Симметричный многочлен степенной суммы

В математике , особенно в коммутативной алгебре , симметричные многочлены степенной суммы являются типом основного строительного блока для симметричных многочленов , в том смысле, что каждый симметричный многочлен с рациональными коэффициентами может быть выражен как сумма и разность произведений симметричных многочленов степенной суммы с рациональные коэффициенты. Однако не каждый симметричный многочлен с целыми коэффициентами генерируется целыми комбинациями произведений полиномов степенной суммы: они представляют собой порождающий набор над рациональными числами, но не над целыми числами.

Определение

сумме степеней Симметричный полином степени k по $n$ переменные x ₁ , ..., x _n , записанные p _k для k = 0, 1, 2, ..., представляют собой сумму всех k -х степеней переменных. Формально,

p_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\,.

Первые несколько из этих многочленов

p_{0}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=1+1+\cdots +1=n\,,

p_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\,,

p_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\,,

p_{3}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots +x_{n}^{3}\,.

Таким образом, для каждого неотрицательного целого числа $k$ , существует ровно один симметричный полином степени $k$ в $n$ переменные.

Кольцо полиномов, образованное взятием всех целых линейных комбинаций произведений симметричных многочленов степенной суммы, является коммутативным кольцом .

Примеры

Ниже перечислены $n$ степенная сумма симметричных полиномов положительных степеней до n для первых трех положительных значений $n.$ В каждом случае $p_{0}=n$ является одним из многочленов. Список поднимается до степени n, поскольку симметричные многочлены степеней суммы от 1 до n являются базовыми в смысле сформулированной ниже теоремы.

Для n = 1:

p_{1}=x_{1}\,.

Для n = 2:

p_{1}=x_{1}+x_{2}\,,

p_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\,.

Для n = 3:

p_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}\,,

p_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\,,

p_{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\,,

Характеристики

Набор степенных сумм симметричных многочленов степеней 1, 2, ..., от n переменных порождает кольцо симметричных n многочленов от n переменных . Более конкретно:

Теорема . Кольцо симметричных многочленов с рациональными коэффициентами равно кольцу рациональных многочленов

\mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].

если коэффициенты взяты в любом поле характеристики То же самое верно , 0.

Однако это неверно, если коэффициенты должны быть целыми числами. Например, для n = 2 симметричный полином

P(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}

имеет выражение

P(x_{1},x_{2})={\frac {p_{1}^{3}-p_{1}p_{2}}{2}}+{\frac {p_{1}^{2}-p_{2}}{2}}\,,

в котором участвуют дроби. Согласно теореме это единственный способ представить $P(x_{1},x_{2})$ с точки зрения p ₁ и p ₂ . Следовательно, P не принадлежит кольцу целых многочленов $\mathbb {Z} [p_{1},\ldots ,p_{n}].$ Другой пример: элементарные симметричные полиномы e _k не все , выраженные как полиномы в полиномах степенной суммы, имеют целые коэффициенты. Например,

e_{2}:=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}={\frac {p_{1}^{2}-p_{2}}{2}}\,.

Теорема неверна и в том случае, если поле имеет характеристику, отличную от 0. Например, если поле F имеет характеристику 2, то $p_{2}=p_{1}^{2}$ , поэтому p ₁ и p ₂ не могут порождать e ₂ = x ₁ x ₂ .

Набросок частичного доказательства теоремы : Согласно тождествам Ньютона степенные суммы являются функциями элементарных симметричных многочленов; это подразумевается следующим рекуррентным соотношением , хотя явная функция, которая дает суммы степеней через e _j, сложна:

p_{n}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}e_{j}p_{n-j}\,.

Переписывая ту же рекуррентность, мы получаем элементарные симметричные многочлены в терминах сумм степеней (также неявно, явная формула усложняется):

e_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}e_{n-j}p_{j}\,.

Это означает, что элементарные полиномы являются рациональными, хотя и не целыми, линейными комбинациями степенных полиномов степеней 1, ..., n . Поскольку элементарные симметричные многочлены являются алгебраической базой для всех симметричных многочленов с коэффициентами в поле, отсюда следует, что каждый симметричный многочлен от n переменных является полиномиальной функцией. $f(p_{1},\ldots ,p_{n})$ симметричных полиномов p ₁ , ..., p _n . То есть кольцо симметричных многочленов содержится в кольце, порожденном степенными суммами: $\mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].$ Поскольку каждый полином суммы степеней симметричен, два кольца равны.

(Это не показывает, как доказать многочлена f уникальность .)

Другую систему симметричных многочленов с похожими свойствами см. в разделе « Полные однородные симметричные многочлены» .

См. также

Ссылки

Ян Г. Макдональд (1979), Симметричные функции и полиномы Холла . Оксфордские математические монографии. Оксфорд: Кларендон Пресс.
Ян Г. Макдональд (1995), Симметричные функции и полиномы Холла , второе изд. Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 0-19-850450-0 (мягкая обложка, 1998 г.).
Ричард П. Стэнли (1999), Перечислительная комбинаторика , Vol. 2. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-56069-1