Поточечная сходимость

В математике , поточечная сходимость это один из различных смыслов в котором последовательность функций — может сходиться к определенной функции. Она слабее равномерной сходимости , с которой ее часто сравнивают.

Определение

Предположим, что $X$ представляет собой набор и $Y$ — это топологическое пространство , такое как, например , действительные или комплексные числа или метрическое пространство . Последовательность ​ функций ​ $\left(f_{n}\right)$ у всех один и тот же домен $X$ и кодомен $Y$ говорят, что она сходится поточечно к заданной функции $f:X\to Y$ часто пишут как

$$\lim _{n\to \infty }f_{n}=f\ {\mbox{pointwise}}$$

если (и только если) предел последовательности $f_{n}(x)$ оценивается в каждой точке $x$ в области $f$ равно $f(x)$, записанный как

$$\forall x\in X.\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x).$$

Функция $f$ называется поточечной предельной функцией $\left(f_{n}\right).$

Определение легко обобщается с последовательностей на сети. $f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}$. Мы говорим $f_{\bullet }$ сходятся поточечно к $f$, записанный как

$$\lim _{a\in A}f_{a}=f\ {\mbox{pointwise}}$$

если (и только если) $f(x)$ является уникальной точкой накопления сети $f_{\bullet }(x)$ оценивается в каждой точке $x$ в области $f$, записанный как

$$\forall x\in X.\lim _{a\in A}f_{a}(x)=f(x).$$

Иногда авторы используют термин ограниченная поточечная сходимость , когда существует постоянная $C$ такой, что $\forall n,x,\;|f_{n}(x)|<C$ .

Свойства

Этой концепции часто противопоставляют равномерную конвергенцию . Сказать это

$$\lim _{n\to \infty }f_{n}=f\ {\mbox{uniformly}}$$

означает, что

$$\lim _{n\to \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in A\,\}=0,$$

где $A$ является общим достоянием $f$ и $f_{n}$, и $\sup$ означает супремум . Это более сильное утверждение, чем утверждение о поточечной сходимости: каждая равномерно сходящаяся последовательность сходится поточечно к одной и той же предельной функции, но некоторые поточечно сходящиеся последовательности не сходятся равномерно. Например, если $f_{n}:[0,1)\to [0,1)$ представляет собой последовательность функций, определяемую $f_{n}(x)=x^{n},$ затем $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0$ поточечно на интервале $[0,1),$ но не равномерно.

Поточечный предел последовательности непрерывных функций может быть разрывной функцией, но только в том случае, если сходимость не является равномерной. Например,

$$f(x)=\lim _{n\to \infty }\cos(\pi x)^{2n}$$

принимает значение $1$ когда $x$ является целым числом и $0$ когда $x$ не является целым числом и поэтому разрывно в каждом целом числе.

Значения функций $f_{n}$ не обязательно должны быть действительными числами, но могут находиться в любом топологическом пространстве , чтобы концепция поточечной сходимости имела смысл. Равномерная сходимость, с другой стороны, не имеет смысла для функций, принимающих значения в топологических пространствах вообще, но имеет смысл для функций, принимающих значения в метрических пространствах и, в более общем смысле, в равномерных пространствах .

Топология

Смотрите также: Характеристики категории топологических пространств.

Позволять $Y^{X}$ обозначают множество всех функций из некоторого заданного множества $X$ в некоторое топологическое пространство $Y.$Как описано в статье о характеристиках категории топологических пространств , если выполняются определенные условия, то можно определить уникальную топологию на множестве, в терминах которого сети сходятся и не сходятся . Определение поточечной сходимости удовлетворяет этим условиям и поэтому порождает топологию , называемую топология поточечной сходимости на множестве $Y^{X}$ всех функций формы $X\to Y.$ Сеть в $Y^{X}$ сходится в этой топологии тогда и только тогда, когда она сходится поточечно.

Топология поточечной сходимости такая же, как и сходимость в топологии произведения на пространстве $Y^{X},$ где $X$ это домен и $Y$ это кодомен. Явно, если ${\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}$ это набор функций из некоторого множества $X$ в некоторое топологическое пространство $Y$ то топология поточечной сходимости на ${\mathcal {F}}$ равен топологии подпространства , которую он наследует от пространства продукта $\prod _{x\in X}Y$ когда ${\mathcal {F}}$ идентифицируется как подмножество этого декартова произведения посредством канонической карты включения ${\mathcal {F}}\to \prod _{x\in X}Y$ определяется $f\mapsto (f(x))_{x\in X}.$

Если кодомен $Y$ компактно пространство , то по Тихонова теореме $Y^{X}$ также компактен.

Почти везде сходимость

В теории меры говорят о сходимости почти всюду последовательности измеримых функций, определенных на измеримом пространстве . Это означает поточечную сходимость почти всюду , то есть на подмножестве области, дополнение к которому имеет нулевую меру. Теорема Егорова утверждает, что поточечная сходимость почти всюду на множестве конечной меры влечет за собой равномерную сходимость на немного меньшем множестве.

Почти всюду поточечная сходимость в пространстве функций на пространстве с мерой не определяет структуру топологии в пространстве измеримых функций на пространстве с мерой (хотя это структура сходимости ). Ведь в топологическом пространстве, когда каждая подпоследовательность последовательности сама имеет подпоследовательность с тем же последовательным пределом , сама последовательность должна сходиться к этому пределу.

Но рассмотрим последовательность функций так называемых «скакущих прямоугольников», которые определяются с помощью функции пола : пусть $N=\operatorname {floor} \left(\log _{2}n\right)$ и $k=n$ против $2^{N},$ и пусть

$$f_{n}(x)={\begin{cases}1,&{\frac {k}{2^{N}}}\leq x\leq {\frac {k+1}{2^{N}}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$

Тогда любая подпоследовательность последовательности $\left(f_{n}\right)_{n}$ имеет подпоследовательность, которая сама почти всюду сходится к нулю, например подпоследовательность функций, не обращающихся в нуль при $x=0.$ Но ни в какой точке исходная последовательность не сходится поточечно к нулю. Следовательно, в отличие от сходимости по мере и $L^{p}$ Сходимость , поточечная сходимость почти всюду не является сходимостью какой-либо топологии в пространстве функций.

См. также

• Коробчатая топология
• Пространство сходимости - обобщение понятия сходимости, которое встречается в общей топологии.
• Набор цилиндров – естественный базовый набор в пространствах продуктов. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.
• Режимы конвергенции (аннотированный указатель) – Аннотированный указатель различных режимов конвергенции.
• Топологии на пространствах линейных отображений
• Слабая топология - математический термин
• Топология Weak-* — математический термин. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.