Способы конвергенции (аннотированный указатель)

Цель этой статьи — служить аннотированным указателем различных способов конвергенции и их логических связей. Пояснительную статью см. в разделе « Пути конвергенции» . Простые логические отношения между различными способами конвергенции обозначаются (например, если одно подразумевает другое) в формульном виде, а не в прозе для быстрого ознакомления, а подробные описания и обсуждения отведены для соответствующих статей.

---

Путеводитель по этому указателю. Чтобы избежать излишнего многословия, обратите внимание, что каждый из следующих типов объектов является частным случаем предшествующих ему типов: множества , топологические пространства , равномерные пространства , топологические абелевы группы (TAG), нормированные векторные пространства , евклидовы пространства и вещественные / комплексные пространства. цифры. Также обратите внимание, что любое метрическое пространство является равномерным. Наконец, подзаголовки всегда указывают на особые случаи своих суперзаголовков.

Ниже приводится список режимов конвергенции для:

Последовательность элементов { an _{} в топологическом} пространстве ( Y )

• Сходимость , или «топологическая сходимость» для выделения (т.е. существования предела).

...в едином пространстве ( U )

• Коши-сходимость

Подразумеваемое:

- Конвергенция $\Rightarrow$ Коши-сходимость

- Коши-сходимость и сходимость подпоследовательности вместе $\Rightarrow$ конвергенция.

- U называется «полным», если сходимость Коши (для сетей) $\Rightarrow$ конвергенция.

Примечание. Последовательность, демонстрирующая сходимость по Коши, называется последовательностью Коши, чтобы подчеркнуть, что она может быть не сходящейся.

Ряд элементов Σ b _k в TAG ( G )

• Сходимость (последовательности частичных сумм)
• Сходимость Коши (последовательности частичных сумм)
• Безусловная конвергенция

Подразумеваемое:

- Безусловная конвергенция $\Rightarrow$ конвергенция (по определению).

...в нормированном пространстве ( N )

• Абсолютно-сходимость (сходимость $\sum |b_{k}|$)

Подразумеваемое:

- Абсолютная сходимость $\Rightarrow$ Коши-сходимость $\Rightarrow$ абсолютная сходимость некоторой группировки ¹ .

- Следовательно: N банахово (полно) , если абсолютная сходимость $\Rightarrow$ конвергенция.

- Абсолют-схождение и сближение вместе $\Rightarrow$ безусловная конвергенция.

- Безусловная конвергенция $\not \Rightarrow$ абсолютная сходимость, даже если N банахово.

- Если N — евклидово пространство, то безусловная сходимость $\equiv$ абсолютная сходимость.

¹ Примечание: «группировка» относится к серии, полученной путем группировки (но не переупорядочения) членов исходной серии. Таким образом, группировка ряда соответствует подпоследовательности его частичных сумм.

Последовательность функций { f _n } из множества ( S ) в топологическое пространство ( Y )

• Поточечная сходимость

...от множества ( S ) к однородному пространству ( U )

• Равномерная сходимость
• Поточечная сходимость Коши
• Равномерная сходимость Коши

Последствиями являются случаи более ранних, за исключением:

- Равномерная сходимость $\Rightarrow$ как поточечная сходимость, так и равномерная сходимость Коши.

- Равномерная сходимость Коши и поточечная сходимость подпоследовательности. $\Rightarrow$ равномерная сходимость.

...от топологического пространства ( X ) к однородному пространству ( U )

Для многих «глобальных» способов сходимости существуют соответствующие понятия а ) «локальной» и б ) «компактной» сходимости, которые задаются требованием, чтобы сходимость происходила а ) в некоторой окрестности каждой точки или б ) во всех компактных режимах сходимости. подмножества X. ​Примеры:

• Локальная равномерная сходимость (т.е. равномерная сходимость в окрестности каждой точки)
• Компактная (равномерная) сходимость (т. е. равномерная сходимость на всех компактных подмножествах)
• дополнительные примеры этого шаблона ниже.

Подразумеваемое:

- «Глобальные» режимы конвергенции подразумевают соответствующие «локальный» и «компактный» режимы конвергенции. Например:

Равномерная сходимость $\Rightarrow$ как локальная равномерная сходимость, так и компактная (равномерная) сходимость.

- «Локальные» способы конвергенции обычно подразумевают «компактные» режимы конвергенции. Например,

Локальная равномерная сходимость $\Rightarrow$ компактная (равномерная) сходимость.

- Если $X$ локально компактен, обратные к нему имеют тенденцию иметь место:

Локальная равномерная сходимость $\equiv$ компактная (равномерная) сходимость.

...от пространства меры (S,μ) к комплексным числам (C)

• Почти везде сходимость
• Почти равномерная сходимость
• л ^п конвергенция
• Сходимость по мере
• Конвергенция в распределении

Подразумеваемое:

- Поточечная сходимость $\Rightarrow$ почти везде схождение.

- Равномерная сходимость $\Rightarrow$ почти равномерная сходимость.

- Почти везде схождение $\Rightarrow$ сходимость по мере. (В пространстве конечной меры)

- Почти равномерная сходимость $\Rightarrow$ сходимость по мере.

- Л ^п конвергенция $\Rightarrow$ сходимость по мере.

- Сходимость по мере $\Rightarrow$ сходимость по распределению, если µ — вероятностная мера и функции интегрируемы.

Ряд функций Σ g _k от множества ( S ) до TAG ( G )

• Поточечная сходимость (последовательности частичных сумм)
• Равномерная сходимость (последовательности частичных сумм)
• Поточечная сходимость Коши (последовательности частичных сумм)
• Равномерная сходимость Коши (последовательности частичных сумм)
• Безусловная поточечная сходимость
• Безусловная равномерная сходимость

Последствиями являются все случаи предыдущих.

...из набора ( S ) в нормированное пространство ( N )

Обычно замена «сходимости» на «абсолютную сходимость» означает, что имеется в виду сходимость ряда неотрицательных функций. $\Sigma |g_{k}|$ вместо $\Sigma g_{k}$.

• Поточечная абсолютная сходимость (поточечная сходимость $\Sigma |g_{k}|$)
• Равномерная абсолютная сходимость (равномерная сходимость $\Sigma |g_{k}|$)
• Нормальная сходимость (сходимость ряда равномерных норм $\Sigma ||g_{k}||_{u}$)

Последствиями являются случаи более ранних, за исключением:

- Нормальная сходимость $\Rightarrow$ равномерная абсолютная сходимость

... из топологического пространства ( X ) в TAG ( G )

• Локальная равномерная сходимость (последовательности частичных сумм)
• Компактная (равномерная) сходимость (последовательности частичных сумм)

Последствиями являются все случаи предыдущих.

...из топологического пространства ( X ) в нормированное пространство ( N )

• Локальная равномерная абсолютная сходимость
• Компактная (равномерная) абсолютная сходимость
• Локальная нормальная сходимость
• Компактная нормальная сходимость

Последствия (в основном случаи более ранних):

- Равномерная абсолютная сходимость $\Rightarrow$ как локальная равномерная абсолютная сходимость, так и компактная (равномерная) абсолютная сходимость.

Нормальная сходимость $\Rightarrow$ как локальная нормальная сходимость, так и компактная нормальная сходимость.

- Локальная нормальная сходимость $\Rightarrow$ локальная равномерная абсолютная сходимость.

Компактная нормальная сходимость $\Rightarrow$ компактная (равномерная) абсолютная сходимость.

- Локальная равномерная абсолютная сходимость $\Rightarrow$ компактная (равномерная) абсолютная сходимость.

Локальная нормальная сходимость $\Rightarrow$ компактная нормальная сходимость

- Если X локально компактен:

Локальная равномерная абсолютная сходимость $\equiv$ компактная (равномерная) абсолютная сходимость.

Локальная нормальная сходимость $\equiv$ компактная нормальная сходимость

См. также

• Предел последовательности
• Сближение мер
• Сходимость по мере
• Сходимость случайных величин :
  • в раздаче
  • по вероятности
  • почти уверен
  • конечно
  • в смысле