алгебраическая структура , набор всех функций $X$ к несущему набору $A$ аналогичным образом можно превратить в алгебраическую структуру того же типа.

Покомпонентные операции

Покомпонентные операции обычно определяются над векторами, где векторы являются элементами множества. $K^{n}$ для некоторого натурального числа $n$ и немного поля $K$. Если мы обозначим $i$-я компонента любого вектора $v$ как $v_{i}$, то покомпонентное сложение $(u+v)_{i}=u_{i}+v_{i}$.

Покомпонентные операции могут быть определены над матрицами. Сложение матриц, где $(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$ является покомпонентной операцией, а умножение матрицы — нет.

Кортеж . можно рассматривать как функцию, а вектор — как кортеж Следовательно, любой вектор $v$ соответствует функции $f:n\to K$ такой, что $f(i)=v_{i}$, и любая покомпонентная операция над векторами является поточечной операцией над функциями, соответствующими этим векторам.

Поточечные отношения

В теории порядка принято определять поточечный частичный порядок функций. С A , B частично упорядоченными множествами множество функций A → B можно упорядочить по принципу f ≤ g тогда и только тогда, когда (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x ). Поточечные порядки также наследуют некоторые свойства базовых частично упорядоченных наборов. Например, если A и B — непрерывные решетки , то непрерывными являются и множества функций A → B с поточечным порядком. Используя поточечный порядок функций, можно кратко определить другие важные понятия, например:

• Оператор замыкания c в частично упорядоченном множестве P — это монотонное и идемпотентное самоотображение на P (т. е. оператор проектирования ) с дополнительным свойством: id _A ≤ c , где id — тождественная функция .
• Аналогично, оператор проектирования k называется оператором ядра тогда и только тогда, когда k ≤ id _A .

Примером бесконечного поточечного отношения является поточечная сходимость функций — последовательность функций

$$(f_{n})_{n=1}^{\infty }$$

с

$$f_{n}:X\longrightarrow Y$$

сходится поточечно к функции $f$ если для каждого $x$ в $X$

$$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x).$$

Ссылки

Примеры теории порядка:

• Т. С. Блит, Решетки и упорядоченные алгебраические структуры , Springer, 2005, ISBN   1-85233-905-5 .
• Г. Гирц, К. Х. Хофманн, К. Кеймел, Дж. Д. Лоусон, М. Мислов, Д. С. Скотт : Непрерывные решетки и области , Издательство Кембриджского университета, 2003.

В эту статью включены материалы Pointwise на PlanetMath , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .