Нормальная сходимость

В математике сходимость это тип сходимости рядов нормальная функций — . Как и абсолютная сходимость , она имеет то полезное свойство, что сохраняется при изменении порядка суммирования.

История

Понятие нормальной конвергенции было впервые введено Рене Бэром в 1908 году в его книге «Лекции по общим теориям анализа» .

Определение

Учитывая набор S и функции $f_{n}:S\to \mathbb {C}$ (или любому нормированному векторному пространству ), ряд

\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)

называется нормально сходящимся, если сходится ряд равномерных норм членов ряда, ^[1] то есть,

\sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}\|:=\sum _{n=0}^{\infty }\sup _{x\in S}|f_{n}(x)|<\infty .

Отличия

Нормальная сходимость предполагает равномерную абсолютную сходимость , т. е. равномерную сходимость ряда неотрицательных функций. $\sum _{n=0}^{\infty }|f_{n}(x)|$ ; этот факт по сути является М-тестом Вейерштрасса . Однако их не следует путать; чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим

f_{n}(x)={\begin{cases}1/n,&x=n,\\0,&x\neq n.\end{cases}}

Тогда сериал $\sum _{n=0}^{\infty }|f_{n}(x)|$ сходится равномерно (для любого ε возьмем n ≥ 1/ ε ), но ряд равномерных норм является гармоническим рядом и, следовательно, расходится. Пример использования непрерывных функций можно составить, заменив эти функции функциями рельефа высотой 1/ n и шириной 1 с центром в каждом натуральном числе n .

Кроме того, нормальная сходимость ряда отличается от сходимости топологии по норме , т. е. сходимости последовательности частичных сумм в топологии, индуцированной равномерной нормой. Нормальная сходимость подразумевает сходимость по норме-топологии тогда и только тогда, когда пространство рассматриваемых функций полно относительно равномерной нормы. (Обратное не верно даже для полных функциональных пространств: например, рассмотрим гармонический ряд как последовательность постоянных функций).

Обобщения

Локальная нормальная сходимость

Ряд можно назвать «локально нормально сходящимся на X », если каждая точка x в X имеет окрестность U такую, что ряд функций ƒ _n ограничен областью U.

\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\mid _{U}

обычно сходится, т. е. таков, что

\sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}\|_{U}<\infty

где норма $\|\cdot \|_{U}$ является супремумом в области U .

Компактная нормальная сходимость

Ряд называется «нормально сходящимся на компактных подмножествах X » или «компактно нормально сходящимся на X », если для каждого компактного подмножества K из X ряд функций ƒ _n , ограниченный на K

\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\mid _{K}

нормально сходится на K .

Примечание : если X ( локально компактно даже в самом слабом смысле), локальная нормальная сходимость и компактная нормальная сходимость эквивалентны.

Характеристики

Любой нормальный сходящийся ряд сходится равномерно, локально равномерно и компактно равномерно сходится. Это очень важно, поскольку гарантирует, что любая перестановка ряда, любые производные или интегралы ряда, а также суммы и произведения с другими сходящимися рядами будут сходиться к «правильному» значению.
Если $\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)$ обычно сходится к $f$ , то любая перестановка последовательности ( ƒ ₁ , ƒ ₂ , ƒ ₃ ...) также нормально сходится к тому же ƒ . То есть для каждой биекции $\tau :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ , $\sum _{n=0}^{\infty }f_{\tau (n)}(x)$ обычно сходится к $f$ .