Базельская проблема

Базельская проблема — это проблема математического анализа , имеющая отношение к теории чисел и касающаяся бесконечной суммы обратных квадратов. Впервые она была поставлена ​​Пьетро Менголи в 1650 году и решена Леонардом Эйлером в 1734 году. и прочитано 5 декабря 1735 года в Санкт-Петербургской Академии наук . Поскольку задача выдержала нападки ведущих математиков того времени, решение Эйлера принесло ему немедленную известность, когда ему было двадцать восемь лет. Эйлер значительно обобщил проблему, и более века спустя его идеи были подхвачены Бернхардом Риманом в его основополагающей статье 1859 года « О числе простых чисел, меньших заданной величины », в которой он определил свою дзета-функцию и доказал ее основные свойства. . Задача названа в честь Базеля , родного города Эйлера, а также семьи Бернулли, которые безуспешно пытались решить эту задачу.

Базельская задача требует точного суммирования обратных квадратов есть , то натуральных чисел точной суммы бесконечного ряда :

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots .$$

Сумма ряда примерно равна 1,644934. Базельская задача требует точной суммы этого ряда (в замкнутой форме ), а также доказательства того, что эта сумма верна. Эйлер нашел точную сумму $\pi ^{2}/6$ и объявил об этом открытии в 1735 году. Его аргументы были основаны на манипуляциях, которые в то время не были оправданы, хотя позже его правота оказалась доказана. Он представил принятое доказательство в 1741 году.

Решение этой проблемы можно использовать для оценки вероятности того, что два больших случайных числа являются взаимно простыми . Два случайных целых числа в диапазоне от 1 до $n$, в пределе как $n$ стремятся к бесконечности, являются относительно простыми с вероятностью, приближающейся к $6/\pi ^{2}$, обратная решению Базельской проблемы.

Подход Эйлера

Исходный вывод Эйлера значения $\pi ^{2}/6$ существенно расширил наблюдения о конечных полиномах и предположил, что те же самые свойства справедливы и для бесконечных рядов.

Конечно, первоначальные рассуждения Эйлера требуют обоснования (100 лет спустя Карл Вейерштрасс доказал справедливость представления Эйлера функции синуса как бесконечного произведения, по теореме факторизации Вейерштрасса ), но даже без обоснования, просто получив правильное значение, он смог проверить это численно на частичных суммах ряда. Соглашение, которое он наблюдал, придало ему достаточно уверенности, чтобы объявить о своем результате математическому сообществу.

Чтобы следовать аргументу Эйлера, вспомните в ряд Тейлора. разложение синусоидальной функции

$$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$$

Разделив на $x$ дает

$${\frac {\sin x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots .$$

показывает Теорема факторизации Вейерштрасса , что левая часть является произведением линейных множителей, заданных ее корнями, как и для конечных многочленов. Эйлер предположил, что это эвристика бесконечной степени для разложения многочлена по его корням, но на самом деле это не всегда верно для общих $P(x)$. Эта факторизация расширяет уравнение до:

$${\begin{aligned}{\frac {\sin x}{x}}&=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \\&=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots \end{aligned}}$$

Если мы формально умножим это произведение и соберем все x ² (нам это разрешено из-за тождеств Ньютона ), мы видим по индукции, что x ² коэффициент грех х / х есть

$$-\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$$

Но из исходного разложения в бесконечный ряд sin x / x , коэффициент при x ² это — 1 / 3! = − 1 / 6 . Эти два коэффициента должны быть равны; таким образом,

$$-{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$$

Умножив обе части этого уравнения на − π ² дает сумму обратных чисел положительных квадратных целых чисел.

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$$

Этот метод расчета $\zeta (2)$ Подробно подробно описано в книге Хэвила «Гамма» , в которой подробно описаны многие дзета-функции и ряды и интегралы, связанные с логарифмами , а также историческая перспектива, связанная с гамма-константой Эйлера .

метода Эйлера с использованием элементарных

Используя формулы, полученные из элементарных симметричных полиномов , тот же подход можно использовать для перечисления формул для четных дзета-констант с четным индексом , которые имеют следующую известную формулу, расширенную числами Бернулли :

$$\zeta (2n)={\frac {(-1)^{n-1}(2\pi )^{2n}}{2\cdot (2n)!}}B_{2n}.$$

Например, пусть частичное произведение для $\sin(x)$ расширенный, как указано выше, определяется как ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$. Затем, используя известные формулы для элементарных симметричных многочленов (также известные как формулы Ньютона, расширенные с помощью тождеств степенной суммы ), мы можем увидеть (например), что

$${\begin{aligned}\left[x^{4}\right]{\frac {S_{n}(x)}{x}}&={\frac {1}{2\pi ^{4}}}\left(\left(H_{n}^{(2)}\right)^{2}-H_{n}^{(4)}\right)\qquad \xrightarrow {n\rightarrow \infty } \qquad {\frac {1}{2\pi ^{4}}}\left(\zeta (2)^{2}-\zeta (4)\right)\\[4pt]&\qquad \implies \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}=-2\pi ^{4}\cdot [x^{4}]{\frac {\sin(x)}{x}}+{\frac {\pi ^{4}}{36}}\\[8pt]\left[x^{6}\right]{\frac {S_{n}(x)}{x}}&=-{\frac {1}{6\pi ^{6}}}\left(\left(H_{n}^{(2)}\right)^{3}-2H_{n}^{(2)}H_{n}^{(4)}+2H_{n}^{(6)}\right)\qquad \xrightarrow {n\rightarrow \infty } \qquad {\frac {1}{6\pi ^{6}}}\left(\zeta (2)^{3}-3\zeta (2)\zeta (4)+2\zeta (6)\right)\\[4pt]&\qquad \implies \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}=-3\cdot \pi ^{6}[x^{6}]{\frac {\sin(x)}{x}}-{\frac {2}{3}}{\frac {\pi ^{2}}{6}}{\frac {\pi ^{4}}{90}}+{\frac {\pi ^{6}}{216}},\end{aligned}}$$

и так далее для последующих коэффициентов $[x^{2k}]{\frac {S_{n}(x)}{x}}$. Существуют и другие формы тождеств Ньютона, выражающие (конечные) суммы степеней. $H_{n}^{(2k)}$ в терминах элементарных симметричных многочленов , $e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),$ но мы можем пойти более прямым путем к выражению нерекурсивных формул для $\zeta (2k)$ с использованием метода элементарных симметричных полиномов . А именно, у нас есть рекуррентное соотношение между элементарными симметричными полиномами и полиномами суммы степеней, заданными, как на этой странице , формулой

$$(-1)^{k}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j=1}^{k}(-1)^{k-j-1}p_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})e_{k-j}(x_{1},\ldots ,x_{n}),$$

что в нашей ситуации соответствует предельному рекуррентному соотношению (или свертке производящей функции , или продукту ), расширенному как

$${\frac {\pi ^{2k}}{2}}\cdot {\frac {(2k)\cdot (-1)^{k}}{(2k+1)!}}=-[x^{2k}]{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\times \sum _{i\geq 1}\zeta (2i)x^{i}.$$

Тогда путем дифференцирования и перестановки членов в предыдущем уравнении получаем, что

$$\zeta (2k)=[x^{2k}]{\frac {1}{2}}\left(1-\pi x\cot(\pi x)\right).$$

Эйлера

По вышеизложенным результатам мы можем заключить, что $\zeta (2k)$ является всегда кратным рациональным ​ $\pi ^{2k}$. В частности, поскольку $\pi$ и его целые степени трансцендентны , на этом этапе мы можем заключить, что $\zeta (2k)$ иррационально трансцендентно , а точнее, для всех $k\geq 1$. Напротив, свойства дзета-констант с нечетным индексом , включая константу Апери, $\zeta (3)$, почти полностью неизвестны.

Дзета-функция Римана

Дзета -функция Римана ζ ( s ) является одной из наиболее важных функций в математике из-за ее связи с распределением простых чисел . Дзета-функция определяется для любого комплексного числа s с действительной частью больше 1 по следующей формуле:

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.$$

Взяв s = 2 , мы видим, что ζ (2) равно сумме обратных квадратов всех натуральных чисел:

$$\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.644934.$$

Сходимость можно доказать с помощью интегрального критерия или с помощью следующего неравенства:

$${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{2}}}&<1+\sum _{n=2}^{N}{\frac {1}{n(n-1)}}\\&=1+\sum _{n=2}^{N}\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)\\&=1+1-{\frac {1}{N}}\;{\stackrel {N\to \infty }{\longrightarrow }}\;2.\end{aligned}}$$

Это дает нам верхнюю границу 2, и поскольку бесконечная сумма не содержит отрицательных членов, она должна сходиться к значению строго между 0 и 2. Можно показать, что ζ ( s ) имеет простое выражение через числа Бернулли всякий раз, когда s — положительное четное целое число. При s = 2 n :

$$\zeta (2n)={\frac {(2\pi )^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}}{2\cdot (2n)!}}.$$

Лопиталя

Нормализованная функция sinc ${\text{sinc}}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$ имеет факторизационное представление Вейерштрасса как бесконечное произведение:

$${\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right).$$

Бесконечный продукт является аналитическим , поэтому, взяв натуральный логарифм обеих частей и дифференцируя выходы, получим

$${\frac {\pi \cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}}-{\frac {1}{x}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2x}{n^{2}-x^{2}}}$$

(при равномерной сходимости допускается перестановка производного и бесконечного ряда). Разделив уравнение на $2x$ и перегруппировавшись, получаем

$${\frac {1}{2x^{2}}}-{\frac {\pi \cot(\pi x)}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}-x^{2}}}.$$

Делаем замену переменных ( $x=-it$):

$$-{\frac {1}{2t^{2}}}+{\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+t^{2}}}.$$

формулу Эйлера. Для этого можно использовать

$${\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}={\frac {\pi }{2it}}{\frac {i\left(e^{2\pi t}+1\right)}{e^{2\pi t}-1}}={\frac {\pi }{2t}}+{\frac {\pi }{t\left(e^{2\pi t}-1\right)}}.$$

или используя соответствующую гиперболическую функцию :

$${\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}={\frac {\pi }{2t}}{i\cot(\pi it)}={\frac {\pi }{2t}}\coth(\pi t).$$

Затем

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+t^{2}}}={\frac {\pi \left(te^{2\pi t}+t\right)-e^{2\pi t}+1}{2\left(t^{2}e^{2\pi t}-t^{2}\right)}}=-{\frac {1}{2t^{2}}}+{\frac {\pi }{2t}}\coth(\pi t).$$

Теперь мы принимаем предел как $t$ приближается к нулю и примените правило Лопиталя трижды . По теореме Таннери, примененной к ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$, мы можем поменять местами предельный и бесконечный ряд так, что ${\textstyle \lim _{t\to 0}\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+t^{2})=\sum _{n=1}^{\infty }1/n^{2}}$ и по правилу Лопиталя

$${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}&=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi }{4}}{\frac {2\pi te^{2\pi t}-e^{2\pi t}+1}{\pi t^{2}e^{2\pi t}+te^{2\pi t}-t}}\\[6pt]&=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi ^{3}te^{2\pi t}}{2\pi \left(\pi t^{2}e^{2\pi t}+2te^{2\pi t}\right)+e^{2\pi t}-1}}\\[6pt]&=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi ^{2}(2\pi t+1)}{4\pi ^{2}t^{2}+12\pi t+6}}\\[6pt]&={\frac {\pi ^{2}}{6}}.\end{aligned}}$$

Доказательство с

Используйте тождество Парсеваля (примененное к функции f ( x ) = x ), чтобы получить

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx,$$

где

$${\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }xe^{-inx}\,dx\\[4pt]&={\frac {n\pi \cos(n\pi )-\sin(n\pi )}{\pi n^{2}}}i\\[4pt]&={\frac {\cos(n\pi )}{n}}i\\[4pt]&={\frac {(-1)^{n}}{n}}i\end{aligned}}$$

для n ≠ 0 и c ₀ знак равно 0 . Таким образом,

$$|c_{n}|^{2}={\begin{cases}{\dfrac {1}{n^{2}}},&{\text{for }}n\neq 0,\\0,&{\text{for }}n=0,\end{cases}}$$

и

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx.$$

Поэтому,

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}$$

по мере необходимости.

Парсеваля

Учитывая полный ортонормированный базис в пространстве $L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)$ периодических L2 функций над $(0,1)$ (т. е. подпространство суммируемых с квадратом функций , которые также являются периодическими ), обозначаемых $\{e_{i}\}_{i=-\infty }^{\infty }$ что личность Парсеваля говорит нам,

$$\|x\|^{2}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }|\langle e_{i},x\rangle |^{2},$$

где $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ определяется через скалярное произведение в этом гильбертовом пространстве , заданное формулой

$$\langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(x){\overline {g(x)}}\,dx,\ f,g\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1).$$

Мы можем рассмотреть ортонормированный базис в этом пространстве, определяемый формулой $e_{k}\equiv e_{k}(\vartheta ):=\exp(2\pi \imath k\vartheta )$ такой, что $\langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}$. Тогда, если мы возьмем $f(\vartheta ):=\vartheta$, мы можем вычислить и то, и другое

$${\begin{aligned}\|f\|^{2}&=\int _{0}^{1}\vartheta ^{2}\,d\vartheta ={\frac {1}{3}}\\\langle f,e_{k}\rangle &=\int _{0}^{1}\vartheta e^{-2\pi \imath k\vartheta }\,d\vartheta ={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}{\frac {1}{2}},&k=0\\-{\frac {1}{2\pi \imath k}}&k\neq 0,\end{array}}\end{aligned}}$$

элементарным исчислением и интегрированием по частям соответственно. Наконец, по тождеству Парсеваля , сформулированному в приведенной выше форме, получаем, что

$${\begin{aligned}\|f\|^{2}={\frac {1}{3}}&=\sum _{\stackrel {k=-\infty }{k\neq 0}}^{\infty }{\frac {1}{(2\pi k)^{2}}}+{\frac {1}{4}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(2\pi k)^{2}}}+{\frac {1}{4}}\\&\implies {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {2\pi ^{2}}{3}}-{\frac {\pi ^{2}}{2}}=\zeta (2).\end{aligned}}$$

Обобщения и рекуррентные отношения

Обратите внимание, что, рассматривая степени более высокого порядка $f_{j}(\vartheta ):=\vartheta ^{j}\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)$ мы можем использовать интегрирование по частям , чтобы распространить этот метод на перечисление формул для $\zeta (2j)$ когда $j>1$. В частности, предположим, что мы позволяем

$$I_{j,k}:=\int _{0}^{1}\vartheta ^{j}e^{-2\pi \imath k\vartheta }\,d\vartheta ,$$

так что интегрирование по частям дает рекуррентное соотношение , которое

$${\begin{aligned}I_{j,k}&={\begin{cases}{\frac {1}{j+1}},&k=0;\\[4pt]-{\frac {1}{2\pi \imath \cdot k}}+{\frac {j}{2\pi \imath \cdot k}}I_{j-1,k},&k\neq 0\end{cases}}\\[6pt]&={\begin{cases}{\frac {1}{j+1}},&k=0;\\[4pt]-\sum \limits _{m=1}^{j}{\frac {j!}{(j+1-m)!}}\cdot {\frac {1}{(2\pi \imath \cdot k)^{m}}},&k\neq 0.\end{cases}}\end{aligned}}$$

Затем, применив тождество Парсеваля , как мы это делали для первого случая выше, вместе с линейностью внутреннего продукта, получим, что

$${\begin{aligned}\|f_{j}\|^{2}={\frac {1}{2j+1}}&=2\sum _{k\geq 1}I_{j,k}{\bar {I}}_{j,k}+{\frac {1}{(j+1)^{2}}}\\[6pt]&=2\sum _{m=1}^{j}\sum _{r=1}^{j}{\frac {j!^{2}}{(j+1-m)!(j+1-r)!}}{\frac {(-1)^{r}}{\imath ^{m+r}}}{\frac {\zeta (m+r)}{(2\pi )^{m+r}}}+{\frac {1}{(j+1)^{2}}}.\end{aligned}}$$

Доказательство с помощью дифференцирования под знаком интеграла

Этот результат можно доказать с помощью элементарного исчисления, применив дифференцирование по методу интегральных знаков к интегралу Фрейтаса:

$$I(\alpha )=\int _{0}^{\infty }\ln \left(1+\alpha e^{-x}+e^{-2x}\right)dx.$$

Хотя примитивную функцию подынтегрального выражения нельзя выразить через элементарные функции, дифференцируя по $\alpha$ мы приходим к

$${\frac {dI}{d\alpha }}=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+\alpha e^{-x}+e^{-2x}}}dx,$$

которое можно проинтегрировать, заменив $u=e^{-x}$ и разложение на частичные дроби . В диапазоне $-2\leq \alpha \leq 2$ определенный интеграл сводится к

$${\frac {dI}{d\alpha }}={\frac {2}{\sqrt {4-\alpha ^{2}}}}\left[\arctan \left({\frac {\alpha +2}{\sqrt {4-\alpha ^{2}}}}\right)-\arctan \left({\frac {\alpha }{\sqrt {4-\alpha ^{2}}}}\right)\right].$$

Выражение можно упростить с помощью формулы сложения арктангенса и проинтегрировать по $\alpha$ с помощью тригонометрической замены , что приводит к

$$I(\alpha )=-{\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{2}+c.$$

интегрирования Константа $c$ можно определить, заметив, что два различных значения $I(\alpha )$ связаны

$$I(2)=4I(0),$$

потому что при расчете $I(2)$ мы можем учесть $1+2e^{-x}+e^{-2x}=(1+e^{-x})^{2}$ и выразить это через $I(0)$ используя логарифм степенного тождества и замену $u=x/2$. Это дает возможность определить $c={\frac {\pi ^{2}}{6}}$, и отсюда следует, что

$$I(-2)=2\int _{0}^{\infty }\ln(1-e^{-x})dx=-{\frac {\pi ^{2}}{3}}.$$

Этот окончательный интеграл можно вычислить, разложив натуральный логарифм в ряд Тейлора :

$$\int _{0}^{\infty }\ln(1-e^{-x})dx=-\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-nx}}{n}}dx=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$$

Последние два тождества подразумевают

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$$

Доказательство Коши

Хотя в большинстве доказательств используются результаты продвинутой математики , такие как анализ Фурье , комплексный анализ и исчисление с несколькими переменными , следующие доказательства даже не требуют исчисления один предел с одной переменной (пока в конце не будет взят ).

Доказательство с использованием теоремы о вычетах см. здесь .

этого

Доказательство восходит к Огюстену Луи Коши (Кур д'Анализ, 1821, примечание VIII). В 1954 году это доказательство появилось в книге Акивы и Исаака Ягломов «Неэлементарные проблемы в элементарном изложении». Позже, в 1982 году, оно появилось в журнале «Эврика» . приписывается Джону Скоулзу, но Скоулз утверждает, что узнал доказательство от Питера Суиннертона-Дайера , и в любом случае он утверждает, что доказательство было «общеизвестным в Кембридже в конце 1960-х годов».

Доказательство

Неравенство
${\tfrac {1}{2}}r^{2}\tan \theta >{\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta >{\tfrac {1}{2}}r^{2}\sin \theta$
изображается графически для любого $\theta \in (0,\pi /2)$. Эти три члена представляют собой площади треугольника OAC, сечения окружности OAB и треугольника OAB. Взятие обратных величин и возведение в квадрат дает
$\cot ^{2}\theta <{\tfrac {1}{\theta ^{2}}}<\csc ^{2}\theta$.

Основная идея доказательства состоит в том, чтобы ограничить частичные (конечные) суммы

$$\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}$$

между двумя выражениями, каждое из которых будет иметь тенденцию п ² / 6 , когда m приближается к бесконечности. Эти два выражения получены из тождеств, включающих функции котангенса и косеканса . Эти тождества, в свою очередь, выводятся из формулы де Муавра , и теперь мы переходим к установлению этих тождеств.

Пусть x — действительное число с 0 < x < π / 2 , и пусть n — положительное нечетное целое число. Тогда из формулы де Муавра и определения котангенса имеем

$${\begin{aligned}{\frac {\cos(nx)+i\sin(nx)}{\sin ^{n}x}}&={\frac {(\cos x+i\sin x)^{n}}{\sin ^{n}x}}\\[4pt]&=\left({\frac {\cos x+i\sin x}{\sin x}}\right)^{n}\\[4pt]&=(\cot x+i)^{n}.\end{aligned}}$$

Из биномиальной теоремы имеем

$${\begin{aligned}(\cot x+i)^{n}=&{n \choose 0}\cot ^{n}x+{n \choose 1}(\cot ^{n-1}x)i+\cdots +{n \choose {n-1}}(\cot x)i^{n-1}+{n \choose n}i^{n}\\[6pt]=&{\Bigg (}{n \choose 0}\cot ^{n}x-{n \choose 2}\cot ^{n-2}x\pm \cdots {\Bigg )}\;+\;i{\Bigg (}{n \choose 1}\cot ^{n-1}x-{n \choose 3}\cot ^{n-3}x\pm \cdots {\Bigg )}.\end{aligned}}$$

Объединение двух уравнений и приравнивание мнимых частей дает тождество

$${\frac {\sin(nx)}{\sin ^{n}x}}={\Bigg (}{n \choose 1}\cot ^{n-1}x-{n \choose 3}\cot ^{n-3}x\pm \cdots {\Bigg )}.$$

Мы берем это тождество, фиксируем положительное целое число m , полагаем n = 2 m + 1 и считаем x _r = r π / 2 m + 1 для r = 1, 2, ..., m . Тогда nx _r кратно π и, следовательно, sin( nx _r ) = 0 . Так,

$$0={{2m+1} \choose 1}\cot ^{2m}x_{r}-{{2m+1} \choose 3}\cot ^{2m-2}x_{r}\pm \cdots +(-1)^{m}{{2m+1} \choose {2m+1}}$$

для каждого r = 1, 2, ..., m . Значения x _r = x ₁ , x ₂ , ..., x _m представляют собой различные числа в интервале 0 < x _r < π / 2 . Поскольку функция кроватка ² x взаимно однозначно на этом интервале, числа t _r = cot ² x _r различны для r = 1, 2, ..., m . Согласно приведенному выше уравнению, эти m чисел являются корнями m полинома -й степени.

$$p(t)={{2m+1} \choose 1}t^{m}-{{2m+1} \choose 3}t^{m-1}\pm \cdots +(-1)^{m}{{2m+1} \choose {2m+1}}.$$

По формулам Виеты мы можем вычислить сумму корней непосредственно, исследуя первые два коэффициента многочлена, и это сравнение показывает, что

$$\cot ^{2}x_{1}+\cot ^{2}x_{2}+\cdots +\cot ^{2}x_{m}={\frac {\binom {2m+1}{3}}{\binom {2m+1}{1}}}={\frac {2m(2m-1)}{6}}.$$

Подмена идентификатора csc ² х = детская кроватка ² х + 1 , мы имеем

$$\csc ^{2}x_{1}+\csc ^{2}x_{2}+\cdots +\csc ^{2}x_{m}={\frac {2m(2m-1)}{6}}+m={\frac {2m(2m+2)}{6}}.$$

Теперь рассмотрим неравенство cot ² х < 1 / х ² < csc ² x (показано геометрически выше). Если сложить все эти неравенства для каждого из чисел x _r = r π / 2 m + 1 , и если мы воспользуемся двумя приведенными выше тождествами, получим

$${\frac {2m(2m-1)}{6}}<\left({\frac {2m+1}{\pi }}\right)^{2}+\left({\frac {2m+1}{2\pi }}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {2m+1}{m\pi }}\right)^{2}<{\frac {2m(2m+2)}{6}}.$$

Умножив на ( п / 2 м + 1 ) ²
, это становится

$${\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m-1}{2m+1}}\right)<{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}<{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m+2}{2m+1}}\right).$$

Когда m приближается к бесконечности, каждое из левых и правых выражений приближается п ² / 6 , поэтому по теореме о сжатии ,

$$\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\lim _{m\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$$

и это завершает доказательство.

Вейля о числах

Доказательство также возможно, если принять гипотезу Вейля о числах Тамагавы . В случае алгебраической группы SL ₂ ( R ) гипотеза утверждает, что число Тамагавы группы равно единице. То есть фактор специальной линейной группы по рациональным аделям по специальной линейной группе рациональных чисел ( компактному множеству , поскольку $SL_{2}(\mathbb {Q} )$ является решеткой в ​​аделях) имеет меру Тамагавы 1:

$$\tau (SL_{2}(\mathbb {Q} )\setminus SL_{2}(A_{\mathbb {Q} }))=1.$$

Чтобы определить меру Тамагавы, группа $SL_{2}$ состоит из матриц

$${\begin{bmatrix}x&y\\z&t\end{bmatrix}}$$

с $xt-yz=1$. Инвариантной формой объема на группе является

$$\omega ={\frac {1}{x}}dx\wedge dy\wedge dz.$$

Мера частного есть произведение мер $SL_{2}(\mathbb {Z} )\setminus SL_{2}(\mathbb {R} )$ соответствующие бесконечному месту, а меры $SL_{2}(\mathbb {Z} _{p})$ в каждом конечном месте, где $\mathbb {Z} _{p}$ — p-адические целые числа .

Что касается местных факторов,

$$\omega (SL_{2}(\mathbb {Z} _{p}))=|SL_{2}(F_{p})|\omega (SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p))$$

где $F_{p}$ это поле с $p$ элементы и $SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p)$ является конгруэнтной подгруппой по модулю $p$. Поскольку каждая из координат $x,y,z$ отобразить последнюю группу на $p\mathbb {Z} _{p}$ и $\left|{\frac {1}{x}}\right|_{p}=1$, мера $SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p)$ является $\mu _{p}(p\mathbb {Z} _{p})^{3}=p^{-3}$, где $\mu _{p}$ – нормированная мера Хаара на $\mathbb {Z} _{p}$. Кроме того, стандартные вычисления показывают, что $|SL_{2}(F_{p})|=p(p^{2}-1)$. Соединение этих вещей вместе дает $\omega (SL_{2}(\mathbb {Z} _{p}))=(1-1/p^{2})$.

В бесконечном месте интегральное вычисление в фундаментальной области $SL_{2}(\mathbb {Z} )$ показывает, что $\omega (SL_{2}(\mathbb {Z} )\setminus SL_{2}(\mathbb {R} )=\pi ^{2}/6$, и поэтому гипотеза Вейля окончательно дает

$$1={\frac {\pi ^{2}}{6}}\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right).$$

В правой части мы узнаем произведение Эйлера для $1/\zeta (2)$, и это дает решение Базельской проблемы.

Этот подход показывает связь между (гиперболической) геометрией и арифметикой, и его можно перевернуть, чтобы дать доказательство гипотезы Вейля для частного случая $SL_{2}$, при условии независимого доказательства того, что $\zeta (2)=\pi ^{2}/6$.

Другие личности

См. особые случаи тождеств для дзета-функции Римана, когда $s=2.$ Другие особенно особые тождества и представления этой константы представлены в разделах ниже.

Представления серий

Ниже приведены последовательные представления константы:

$${\begin{aligned}\zeta (2)&=3\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}{\binom {2k}{k}}}}\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(i-1)!(j-1)!}{(i+j)!}}.\end{aligned}}$$

Существуют также разложения в ряд типа BBP для ζ (2) .

Интегральные представления

Ниже приведены интегральные представления $\zeta (2){\text{:}}$

$${\begin{aligned}\zeta (2)&=-\int _{0}^{1}{\frac {\log x}{1-x}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{1}{\frac {(\log x)^{2}}{(1+x)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=2+2\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor -x}{x^{3}}}\,dx\\[6pt]&=\exp \left(2\int _{2}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{2}-1)}}\,dx\right)\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {dx\,dy}{1-xy}}\\[6pt]&={\frac {4}{3}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {dx\,dy}{1-(xy)^{2}}}\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{1-xy}}\,dx\,dy+{\frac {2}{3}}.\end{aligned}}$$

Цепные дроби

В классической статье ван дер Портена, описывающей доказательство Апери иррациональности $\zeta (3)$, автор отмечает как «отвлекающий маневр» сходство цепной дроби для константы Апери и следующей для константы Базеля:

$${\frac {\zeta (2)}{5}}={\cfrac {1}{{\widetilde {v}}_{1}-{\cfrac {1^{4}}{{\widetilde {v}}_{2}-{\cfrac {2^{4}}{{\widetilde {v}}_{3}-{\cfrac {3^{4}}{{\widetilde {v}}_{4}-\ddots }}}}}}}},$$

где ${\widetilde {v}}_{n}=11n^{2}-11n+3\mapsto \{3,25,69,135,\ldots \}$. Другая непрерывная дробь аналогичной формы:

$${\frac {\zeta (2)}{2}}={\cfrac {1}{v_{1}-{\cfrac {1^{4}}{v_{2}-{\cfrac {2^{4}}{v_{3}-{\cfrac {3^{4}}{v_{4}-\ddots }}}}}}}},$$

где $v_{n}=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\ldots \}$.

См. также

• Дзета-функция Римана
• постоянная Апери
• Список сумм обратных величин

Ссылки

• Вейль, Андре (1983), Теория чисел: исторический подход , Springer-Verlag, ISBN  0-8176-3141-0 .
• Данэм, Уильям (1999), Эйлер: Мастер всех нас , Математическая ассоциация Америки , ISBN  0-88385-328-0 .
• Дербишир, Джон (2003), Основная одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема математики , Джозеф Генри Пресс, ISBN  0-309-08549-7 .
• Эдвардс, Гарольд М. (2001), Дзета-функция Римана , Дувр, ISBN  0-486-41740-9 .

Внешние ссылки

• Бесконечная серия сюрпризов от CJ Sangwin
• От ζ (2) к Π. Доказательство. пошаговое доказательство
• Замечания о прекрасных отношениях между рядом сил, как прямых, так и взаимных (PDF) , английский перевод с примечаниями к статье Эйлера Лукаса Уиллиса и Томаса Дж. Ослера.
• Эд Сандифер, Как Эйлер это сделал (PDF)
• Джеймс А. Селлерс (5 февраля 2002 г.), Beyond Mere Convergence (PDF) , получено 27 февраля 2004 г.
• Робин Чепмен, Оценка ζ (2) (четырнадцать доказательств)
• Визуализация факторизации Эйлера функции синуса
• Йохан Вэстлунд (8 декабря 2010 г.), Суммирование обратных квадратов по евклидовой геометрии (PDF)
  • Почему здесь число Пи? И почему оно квадратное? Геометрический ответ на Базельскую задачу на YouTube (анимированное доказательство на основе вышеизложенного)