Конвергентный ряд

В математике ряд — это сумма членов бесконечной последовательности чисел. Точнее, бесконечная последовательность $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ определяет серию $S$ , которая обозначается

S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.

частичная $n-я$ сумма Sn $представляет собой$ сумму первых $n$ членов последовательности; то есть,

S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.

Ряд сходится (или сходится ) тогда и только тогда, когда последовательность $(S_{1},S_{2},S_{3},\dots )$ своих частичных сумм стремится к пределу ; это означает, что при добавлении одного $a_{k}$ после другого в порядке, заданном индексами , получаются частичные суммы, которые становятся все ближе и ближе к заданному числу. Точнее, ряд сходится тогда и только тогда, когда существует число $\ell$ такая, что для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon$ , существует (достаточно большое) целое число $N$ такой, что для всех $n\geq N$ ,

\left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon .

Если ряд сходится, то (обязательно уникальное) число $\ell$ называется суммой ряда .

Те же обозначения

\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}

используется для ряда и, если он сходится, для его суммы. Это соглашение аналогично тому, которое используется для сложения: $a + b$ обозначает операцию сложения $a$ и $b$ а также результат этого сложения , который называется суммой a $,$ и $b$ .

Ряд, не сходящийся, называется расходящимся или расходящимся.

Примеры сходящихся и расходящихся рядов [ править ]

Обратные целые положительные числа образуют расходящийся ряд ( гармонический ряд ):
${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty .$
Чередование знаков обратных чисел положительных целых чисел дает сходящийся ряд ( чередующийся гармонический ряд ):
${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)$
Обратные числа простых чисел образуют расходящийся ряд (поэтому набор простых чисел « большой »; см. Расхождение суммы обратных чисел простых чисел ):
${1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty .$
Обратные треугольные числа образуют сходящийся ряд:
${1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2.$
Обратные факториалы образуют сходящийся ряд (см. e ):
${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =e.$
Обратные квадратные числа образуют сходящийся ряд ( Базельская проблема ):
${1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.$
Обратные степени двойки образуют сходящийся ряд (поэтому набор степеней 2 « маленький »):
${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.$
Обратные степени любого n>1 образуют сходящийся ряд:
${1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^{2}}+{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}+{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n-1}.$
Чередование знаков обратных степеней двойки также дает сходящийся ряд:
${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots ={2 \over 3}.$
Чередование знаков обратных степеней любого n>1 дает сходящийся ряд:
${1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^{2}}-{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}-{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n+1}.$
Обратные числа Фибоначчи образуют сходящийся ряд (см. ψ ):
${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\psi .$

Тесты сходимости [ править ]

Существует ряд методов определения того, сходится или расходится ряд .

Сравнительный тест . Условия последовательности $\left\{a_{n}\right\}$ сравниваются с таковыми из другой последовательности $\left\{b_{n}\right\}$ . Если, для всех н , $0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}$ , и ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ сходится, то и сходится ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

Однако, для всех n если $0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}$ , и ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ расходится, то и тоже ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

Тест на соотношение . Предположим, что для n всех $a_{n}$ не равен нулю. Предположим, что существует $r$ такой, что

\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.

Если r < 1, то ряд сходится абсолютно. Если r > 1, то ряд расходится. Если r = 1, тест на соотношение не дает результатов, и ряд может сходиться или расходиться.

Корневой тест или n-й корневой тест . Предположим, что члены рассматриваемой последовательности неотрицательны . Определите r следующим образом:

r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},

где «lim sup» обозначает верхний предел (возможно, ∞; если предел существует, это то же значение).

Если r < 1, то ряд сходится. Если r > 1, то ряд расходится. Если r = 1, проверка корня не дает результатов, и ряд может сходиться или расходиться.

И тест отношения, и тест на корень основаны на сравнении с геометрическим рядом и поэтому работают в схожих ситуациях. Фактически, если тест отношения работает (это означает, что предел существует и не равен 1), то и корневой тест тоже работает; обратное, однако, неверно. Таким образом, корневой тест более применим, но с практической точки зрения предел часто бывает трудно вычислить для часто встречающихся типов рядов.

Интегральный тест . Ряд можно сравнить с интегралом, чтобы установить сходимость или расхождение. Позволять $f(n)=a_{n}$ — положительная и монотонно убывающая функция . Если

\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,

то ряд сходится. Но если интеграл расходится, то и ряд расходится.

Предельный сравнительный тест . Если $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0$ , и предел $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ существует и не равен нулю, то ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится тогда и только тогда, когда ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ сходится.

Попеременный серийный тест . Также известный как критерий Лейбница , тест чередующегося ряда утверждает, что для чередующегося ряда вида ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}}$ , если $\left\{a_{n}\right\}$ монотонно убывает и имеет предел 0 на бесконечности, то ряд сходится.

Тест на конденсацию Коши . Если $\left\{a_{n}\right\}$ — положительная монотонно убывающая последовательность, то ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится тогда и только тогда, когда ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}}$ сходится.

тест Дирихле

тест Абеля

Условная и абсолютная сходимость [ править ]

Для любой последовательности $\left\{a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right\}$ , $a_{n}\leq \left|a_{n}\right|$ для всех н . Поэтому,

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\leq \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|.

Это означает, что если ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ сходится, то ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ также сходится (но не наоборот).

Если сериал ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ сходится, то ряд ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ абсолютно сходится . показательной Ряд Маклорена функции абсолютно сходится для любого комплексного значения переменной.

Если сериал ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится, но ряд ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ расходится, то ряд ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится условно . Ряд Маклорена функции логарифма $\ln(1+x)$ условно сходится при $x = 1$ .

Теорема о рядах Римана утверждает, что если ряд сходится условно, то можно переставить члены ряда таким образом, чтобы ряд сходился к любому значению или даже расходился.

конвергенция Равномерная

Позволять $\left\{f_{1},\ f_{2},\ f_{3},\dots \right\}$ быть последовательностью функций. Сериал ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ говорят, что он сходится равномерно к f если последовательность $\{s_{n}\}$ частичных сумм, определяемых формулой

s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)

сходится равномерно к f .

Существует аналог критерия сравнения бесконечных рядов функций, называемый М-критерием Вейерштрасса .

Критерий сходимости Коши [ править ]

Критерий сходимости Коши утверждает, что ряд

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}

сходится тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм является последовательностью Коши . Это означает, что для каждого $\varepsilon >0,$ есть целое положительное число $N$ такой, что для всех $n\geq m\geq N$ у нас есть