Представление перестановок

В математике термин «представление перестановки» (обычно конечной) группы $G$ может относиться к любому из двух тесно связанных понятий представление : $G$ как группа перестановок или как группа матриц перестановок . Этот термин также относится к их комбинации.

Абстрактное представление перестановок

Перестановочное представление группы $G$ на съемочной площадке $X$ является гомоморфизмом из $G$ к симметричной группе $X$ :

\rho \colon G\to \operatorname {Sym} (X).

Изображение $\rho (G)\subset \operatorname {Sym} (X)$ представляет собой группу перестановок и элементы $G$ представлены в виде перестановок $X$ . ^[1] эквивалентно действию Представление перестановки $G$ на съемочной площадке $X$ :

G\times X\to X.

см. в статье о групповых действиях Дополнительную информацию .

Линейное представление перестановок

Если $G$ является группой перестановок степени $n$ , то представление перестановочное $G$ является линейным представлением $G$

\rho \colon G\to \operatorname {GL} _{n}(K)

какие карты $g\in G$ в соответствующую матрицу перестановок (здесь $K$ — произвольное поле ). ^[2] То есть, $G$ действует на $K^{n}$ путем перестановки стандартных базисных векторов.

Это понятие представления перестановок, конечно, можно объединить с предыдущим для представления произвольной абстрактной группы. $G$ как группа матриц перестановок. Один впервые представляет $G$ как группу перестановок, а затем отображает каждую перестановку в соответствующую матрицу. Представляя $G$ как группа перестановок, действующая сама на себя посредством трансляции , получается регулярное представление .

Характер представления перестановки

Учитывая группу $G$ и конечное множество $X$ с $G$ играю на съемочной площадке $X$ тогда персонаж $\chi$ представления перестановки - это в точности количество неподвижных точек $X$ под действием $\rho (g)$ на $X$ . То есть $\chi (g)=$ количество очков $X$ исправлено $\rho (g)$ .

Это следует из того, что если мы представим карту $\rho (g)$ с матрицей, базис которой определяется элементами $X$ мы получаем матрицу перестановок $X$ . Теперь характер этого представления определяется как след этой матрицы перестановок. Элемент на диагонали матрицы перестановок равен 1, если точка в $X$ фиксировано и 0 в противном случае. Таким образом, мы можем заключить, что след матрицы перестановок в точности равен количеству неподвижных точек $X$ .

Например, если $G=S_{3}$ и $X=\{1,2,3\}$ характер представления перестановки можно вычислить по формуле $\chi (g)=$ количество очков $X$ исправлено $g$ .Так

\chi ((12))=\operatorname {tr} ({\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}})=1

так как только 3 фиксировано

\chi ((123))=\operatorname {tr} ({\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}})=0

как нет элементов

X

фиксированы, и

\chi (1)=\operatorname {tr} ({\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}})=3

как каждый элемент

X

фиксировано.

Ссылки

^ Диксон, Джон Д.; Мортимер, Брайан (6 декабря 2012 г.). Группы перестановок . Springer Science & Business Media. стр. 5–6. ISBN 9781461207313 .
^ Робинсон, Дерек Дж.С. (6 декабря 2012 г.). Курс теории групп . Springer Science & Business Media. ISBN 9781468401288 .

Внешние ссылки

https://mathoverflow.net/questions/286393/how-do-i-know-if-an-irreducible-representation-is-a-permutation-representation

Эта абстрактной алгебре статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Диксон, Джон Д.; Мортимер, Брайан (6 декабря 2012 г.). Группы перестановок . Springer Science & Business Media. стр. 5–6. ISBN 9781461207313 .

[2] Робинсон, Дерек Дж.С. (6 декабря 2012 г.). Курс теории групп . Springer Science & Business Media. ISBN 9781468401288 .

[1]

[2]