моном

В математике моном — это, грубо говоря, многочлен , имеющий только один член . Можно встретить два определения монома:

1. Моном, также называемый степенным произведением , — это произведение степеней переменных с неотрицательными целыми показателями или, другими словами, произведение переменных, возможно, с повторениями. Например, $x^{2}yz^{3}=xxyzzz$ является мономом. Константа $1$ является мономом, равным пустому произведению и $x^{0}$ для любой переменной $x$. Если только одна переменная $x$ рассматривается, то это означает, что моном либо $1$ или сила $x^{n}$ из $x$, с $n$ положительное целое число. Если рассматривать несколько переменных, скажем, $x,y,z,$ тогда каждому можно присвоить показатель степени, так что любой моном имеет вид $x^{a}y^{b}z^{c}$ с $a,b,c$ неотрицательные целые числа (принимая во внимание, что любой показатель степени $0$ делает соответствующий коэффициент равным $1$).
2. Моном — это моном в первом смысле, умноженный на ненулевую константу, называемую коэффициентом монома. Моном в первом смысле является частным случаем монома во втором смысле, где коэффициент равен $1$. Например, в этой интерпретации $-7x^{5}$ и $(3-4i)x^{4}yz^{13}$ являются мономами (во втором примере переменные $x,y,z,$ а коэффициент — комплексное число ).

В контексте полиномов Лорана и рядов Лорана показатели монома могут быть отрицательными, а в контексте рядов Пюизо показатели могут быть рациональными числами .

Поскольку слово «моном», как и слово «многочлен», происходит от позднелатинского слова «binomium» (биномиал), то путем изменения приставки «би-» (два по-латыни) одночлен теоретически следует называть «мономиальный». «Мономиальный» — это обморок по гаплологии слова «монономиальный».

Сравнение двух определений

В любом из определений множество мономов представляет собой подмножество всех многочленов, замкнутое при умножении.

Можно найти оба варианта использования этого понятия, и во многих случаях это различие просто игнорируется, см., например, примеры для первого варианта. и второй значение. В неформальных дискуссиях это различие редко бывает важным, и наблюдается тенденция к более широкому второму значению. Однако при изучении структуры многочленов часто обязательно требуется понятие с первым значением. Это, например, имеет место при рассмотрении мономиального базиса кольца полиномов или мономиального порядка этого базиса. Аргументом в пользу первого значения является также то, что не существует очевидного другого понятия для обозначения этих величин (термин степенное произведение используется, в частности, когда моном используется с первым значением, но это не делает отсутствие констант тоже ясно), а понятие многочлена однозначно совпадает со вторым значением монома.

В оставшейся части этой статьи предполагается первое значение слова «мономиальный».

Мономиальный базис

Основная статья: Мономиальный базис

Самый очевидный факт относительно мономов (первое значение) заключается в том, что любой многочлен представляет собой линейную комбинацию их , поэтому они образуют основу векторного пространства всех многочленов, называемую мономиальной базой - факт постоянного неявного использования в математике.

Число

Количество мономов степени $d$ в $n$ – это количество мультикомбинаций переменных $d$ элементы, выбранные среди $n$ переменные (переменная может быть выбрана более одного раза, но порядок не имеет значения), что задается коэффициентом мультимножества ${\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)}$. Это выражение также может быть задано в виде биномиального коэффициента , как полиномиальное выражение в $d$или используя возрастающую факториальную степень $d+1$:

$\left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)={\binom {n+d-1}{d}}={\binom {d+(n-1)}{n-1}}={\frac {(d+1)\times (d+2)\times \cdots \times (d+n-1)}{1\times 2\times \cdots \times (n-1)}}={\frac {1}{(n-1)!}}(d+1)^{\overline {n-1}}.$

Последние формы особенно полезны, когда число переменных фиксировано, а степень варьируется. Из этих выражений видно, что при фиксированном n число мономов степени d является полиномиальным выражением от $d$ степени $n-1$ с ведущим коэффициентом ${\textstyle {\frac {1}{(n-1)!}}}$.

Например, количество одночленов от трех переменных ( $n=3$) степени d есть ${\textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)^{\overline {2}}={\frac {1}{2}}(d+1)(d+2)}$; эти числа образуют последовательность 1, 3, 6, 10, 15,... треугольных чисел .

Ряд Гильберта — это компактный способ выразить количество мономов заданной степени: количество мономов степени $d$ в $n$ переменные — коэффициент степени $d$ формального в степенной ряд разложения

${\frac {1}{(1-t)^{n}}}.$

Число мономов степени не выше d от n переменных равно ${\textstyle {\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}}$. Это следует из взаимно однозначного соответствия между мономами степени $d$ в $n+1$ переменные и мономы степени не выше $d$ в $n$ переменных, заключающийся в замене лишней переменной на 1.

Мультииндексная запись

Мультииндексная нотация часто полезна для компактной записи, особенно когда имеется более двух или трех переменных. Если используемые переменные образуют индексированное семейство, например $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,$ можно установить

$x=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ),$

и

$\alpha =(a,b,c,\ldots ).$

Тогда моном

$x_{1}^{a}x_{2}^{b}x_{3}^{c}\cdots$

можно компактно записать как

$x^{\alpha }.$

С помощью этих обозначений произведение двух мономов просто выражается путем сложения векторов экспонент:

$x^{\alpha }x^{\beta }=x^{\alpha +\beta }.$

Степень

Степень монома определяется как сумма всех показателей переменных, включая неявные показатели 1 для переменных, которые появляются без показателя; например, в примере предыдущего раздела степень равна $a+b+c$. Степень $xyz^{2}$ это 1+1+2=4. Степень ненулевой константы равна 0. Например, степень −7 равна 0.

Степень монома иногда называют порядком, главным образом в контексте ряда. Ее еще называют полной степенью, когда необходимо отличить ее от степени одной из переменных.

Мономиальная степень является фундаментальной для теории одномерных и многомерных полиномов. В явном виде он используется для определения степени многочлена и понятия однородного многочлена , а также для градуированных мономиальных упорядочений, используемых при формулировании и вычислении базисов Грёбнера . Неявно он используется для группировки членов ряда Тейлора по нескольким переменным .

Геометрия

В алгебраической геометрии многообразия, определяемые мономиальными уравнениями $x^{\alpha }=0$ для некоторого множества α обладают особыми свойствами однородности. Это можно сформулировать на языке алгебраических групп в терминах существования группового действия алгебраического тора (эквивалентно мультипликативной группы диагональных матриц ). Эта область изучается под названием вложений тора .

См. также

• Мономиальное представление
• Мономиальная матрица
• Однородный полином
• Гомогенная функция
• Многолинейная форма
• Логарифмический график
• Степенной закон
• Разреженный полином