Мономиальное представление

В математических областях теории представлений и теории групп линейное представление $\rho$ ( ро ) группы $G$ является мономиальным представлением , если существует подгруппа конечного индекса $H$ и одномерное линейное представление $\sigma$ из $H$, такой, что $\rho$ эквивалентно индуцированному представлению $\mathrm {Ind} _{H}^{G_{\sigma }}$.

Альтернативно его можно определить как представление, образ которого находится в мономиальных матрицах .

Вот например $G$ и $H$ могут быть конечными группами , так что индуцированное представление имеет классический смысл. Мономиальное представление лишь немного сложнее, чем перестановочное представление . $G$ на смежных классах $H$. Необходимо только отслеживать скаляры, поступающие от $\sigma$ применяется к элементам $H$.

Определение

Чтобы определить мономиальное представление, нам сначала нужно ввести понятие мономиального пространства. Мономиальное пространство — это тройка $(V,X,(V_{x})_{x\in X})$где $V$— конечномерное комплексное векторное пространство, $X$ является конечным множеством и $(V_{x})_{x\in X}$ представляет собой семейство одномерных подпространств $V$ такой, что $V=\oplus _{x\in X}V_{x}$.

Теперь пусть $G$ быть группой, мономиальным представлением $G$ на $V$ является групповым гомоморфизмом $\rho :G\to \mathrm {GL} (V)$такой, что для каждого элемента $g\in G$, $\rho (g)$ меняет местами $V_{x}$х, это значит, что $\rho$ вызывает действие путем перестановки $G$ на $X$.

Ссылки

• «Мономиальное представление» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Карпиловский, Григорий (1985). Проективные представления конечных групп . М. Деккер. ISBN  978-0-8247-7313-7 .