Степень многочлена

В математике степень многочлена — это многочлена высшая из степеней мономов (отдельных членов) с ненулевыми коэффициентами. Степень термина представляет собой сумму показателей степени входящих в него переменных и, следовательно, является неотрицательным целым числом . Для одномерного многочлена степень многочлена — это просто наивысший показатель степени, встречающийся в многочлене. ^[1] Термин порядок использовался как синоним степени , но в настоящее время может относиться к нескольким другим понятиям (см. Порядок полинома (значения) ).

Например, полином $7x^{2}y^{3}+4x-9,$ что также можно записать как $7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},$ имеет три срока. Первый член имеет степень 5 (сумма степеней 2 и 3), второй член имеет степень 1, а последний член имеет степень 0. Следовательно, многочлен имеет степень 5, что соответствует высшая степень любого термина.

Чтобы определить степень многочлена, который не имеет стандартной формы, например: $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}$ , можно привести его к стандартной форме, разложив произведения (по дистрибутивности ) и объединив подобные члены; например, $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x$ имеет степень 1, хотя каждое слагаемое имеет степень 2. Однако в этом нет необходимости, если многочлен записан как произведение многочленов в стандартной форме, поскольку степень произведения представляет собой сумму степеней множителей.

Названия многочленов по степени [ править ]

Полиномам в зависимости от их степени присваиваются следующие названия: ^[2]^[3]^[4]

Особый случай – ноль (см. § Степень нулевого полинома ниже)
Степень 0 – ненулевая константа ^[5]
Степень 1 – линейная
Степень 2 – квадратичная
Степень 3 – кубическая
Степень 4 – четвертая (или, если все члены имеют четную степень, биквадратичная ).
5 степень – квинтическая
6 степень – секстик (или реже гексик).
7 степень – септическая (или реже гептическая)
8 степень – октическая
Степень 9 – ноник
10 степень – детическая

Названия степеней выше трех основаны на латинских порядковых числах и заканчиваются на -ic . Это следует отличать от названий, используемых для числа переменных, арности , которые основаны на латинских дистрибутивных числах и заканчиваются на -ary . Например, полином второй степени от двух переменных, например $x^{2}+xy+y^{2}$ , называется «двоичным квадратичным»: двоичным по двум переменным, квадратичным по второй степени. ^[а]Существуют также названия числа терминов, которые также основаны на латинских распределительных числах, оканчивающихся на -nomial ; распространенными являются одночленный , биномиальный и (реже) трехчленный ; таким образом $x^{2}+y^{2}$ является «двоичным квадратичным биномом».

Примеры [ править ]

Полином $(y-3)(2y+6)(-4y-21)$ является кубическим многочленом: после умножения и сбора членов одной степени он становится $-8y^{3}-42y^{2}+72y+378$ , с наивысшим показателем 3.

Полином $(3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)$ является полиномом пятой степени: при объединении подобных членов два члена степени 8 сокращаются, оставляя $z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6$ , с наивысшим показателем 5.

Поведение операциях при полиномиальных

Степень суммы, произведения или композиции двух многочленов сильно зависит от степени входных многочленов. ^[6]

Дополнение [ править ]

Степень суммы (или разности) двух многочленов меньше или равна большей из их степеней; то есть,

\deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}

и

\deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}

.

Например, степень $(x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x$ равно 2, и 2 ≤ max{3, 3}.

Равенство всегда выполняется, когда степени многочленов различны. Например, степень $(x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1$ равно 3, а 3 = max{3, 2}.

Умножение [ править ]

Степень произведения многочлена на ненулевой скаляр равна степени многочлена; то есть,

\deg(cP)=\deg(P)

.

Например, степень $2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4$ равно 2, что соответствует степени $x^{2}+3x-2$ .

Таким образом, набор многочленов (с коэффициентами из заданного поля F ), степени которых меньше или равны заданному числу n , образует векторное пространство ; дополнительную информацию см. в разделе « Примеры векторных пространств» .

В более общем смысле, степень произведения двух многочленов по полю или целой области представляет собой сумму их степеней:

\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)

.

Например, степень $(x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x$ это 5 = 3 + 2.

Для многочленов над произвольным кольцом приведенные выше правила могут быть недействительны из-за сокращения, которое может произойти при умножении двух ненулевых констант. Например, на ринге $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ целых чисел по модулю 4 , получается, что $\deg(2x)=\deg(1+2x)=1$ , но $\deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1$ , что не равно сумме степеней факторов.

Состав [ править ]

Степень композиции двух непостоянных многочленов $P$ и $Q$ по полю или целой области является произведением их степеней:

\deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q).

Например, если $P=x^{3}+x$ имеет степень 3 и $Q=x^{2}-1$ имеет степень 2, то их состав $P\circ Q=P\circ (x^{2}-1)=(x^{2}-1)^{3}+(x^{2}-1)=x^{6}-3x^{4}+4x^{2}-2,$ который имеет степень 6.

Обратите внимание, что для многочленов над произвольным кольцом степень композиции может быть меньше произведения степеней. Например, в $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,$ состав полиномов $2x$ и $1+2x$ (оба степени 1) — постоянный полином $2x\circ (1+2x)=2+4x=2,$ степени 0.

Степень нулевого полинома [ править ]

Степень нулевого полинома либо остается неопределенной, либо определяется как отрицательная (обычно -1 или $-\infty$ ). ^[7]

Как и любое постоянное значение, значение 0 можно рассматривать как (постоянный) полином, называемый нулевым полиномом . У него нет ненулевых членов, а значит, строго говоря, у него нет и степени. Таким образом, его степень обычно не определена. Предложения о степени сумм и произведений многочленов в приведенном выше разделе не применимы, если какой-либо из задействованных многочленов является нулевым многочленом. ^[8]

Однако удобно определить степень нулевого многочлена как отрицательную бесконечность , $-\infty ,$ и познакомить с правилами арифметики ^[9]

\max(a,-\infty )=a,

и

a+(-\infty )=-\infty .

Эти примеры иллюстрируют, как это расширение удовлетворяет приведенным выше правилам поведения :

Степень суммы $(x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x$ равно 3. Это удовлетворяет ожидаемому поведению, а именно: $3\leq \max(3,-\infty )$ .
Степень разницы $(x)-(x)=0$ является $-\infty$ . Это удовлетворяет ожидаемому поведению, а именно: $-\infty \leq \max(1,1)$ .
Степень продукта $(0)(x^{2}+1)=0$ является $-\infty$ . Это удовлетворяет ожидаемому поведению, а именно: $-\infty =-\infty +2$ .

Рассчитывается на основе значений функции [ править ]

Существует ряд формул, которые позволяют оценить степень полиномиальной функции f . Один, основанный на асимптотическом анализе :

\deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}

;

это точный аналог метода оценки наклона на логарифмическом графике .

Эта формула обобщает понятие степени на некоторые функции, не являющиеся полиномами. Например:

Степень мультипликативного обратного , $\ 1/x$ , равно −1.
Степень квадратного корня , ${\sqrt {x}}$ , составляет 1/2.
Степень логарифма , $\ \log x$ , равно 0.
Степень показательной функции , $\exp x$ , является $\infty .$

Формула также дает разумные результаты для многих комбинаций таких функций, например, степени ${\frac {1+{\sqrt {x}}}{x}}$ является $-1/2$ .

Другая формула для вычисления степени f по его значениям:

\deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}

;

эта вторая формула следует из применения правила Лопиталя к первой формуле. Однако интуитивно понятно, что речь идет скорее о представлении степени d как дополнительного постоянного множителя в производной. $dx^{d-1}$ из $x^{d}$ .

Более детальное (чем простая числовая степень) описание асимптотики функции можно получить, используя обозначение big O. Например, при анализе алгоритмов часто бывает важно различать темпы роста $x$ и $x\log x$ будут иметь одинаковую , которые в соответствии с приведенными выше формулами степень.

Расширение полиномов с двумя или более переменными [ править ]

Для полиномов от двух или более переменных степень члена представляет собой сумму показателей степени переменных в этом термине; степень (иногда называемая общей степенью ) многочлена снова является максимальной из степеней всех членов в многочлене. Например, полином x ²и ² + 3x ³ + 4 y имеет степень 4, ту же степень, что и член x ²и ².

Однако полином от переменных x и y — это полином от x с коэффициентами, которые являются полиномами от y , а также полином от y с коэффициентами, которые являются полиномами от x . Полином

x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y=(3)x^{3}+(y^{2})x^{2}+(4y)=(x^{2})y^{2}+(4)y+(3x^{3})

имеет степень 3 по x и степень 2 по y .

степени в алгебре абстрактной Функция

Учитывая кольцо R , кольцо многочленов R [ x ] представляет собой набор всех многочленов от x которые имеют коэффициенты из R. , В частном случае, когда R также является полем , кольцо многочленов R [ x ] является областью главных идеалов и, что более важно для нашего обсуждения здесь, евклидовой областью .

Можно показать, что степень многочлена над полем удовлетворяет всем требованиям нормальной функции в евклидовой области. То есть, учитывая два полинома f ( x ) и g ( x ), степень произведения f ( x ) g ( x ) должна быть больше, чем обе степени f и g по отдельности. На самом деле имеет место нечто более сильное:

\deg(f(x)g(x))=\deg(f(x))+\deg(g(x))

В качестве примера того, почему функция степени может завершиться сбоем в кольце, которое не является полем, рассмотрим следующий пример. Пусть R = $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ , кольцо целых чисел по модулю 4. Это кольцо не является полем (и даже не областью целостности ), поскольку 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Следовательно, пусть f ( x ) = g ( x ) = 2 x + 1. Тогда f ( x ) g ( x ) = 4 x ² + 4 x + 1 = 1. Таким образом, deg( f ⋅ g ) = 0, что не больше степеней f и g (каждая из которых имеет степень 1).

Поскольку нормальная функция не определена для нулевого элемента кольца, мы считаем, что степень многочлена f ( x ) = 0 также не определена, так что она подчиняется правилам нормы в евклидовой области.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Для простоты это однородный многочлен , одинаковой степени по обеим переменным в отдельности.

^ Гуллберг, Январь (1997), Математика от рождения чисел , WW Norton & Company, стр. 128, ISBN 9780393040029
^ Мак Лейн и Биркгофф (1999) определяют понятия «линейный», «квадратичный», «кубический», «квартический» и «квинтический». (стр. 107)
^ Кинг (2009) определяет понятия «квадратичный», «кубический», «четвертичный», «квинтический», «секстический», «септический» и «октический».
^ Джеймс Кокл предложил названия «сексический», «септический», «октический», «ноник» и «децик» в 1851 году ( Журнал Mechanics Magazine , Vol. LV, стр. 171 ).
^ Шафаревич (2003) говорит о полиноме нулевой степени: $f(x)=a_{0}$ : «Такой многочлен называется константой , потому что если мы подставим в него разные значения x , мы всегда получим одно и то же значение $a_{0}$ .» (стр. 23)
^ Ланг, Серж (2005), Алгебра (3-е изд.), Springer, стр. 100, ISBN 978-0-387-95385-4
^ Шафаревич (2003) говорит о нулевом многочлене: «В этом случае мы считаем, что степень многочлена не определена». (стр. 27)
Чайлдс (1995) использует −1. (стр. 233)
Чайлдс (2009) использует −∞ (стр. 287), однако он исключает нулевые полиномы в своем предложении 1 (стр. 288), а затем объясняет, что это предложение справедливо для нулевых полиномов «при разумном предположении, что $-\infty$ + м = $-\infty$ для m любое целое число или m = $-\infty$ ".
Экслер (1997) использует −∞. (стр. 64)
Грилле (2007) говорит: «Степень нулевого многочлена 0 иногда остается неопределенной или определяется по-разному как −1 ∈ $\mathbb {Z}$ или как $-\infty$ , пока deg 0 < deg A для всех A ≠ 0». ( A — многочлен.) Однако в своем предложении 5.3 он исключает нулевые многочлены (стр. 121).
^ Колдуэлл, Уильям (2009), «Применение отображения понятий к алгебре I», в книге Афамасага-Фуатаи, Каролина (редактор), « Отображение понятий в математике: исследования на практике », Springer, стр. 217–234, doi : 10.1007/ 978-0-387-89194-1_11 , ISBN 9780387891941 ; см. раздел «Степень многочлена», стр. 225–226: «Произведение нулевого многочлена [с] любым другим многочленом всегда является нулевым многочленом, поэтому такое свойство степеней (степень произведения есть сумма степени двух факторов) не выполнялись бы, если бы один из двух многочленов был многочленом 0. Вот почему мы не присваиваем степень нулевому многочлену».
^ Экслер (1997) приводит эти правила и говорит: «Объявлено, что полином 0 имеет степень $-\infty$ так что для различных разумных результатов не нужны исключения» (стр. 64).

Ссылки [ править ]

Экслер, Шелдон (1997), Правильно выполненная линейная алгебра (2-е изд.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387982595
Чайлдс, Линдси Н. (1995), Конкретное введение в высшую алгебру (2-е изд.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387989990
Чайлдс, Линдси Н. (2009), Конкретное введение в высшую алгебру (3-е изд.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387745275
Грийе, Пьер Антуан (2007), Абстрактная алгебра (2-е изд.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387715681
Кинг, Р. Брюс (2009), За пределами уравнения четвертой степени , Springer Science & Business Media, ISBN 9780817648497
Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999), Алгебра (3-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 9780821816462
Шафаревич, Игорь Р. (2003), Беседы по алгебре , Springer Science & Business Media, ISBN 9783540422532

[6] Для простоты это однородный многочлен , одинаковой степени по обеим переменным в отдельности.

[1] Гуллберг, Январь (1997), Математика от рождения чисел , WW Norton & Company, стр. 128, ISBN 9780393040029

[2] Мак Лейн и Биркгофф (1999) определяют понятия «линейный», «квадратичный», «кубический», «квартический» и «квинтический». (стр. 107)

[3] Кинг (2009) определяет понятия «квадратичный», «кубический», «четвертичный», «квинтический», «секстический», «септический» и «октический».

[4] Джеймс Кокл предложил названия «сексический», «септический», «октический», «ноник» и «децик» в 1851 году ( Журнал Mechanics Magazine , Vol. LV, стр. 171 ).

[5] Шафаревич (2003) говорит о полиноме нулевой степени: $f(x)=a_{0}$ : «Такой многочлен называется константой , потому что если мы подставим в него разные значения x , мы всегда получим одно и то же значение $a_{0}$ .» (стр. 23)

[7] Ланг, Серж (2005), Алгебра (3-е изд.), Springer, стр. 100, ISBN 978-0-387-95385-4

[8] Шафаревич (2003) говорит о нулевом многочлене: «В этом случае мы считаем, что степень многочлена не определена». (стр. 27)
Чайлдс (1995) использует −1. (стр. 233)
Чайлдс (2009) использует −∞ (стр. 287), однако он исключает нулевые полиномы в своем предложении 1 (стр. 288), а затем объясняет, что это предложение справедливо для нулевых полиномов «при разумном предположении, что $-\infty$ + м = $-\infty$ для m любое целое число или m = $-\infty$ ".
Экслер (1997) использует −∞. (стр. 64)
Грилле (2007) говорит: «Степень нулевого многочлена 0 иногда остается неопределенной или определяется по-разному как −1 ∈ $\mathbb {Z}$ или как $-\infty$ , пока deg 0 < deg A для всех A ≠ 0». ( A — многочлен.) Однако в своем предложении 5.3 он исключает нулевые многочлены (стр. 121).

[9] Колдуэлл, Уильям (2009), «Применение отображения понятий к алгебре I», в книге Афамасага-Фуатаи, Каролина (редактор), « Отображение понятий в математике: исследования на практике », Springer, стр. 217–234, doi : 10.1007/ 978-0-387-89194-1_11 , ISBN 9780387891941 ; см. раздел «Степень многочлена», стр. 225–226: «Произведение нулевого многочлена [с] любым другим многочленом всегда является нулевым многочленом, поэтому такое свойство степеней (степень произведения есть сумма степени двух факторов) не выполнялись бы, если бы один из двух многочленов был многочленом 0. Вот почему мы не присваиваем степень нулевому многочлену».

[10] Экслер (1997) приводит эти правила и говорит: «Объявлено, что полином 0 имеет степень $-\infty$ так что для различных разумных результатов не нужны исключения» (стр. 64).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[а]

[6]

[7]

[8]

[9]

v т Это Полиномы и полиномиальные функции
По степени	Нулевой полином (степень неопределена или −1 или −∞) Постоянная функция (0) Линейная функция (1) Линейное уравнение Квадратичная функция (2) Квадратное уравнение Кубическая функция (3) Кубическое уравнение Функция четвертой степени (4) Уравнение четвертой степени Квинтическая функция (5) Секстическое уравнение (6) Септическое уравнение (7)
По свойствам	Одномерный Двумерный Многомерный моном Биномиальный Трехчленный Нередуцируемый без квадратов Однородный Квазиоднородный
Инструменты и алгоритмы	Факторизация Наибольший общий делитель Разделение Метод оценки Горнера Проверка полиномиальной идентичности Результирующий Дискриминант базис Грёбнера