Симметричная группа

Не путать с группой «Симметрия» .

Граф Кэли симметричной группы S ₄ с использованием генераторов (красный) кругового сдвига вправо всех четырех элементов множества и (синий) кругового сдвига влево первых трех элементов множества.

Таблица Кэли ( без заголовка ) симметричной группы _S3 . Элементы представлены в виде матриц . Слева от матриц — их двухстрочный вид . Черные стрелки указывают непересекающиеся циклы и соответствуют обозначениям циклов . Зеленый круг — нечетная перестановка, белый — четная перестановка, черный — тождество.

Это позиции шести матриц

Некоторые матрицы не расположены симметрично главной диагонали – таким образом, симметрическая группа не является абелевой.

В абстрактной алгебре симметрическая группа , определенная над любым набором , — это группа которой , элементами являются все биекции множества в себя, а групповая операция — композиция функций . В частности, конечная симметрическая группа $\mathrm {S} _{n}$ определенный на конечном множестве $n$ символы состоят из перестановок , которые можно выполнить над $n$ символы. Поскольку существуют $n!$ ( $n$ факториал ) такие операции перестановки, порядок (количество элементов) симметричной группы $\mathrm {S} _{n}$ является $n!$.

Хотя симметрические группы могут быть определены на бесконечных множествах , в этой статье основное внимание уделяется конечным симметричным группам: их приложениям, их элементам, их классам сопряженности , конечному представлению , их подгруппам , их группам автоморфизмов и их теории представлений . В оставшейся части этой статьи «симметричная группа» будет означать симметрическую группу на конечном множестве.

Симметричная группа важна для различных областей математики, таких как теория Галуа , теория инвариантов , теория представлений групп Ли и комбинаторика . Теорема Кэли утверждает, что каждая группа $G$ изоморфна подгруппе множестве ( симметрической группы на основном ) $G$.

Определение и первые свойства

Симметричная группа на конечном множестве $X$ это группа, все элементы которой являются биективными функциями из $X$ к $X$ и чьей групповой операцией является композиция функций . Для конечных множеств «перестановки» и «биективные функции» относятся к одной и той же операции, а именно к перестановке. Симметричная группа степени $n$ – симметрическая группа на множестве $X=\{1,2,\ldots ,n\}$.

Симметричная группа на множестве $X$ обозначается различными способами, в том числе $\mathrm {S} _{X}$, ${\mathfrak {S}}_{X}$, $\Sigma _{X}$, $X!$, и $\operatorname {Sym} (X)$. Если $X$ это набор $\{1,2,\ldots ,n\}$ тогда имя можно сократить до $\mathrm {S} _{n}$, ${\mathfrak {S}}_{n}$, $\Sigma _{n}$, или $\operatorname {Sym} (n)$.

Симметричные группы на бесконечных множествах ведут себя совершенно иначе, чем симметричные группы на конечных множествах, и обсуждаются в ( Скотт 1987 , глава 11), ( Диксон и Мортимер 1996 , глава 8) и ( Камерон 1999 ).

Симметричная группа на множестве $n$ элементы имеют порядок $n!$ ( факториал ​ $n$). Оно абелева тогда и только тогда, когда $n$ меньше или равно 2. Для $n=0$ и $n=1$ ( пустое множество и одноэлементное множество ), симметрические группы тривиальны (они имеют порядок $0!=1!=1$). Группа Sn _{разрешима} тогда когда и только тогда, $n\leq 4$. Это существенная часть доказательства теоремы Абеля–Руффини , которая показывает, что для любого $n>4$ существуют многочлены степени $n$ которые не разрешимы в радикалах, то есть решения не могут быть выражены путем выполнения конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня над коэффициентами многочлена.

Приложения

Симметричная группа на множестве размера n является группой Галуа общего полинома степени n и играет важную роль в теории Галуа . В теории инвариантов симметрическая группа действует на переменные функции многих переменных, а функции, левоинвариантные, являются так называемыми симметрическими функциями . В теории представлений групп Ли фундаментальную роль играет теория представлений симметрической группы через идеи функторов Шура .

В теории групп Кокстера симметрической группой является группа Кокстера типа Ап _, встречающаяся как группа Вейля полной линейной группы . В комбинаторике симметричные группы, их элементы ( перестановки ) и их представления представляют собой богатый источник проблем, связанных с таблицами Юнга , пластическими моноидами и порядком Брюа . Подгруппы симметричных групп называются группами перестановок и широко изучаются из-за их важности для понимания групповых действий , однородных пространств и групп автоморфизмов графов , таких как группа Хигмана-Симса и граф Хигмана-Симса .

Свойства группы и специальные элементы

Элементы симметрической группы на X являются перестановками X множестве .

Умножение

Групповая операция в симметричной группе представляет собой композицию функций, обозначаемую символом ∘ или просто композицию перестановок. Композиция f ∘ g перестановок f и g , произносится как « f of g », отображает любой элемент x из X в f ( g ( x )). Конкретно, пусть (см. перестановку для пояснения обозначений):

$f=(1\ 3)(2)(4\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{pmatrix}}$

$g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}.$

Применение f после g отображает 1 сначала в 2, а затем 2 в себя; от 2 до 5, а затем до 4; От 3 до 4, затем до 5 и так далее. Таким образом, составление f и g дает

$fg=f\circ g=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}}.$

Цикл = длины L = k · m , возведенный в k -ю степень, разложится на k циклов длины m : Например, ( k = 2 , m 3 ),

$(1~2~3~4~5~6)^{2}=(1~3~5)(2~4~6).$

Проверка групповых аксиом

Чтобы проверить, что симметрическая группа на множестве X действительно является группой , необходимо проверить групповые аксиомы замыкания, ассоциативности, тождественности и инверсий.

1. Операция композиции функций замкнута во множестве перестановок данного множества X .
2. Композиция функций всегда ассоциативна.
3. Тривиальная биекция, которая присваивает каждый элемент X самому себе, служит тождеством группы.
4. Каждая биекция имеет обратную функцию , которая отменяет ее действие, и, таким образом, каждый элемент симметричной группы имеет обратную функцию, которая также является перестановкой.

Транспозиции, знак и знакопеременная группа

Основная статья: Транспонирование (математика)

Транспозиция ; — это перестановка, при которой два элемента заменяются местами, а все остальные остаются неизменными например (1 3) является транспозицией. Любую перестановку можно записать как произведение транспозиций; например, перестановку g сверху можно записать как g = (1 2)(2 5)(3 4). Поскольку g можно записать как произведение нечетного числа транспозиций, ее тогда называют нечетной перестановкой , тогда как f — четная перестановка.

Представление перестановки как продукта транспозиций не уникально; однако количество транспозиций, необходимых для представления данной перестановки, всегда либо четное, либо всегда нечетное. Существует несколько коротких доказательств инвариантности этой четности перестановки.

Произведение двух четных перестановок четно, произведение двух нечетных перестановок четно, а все остальные произведения нечетны. Таким образом, мы можем определить знак перестановки:

$\operatorname {sgn} f={\begin{cases}+1,&{\text{if }}f{\mbox{ is even}}\\-1,&{\text{if }}f{\text{ is odd}}.\end{cases}}$

Используя это определение,

$\operatorname {sgn} \colon \mathrm {S} _{n}\rightarrow \{+1,-1\}\$

— групповой гомоморфизм ({+1, −1} — группа при умножении, где +1 — это e, нейтральный элемент ). Ядро этого гомоморфизма , т. е. множество всех четных перестановок, называется группой An _{знакопеременной} . Это нормальная подгруппа Sn _группы и при n ≥ 2 она имеет n !/2 элементов. Группа Sn _{является} полупрямым произведением An _{и любой подгруппы ,} порожденной одной транспозицией.

Более того, каждую перестановку можно записать как произведение соседних транспозиций , то есть транспозиций вида ( a a +1) . Например, перестановку g сверху также можно записать как g = (4 5)(3 4)(4 5)(1 2)(2 3)(3 4)(4 5) . Алгоритм сортировки пузырьковой сортировкой является применением этого факта. Представление перестановки как произведения смежных транспозиций также не является единственным.

Циклы

Цикл x длины , k — это перестановка f для которой существует элемент x из {1, ..., n } такой, что , f ( x ) , f ² ( х ), ..., ж ^к ( x ) = x — единственные элементы, перемещаемые f ; традиционно требуется, чтобы k ≥ 2, поскольку при k = 1 сам элемент x также не будет перемещаться. Перестановка h, определенная формулой

$h={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&1&3&5\end{pmatrix}}$

является циклом длины три, поскольку h (1) = 4 , h (4) = 3 и h (3) = 1 , оставляя 2 и 5 нетронутыми. Мы обозначаем такой цикл как (1 4 3) , но его с таким же успехом можно было бы записать (4 3 1) или (3 1 4), начиная с другой точки. Порядок цикла равен его длине. Циклы длины два являются транспозициями. Два цикла являются непересекающимися , если они имеют непересекающиеся подмножества элементов. Непересекающиеся циклы коммутируют : например, в S6 _имеет место равенство (4 1 3)(2 5 6) = (2 5 6)(4 1 3) . Каждый элемент Sn _можно записать как произведение непересекающихся циклов; это представление уникально в зависимости от порядка факторов и свободы представления каждого отдельного цикла путем выбора его начальной точки.

Циклы допускают следующее свойство сопряжения с любой перестановкой $\sigma$, это свойство часто используется для получения его образующих и отношений .

$\sigma {\begin{pmatrix}a&b&c&\ldots \end{pmatrix}}\sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}\sigma (a)&\sigma (b)&\sigma (c)&\ldots \end{pmatrix}}$

Специальные элементы

Некоторые элементы симметрической группы {1, 2, ..., n } представляют особый интерес (их можно обобщить на симметрическую группу любого конечного полностью упорядоченного множества, но не на группу неупорядоченного множества).

The Перестановка, изменяющая порядок , определяется следующим образом:

${\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\n&n-1&\cdots &1\end{pmatrix}}.$

Это единственный максимальный элемент относительно порядка Брюа и самый длинный элемент в симметричной группе относительно порождающего набора, состоящего из соседних транспозиций ( i i +1) , 1 ≤ i ≤ n − 1 .

Это инволюция, состоящая из $\lfloor n/2\rfloor$ (несмежные) транспозиции

$(1\,n)(2\,n-1)\cdots ,{\text{ or }}\sum _{k=1}^{n-1}k={\frac {n(n-1)}{2}}{\text{ adjacent transpositions: }}$

$(n\,n-1)(n-1\,n-2)\cdots (2\,1)(n-1\,n-2)(n-2\,n-3)\cdots ,$

поэтому он имеет знак:

$\mathrm {sgn} (\rho _{n})=(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }=(-1)^{n(n-1)/2}={\begin{cases}+1&n\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}$

который является 4-периодическим по n .

В S _{2 n} идеальное перемешивание — это перестановка, которая разбивает набор на 2 стопки и чередует их. Его признак также $(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }.$

Обратите внимание, что реверс на n элементах и ​​идеальное перемешивание на 2 n элементах имеют один и тот же знак; они важны для классификации алгебр Клиффорда , которые являются 8-периодическими.

Классы сопряженности

Sn Классы сопряженности соответствуют _; циклам типов перестановок то есть два элемента Sn _{сопряжены} в Sn _тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа непересекающихся циклов одинаковой длины. Например, в S ₅ (1 2 3)(4 5) и (1 4 3)(2 5) сопряжены; (1 2 3)(4 5) и (1 2)(4 5) нет. Сопряженный элемент Sn _может быть построен в «двухстрочной записи», помещая «циклические обозначения» двух сопряженных перестановок друг на друга. Продолжая предыдущий пример,

$$k={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&3&2&5\end{pmatrix}},$$

которое можно записать как произведение циклов как (2 4). Затем эта перестановка связывает (1 2 3)(4 5) и (1 4 3)(2 5) посредством сопряжения, т.е.

$$(2~4)\circ (1~2~3)(4~5)\circ (2~4)=(1~4~3)(2~5).$$

Понятно, что такая перестановка не единственна.

Классы сопряженности Sn _{соответствуют} целочисленным разбиениям : n разбиению µ = ( µ ₁ , µ ₂ , ..., µ _k ) с ${\textstyle n=\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}}$и µ ₁ ≥ µ ₂ ≥ ... ≥ µ _k , соответствует множеству C _µ перестановок с циклами длин µ ₁ , µ ₂ , ..., µ _k . Тогда C _µ — класс сопряженности группы Sn _, элементы которого называются циклическими. $\mu$.

Группы низкой степени

Смотрите также: Теория представлений симметрической группы § Особые случаи

Симметричные группы низкой степени имеют более простую и исключительную структуру, и их часто приходится рассматривать отдельно.

С ₀ и С ₁

Симметричные группы на пустом множестве и одноэлементном множестве тривиальны, что соответствует 0! = 1! = 1 . В этом случае знакопеременная группа согласуется с симметричной группой, а не является подгруппой индекса 2, а отображение знаков тривиально. В случае S0 _ее единственным членом является пустая функция .

S_S2

Эта группа состоит ровно из двух элементов: единицы и перестановки, меняющей местами две точки. Это циклическая группа и, следовательно, абелева . В теории Галуа это соответствует тому факту, что квадратичная формула дает прямое решение общего квадратичного многочлена после извлечения только одного корня. В теории инвариантов теория представления симметрической группы в двух точках довольно проста и рассматривается как запись функции двух переменных как суммы ее симметричной и антисимметричной частей: Полагая f _s ( x , y ) = f ( Икс , у ) + ж ( у , Икс ) и ж а ₍ Икс , у ) знак равно ж ( Икс , у ) - ж ( у , Икс ) , получается, что 2⋅ ж знак равно ж _s + ж _а . Этот процесс известен как симметризация .

С ₃

S ₃ — первая неабелева симметрическая группа. Эта группа изоморфна группе диэдра порядка 6 , группе симметрий отражения и вращения равностороннего треугольника , поскольку эти симметрии переставляют местами три вершины треугольника. Циклы длины два соответствуют отражениям, а циклы длины три — вращениям. В теории Галуа отображение знаков от S ₃ до S ₂ соответствует разрешающему квадрату для кубического многочлена , как это обнаружил Джероламо Кардано , тогда как ядро ​​A ₃ соответствует использованию дискретного преобразования Фурье порядка 3 в решении, в виде резольвент Лагранжа .

С ₄

Группа S ₄ изоморфна группе собственных вращений вокруг противоположных граней, противоположных диагоналей и противоположных ребер, 9, 8 и 6 перестановок куба . Помимо группы A ₄ , S ₄ имеет четырехгруппу Клейна V в качестве собственной нормальной подгруппы , а именно четные транспозиции {(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}, с фактором S ₃ . В теории Галуа это отображение соответствует разрешающей кубике к многочлену четвертой степени , что позволяет решать квартику радикалами, как установил Лодовико Феррари . Группу Клейна можно понимать в терминах резольвент Лагранжа квартики. Отображение от S ₄ до S ₃ также дает 2-мерное неприводимое представление, которое является неприводимым представлением симметричной группы степени n размерности ниже n - 1 , что происходит только для n = 4 .

S_S5

S ₅ — первая неразрешимая симметрическая группа. Наряду со специальной линейной группой SL(2, 5) и икосаэдрической группой A ₅ × S ₂ , S ₅ является одной из трех неразрешимых групп порядка 120 с точностью до изоморфизма. S ₅ является группой Галуа общего уравнения пятой степени , и тот факт, что S ₅ не является разрешимой группой, приводит к отсутствию общей формулы для решения полиномов пятой степени с помощью радикалов. Существует экзотическое отображение включения S ₅ → S ₆ как транзитивная подгруппа ; очевидное отображение включения Sn _. → Sn _{+1 фиксирует} точку и, следовательно, не является транзитивным Это дает внешний автоморфизм S ₆ , обсуждаемый ниже, и соответствует резольвентной секстике квинтики.

S_S6

В отличие от всех других симметрических групп, S6 _{обладает} внешним автоморфизмом . Используя язык теории Галуа , это также можно понять в терминах резольвент Лагранжа . Резольвента квинтики имеет степень 6 — это соответствует экзотическому отображению включения S ₅ → S ₆ как транзитивной подгруппе (очевидное отображение включения S _n → Sn _{+1 фиксирует} точку и, следовательно, не является транзитивным) и, хотя это отображение не делает разрешимой общую квинтику, оно дает экзотический внешний автоморфизм S6 _— см. в разделе «Автоморфизмы симметричных и знакопеременных групп» . подробности

Обратите внимание, что хотя A ₆ и A ₇ имеют исключительный множитель Шура ( тройное накрытие ) и что они распространяются на тройные покрытия S ₆ и S ₇ , они не соответствуют исключительным множителям Шура симметричной группы.

Карты

Помимо тривиального отображения → _Sn C ₁ ≅ S ₀ ≅ S ₁ и отображения знаков Sn _→ S ₂ , наиболее заметными гомоморфизмами между симметричными группами в порядке относительной размерности являются:

• S ₄ → S ₃ , соответствующий исключительной нормальной подгруппе V < A ₄ < S ₄ ;
• S ₆ → S ₆ (вернее, класс таких отображений с точностью до внутреннего автоморфизма), соответствующий внешнему автоморфизму S ₆ .
• S ₅ → S ₆ как транзитивная подгруппа, что дает внешний автоморфизм S ₆ , как обсуждалось выше.

Существует также множество других гомоморфизмов Sm _, → _Sn где m < n .

Связь с альтернативной группой

Для n ≥ 5 знакопеременная группа An _, является простой , а индуцированный фактор представляет собой отображение знаков: An _→ Sn _{которое разбивается путем} → S ₂ транспозиции двух элементов. Таким образом, Sn _{является} полупрямым произведением An _{в единице (и, таким образом ,} ⋊ S ₂ и не имеет других собственных нормальных подгрупп, поскольку они пересекались бы с An _либо сами были единицей, либо 2-элементной группой, что не является нормальным). , или в An ₍ и, таким образом, сами являются An _или Sn ₎ .

Sn _S действует на своей подгруппе An _{сопряжением} , и при n ≠ 6 Sn _{является} полной группой автоморфизмов An _: Aut(A _n ) ≅ _n . Сопряжение четными элементами является внутренним автоморфизмом An _, тогда как автоморфизм An _{внешний} порядка 2 соответствует сопряжению нечетным элементом. Для n = 6 существует исключительный внешний автоморфизм An _, поэтому Sn _не является полной группой автоморфизмов _An .

И наоборот, для n ≠ 6 , Sn _не имеет внешних автоморфизмов, а для n ≠ 2 у него нет центра, поэтому для n ≠ 2, 6 это полная группа , как обсуждается в группе автоморфизмов ниже.

Для n ≥ 5 Sn _{является} , почти простой группой поскольку она находится между простой группой An _и ее группой автоморфизмов.

Sn _можно вложить в An _{+ 2} добавлением транспозиции ( n +1, n +2) ко всем нечетным перестановкам, тогда как вложение в An _{+ 1} невозможно для n > 1 .

Генераторы и отношения

Симметричная группа из n букв порождается соседними транспозициями $\sigma _{i}=(i,i+1)$ это поменять местами я и я + 1 . Коллекция $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ порождает Sn _: при соблюдении следующих соотношений

• $\sigma _{i}^{2}=1,$
• $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}$ для $|i-j|>1$, и
• $(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3}=1,$

где 1 представляет собой тождественную перестановку. Это представление наделяет симметрическую группу структурой группы Кокстера (а значит, и группы отражения ).

Другие возможные порождающие наборы включают набор транспозиций, которые меняют местами 1 и i на 2 ≤ i ≤ n , или, в более общем смысле, любой набор транспозиций, образующий связный граф, и набор, содержащий любой n -цикл и 2- цикл соседних элементов в n -цикле.

Структура подгруппы

Подгруппа симметричной группы называется группой перестановок .

Обычные подгруппы

Нормальные подгруппы конечных симметрических групп хорошо изучены. Если n ≤ 2 , Sn _имеет не более 2 элементов и поэтому не имеет нетривиальных собственных подгрупп. Знакопеременная группа степени n всегда является нормальной подгруппой, собственной при n ≥ 2 и нетривиальной при n ≥ 3 ; для n ≥ 3 это фактически единственная нетривиальная собственная нормальная подгруппа в Sn _n , за исключением случаев, когда = 4 , где есть еще одна такая нормальная подгруппа, изоморфная четверной группе Клейна .

Симметричная группа на бесконечном множестве не имеет подгруппы индекса 2, как Витали (1915). ) доказал, что каждую перестановку можно записать в виде произведения трёх квадратов. (Любой квадратный элемент должен принадлежать гипотетической подгруппе индекса 2, следовательно, то же самое должно принадлежать произведению любого количества квадратов.) Однако он содержит нормальную подгруппу S перестановок, которые фиксируют все элементы, кроме конечного числа, которая генерируется транспозициями. Те элементы S , которые являются произведениями четного числа транспозиций, образуют подгруппу индекса 2 в , называемую знакопеременной подгруппой A. S Поскольку A — даже характеристическая подгруппа S , она также является нормальной подгруппой полной симметрической группы бесконечного множества. Группы A и S — единственные нетривиальные собственные нормальные подгруппы симметрической группы на счетном множестве. Впервые это было доказано Онофри (1929). ) и независимо Шрайер – Улам (1934 г.) ). Более подробную информацию см. ( Скотт 1987 , гл. 11.3) или ( Диксон и Мортимер 1996 , гл. 8.1).

Максимальные подгруппы

Максимальные подгруппы группы Sn _{делятся на три} класса: интранзитивные, импримитивные и примитивные. Интранзитивные максимальные подгруппы — это в точности подгруппы вида S _k × S _{n – k} для 1 ≤ k < n /2 . Импримитивные максимальные подгруппы — это в точности подгруппы вида Sk _k wr S _{n / k} , где 2 ≤ k ≤ n /2 — собственный делитель n , а «wr» обозначает сплетение . Примитивные максимальные подгруппы идентифицировать труднее, но с помощью теоремы О'Нэна-Скотта и классификации конечных простых групп ( Либек, Прагер и Саксл, 1988 ) дал вполне удовлетворительное описание максимальных подгрупп этого типа. , согласно ( Диксон и Мортимер 1996 , стр. 268).

Силовские подгруппы

Силовские подгруппы симметрических групп являются важными примерами p -групп . Их легче описать сначала в особых случаях:

Силовские p -подгруппы симметрической группы степени p — это не что иное, как циклические подгруппы, порожденные p -циклами. Существует ( p − 1)!/( p − 1) = ( p − 2)! такие подгруппы просто путем подсчета образующих . имеет Таким образом , нормализатор порядок p ⋅( p − 1) и известен как группа Фробениуса F _{p ( p − 1)} (особенно для p = 5 ) и является аффинной общей линейной группой AGL (1, p ) .

Силовские p -подгруппы симметрической группы степени p ² являются сплетением двух циклических групп порядка p . Например, когда p = 3 , силовская 3-подгруппа Sym(9) порождается a = (1 4 7)(2 5 8)(3 6 9) и элементами x = (1 2 3), y = (4 5 6), z = (7 8 9) и каждый элемент силовской 3-подгруппы имеет вид a ^я Икс ^дж и ^к С ^л для $0\leq i,j,k,l\leq 2$.

Силовские p -подгруппы симметрической группы степени p ^н иногда обозначаются W _p ( n ), и, используя это обозначение, можно понять, что W _p ( n + 1) является сплетением W _p ( n ) и W _p (1).

В общем, силовские p -подгруппы симметричной группы степени n являются прямым произведением a _i копий W _p ( i ), где 0 ≤ a _i ≤ p − 1 и n = a ₀ + p ⋅ a ₁ + ... + р ^к ⋅ a _k по основанию p ( разложение n ).

Например, W ₂ (1) = C ₂ и W ₂ (2) = D ₈ , группа диэдра порядка 8 , и поэтому силовская 2-подгруппа симметрической группы степени 7 порождается { (1,3 )(2,4), (1,2), (3,4), (5,6) } и изоморфен D ₈ × C ₂ .

Эти расчеты приписываются ( Kaloujnine 1948 ) и более подробно описаны в ( Rotman 1995 , стр. 176). Однако обратите внимание, что ( Кербер 1971 , стр. 26) приписывает результат работе Коши 1844 года и упоминает, что он даже описан в форме учебника в ( Нетто 1882 , §39–40).

Транзитивные подгруппы

группы Транзитивной подгруппой Sn _{называется} подгруппа, действие которой на {1, 2, ,..., n } транзитивно . Например, группа Галуа ( конечного ) расширения Галуа является транзитивной подгруппой Sn _для некоторого n .

Молодые подгруппы

Основная статья: Молодая подгруппа

Подгруппа группы Sn _, порожденная транспозициями, называется подгруппой Юнга . Они все формы $S_{a_{1}}\times \cdots \times S_{a_{\ell }}$ где $(a_{1},\ldots ,a_{\ell })$является целочисленным разделом n . Эти группы также можно охарактеризовать как параболические подгруппы группы Sn _, если рассматривать ее как группу отражений .

Теорема Кэли

Теорема Кэли утверждает, что каждая группа G изоморфна подгруппе некоторой симметрической группы. В частности, можно взять подгруппу симметрической группы на элементах G , поскольку каждая группа действует на себя точно путем (левого или правого) умножения.

Циклические подгруппы

Циклические группы — это группы, которые генерируются одной перестановкой. Когда перестановка представлена ​​в обозначениях циклов, порядок порождаемой ею циклической подгруппы равен наименьшему общему кратному длин ее циклов. Например, в S ₅ одна циклическая подгруппа порядка 5 порождается (13254), тогда как самые большие циклические подгруппы S ₅ порождены элементами типа (123) (45), которые имеют один цикл длины 3 и другой цикл длины 3. длина 2. Это исключает множество групп как возможные подгруппы симметричных групп заданного размера. Например, у S5 _нет подгруппы порядка 15 (дивизора порядка S5 ₎ , потому что единственная группа порядка 15 — это циклическая группа. Максимально возможный порядок циклической подгруппы (т. е. максимально возможный порядок элемента в Sn ₎ задается функцией Ландау .

Группа автоморфизмов

Дополнительная информация: Автоморфизмы симметричных и знакопеременных групп.

н	Аут(S н )	Выход (S н )	Z(S н )
п ≠ 2, 6	С н	С 1	С 1
п = 2	С 1	С 1	SS2
п = 6	С 6 ⋊ С 2	С 2	С 1

Для n ≠ 2,6 Sn _{является} : полной группой ее центральная и внешняя группа автоморфизмов тривиальны.

При n = 2 группа автоморфизмов тривиальна, но S2 _{нетривиальна} : она изоморфна C2 _, которая абелева, и, следовательно, центром является вся группа.

При n = 6 он имеет внешний автоморфизм порядка 2: Out(S6 ₎ = C2 _, а группа автоморфизмов представляет собой полупрямое произведение Aut(S6 ₎ = _S6 ⋊ _C2 .

Фактически, для любого множества X мощности, отличной от 6, каждый автоморфизм симметрической группы на X является внутренним, результат, впервые полученный ( Шрайер и Улам 1936 ) согласно ( Диксон и Мортимер 1996 , стр. 259).

Гомология

Смотрите также: Альтернирующая группа § Гомологии групп.

Групповые гомологии Sn _{вполне регулярны} и стабилизируются: первая гомология (точнее, абелианизация ) такова:

$H_{1}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n<2\\\mathbf {Z} /2&n\geq 2.\end{cases}}$

Первая группа гомологий представляет собой абелианизацию и соответствует отображению знаков Sn _→ S2 _, которое является абелианизацией для n ≥ 2; при n < 2 симметрическая группа тривиальна. Эту гомологию легко вычислить следующим образом: Sn _{порождается} инволюциями (2-циклами, имеющими порядок 2), поэтому единственными нетривиальными отображениями S _n → C _p являются S ₂ , и все инволюции сопряжены, следовательно, отображаются в тот же элемент в абелианизации (поскольку в абелевых группах сопряжение тривиально). единственно возможные отображения Sn _{Таким образом ,} → S ₂ ≅ {±1} переводят инволюцию в 1 (тривиальное отображение) или в −1 (отображение знаков). Необходимо также показать, что отображение знаков корректно определено, но при этом предположении, что это дает первые гомологии _Sn .

Вторая гомология (точнее, множитель Шура ):

$H_{2}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n<4\\\mathbf {Z} /2&n\geq 4.\end{cases}}$

Это было вычислено в ( Schur 1911 ) и соответствует двойному накрытию симметрической группы 2 · _Sn .

Заметим, что исключительные маломерные гомологии знакопеременной группы ( $H_{1}(\mathrm {A} _{3})\cong H_{1}(\mathrm {A} _{4})\cong \mathrm {C} _{3},$ соответствующий нетривиальной абелианизации, и $H_{2}(\mathrm {A} _{6})\cong H_{2}(\mathrm {A} _{7})\cong \mathrm {C} _{6},$благодаря исключительному 3-кратному накрытию) не меняет гомологии симметрической группы; явления чередующихся групп действительно приводят к явлениям симметричной группы – карта $\mathrm {A} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {C} _{3}$ распространяется на $\mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3},$ а тройные накрытия A6 _и A7 _{продолжаются} до тройных накрытий S6 _и S7 _– но они не гомологичны – отображение $\mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3}$ не меняет абелианизацию S ₄ , а тройные накрытия также не соответствуют гомологиям.

Гомологии «стабилизируются» в смысле стабильной теории гомотопий : существует отображение включения S _n → Sn _{+1 ,} а при фиксированном k индуцированное отображение гомологии H _k (S _n ) → H _k (S _{n +1} ) является изоморфизмом для достаточно больших n . Это аналогично гомологии семейств, стабилизирующихся в группах Ли .

Гомологии бесконечной симметрической группы вычислены в ( Накаока, 1961 ), при этом алгебра когомологий образует алгебру Хопфа .

Теория представлений

Основная статья: Теория представлений симметрической группы

Теория представлений симметрической группы является частным случаем теории представлений конечных групп , для которого может быть получена конкретная и подробная теория. Это имеет большую область потенциальных приложений: от теории симметричных функций до задач квантовой механики для ряда одинаковых частиц .

Симметричная группа Sn _имеет порядок n !. Его сопряженности помечены разбиениями n . классы Следовательно, согласно теории представлений конечной группы, число неэквивалентных неприводимых представлений над комплексными числами равно числу разбиений n . В отличие от общей ситуации для конечных групп, на самом деле существует естественный способ параметризовать неприводимое представление с помощью того же набора, который параметризует классы сопряженных элементов, а именно с помощью разбиений n или, что то же самое, диаграмм Юнга размера n .

Каждое такое неприводимое представление может быть реализовано над целыми числами (любая перестановка, действующая матрицей с целыми коэффициентами); его можно явно построить путем вычисления симметризаторов Юнга , действующих в пространстве, порожденном таблицами Юнга формы, заданной диаграммой Юнга.

В других областях ситуация может значительно усложниться. Если поле K имеет характеристику равную нулю или большую n то по теореме Машке групповая алгебра KSn , _, полупроста. В этих случаях неприводимые представления, определенные над целыми числами, дают полный набор неприводимых представлений (после приведения по модулю характеристики, если необходимо).

Однако неприводимые представления симметрической группы в произвольной характеристике неизвестны. В этом контексте более привычно использовать язык модулей , а не представлений. Представление, полученное из неприводимого представления, определенного над целыми числами путем сокращения по модулю характеристики, вообще говоря, не будет неприводимым. Модули, построенные таким образом, называются модулями Шпехта , и каждое неприводимое действительно возникает внутри некоторого такого модуля. Неприводимых теперь стало меньше, и хотя их можно классифицировать, они очень плохо изучены. Например, даже их размеры вообще не известны .

Определение неприводимых модулей симметрической группы над произвольным полем широко рассматривается как одна из наиболее важных открытых проблем теории представлений.

См. также

• Группа кос
• История теории групп
• Знаковая симметрическая группа и Обобщенная симметрическая группа
• Симметрия в квантовой механике § Обменная симметрия
• Симметричная инверсная полугруппа
• Симметричная мощность

Ссылки

• Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 45, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-65378-7
• Диксон, Джон Д.; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок , Тексты для выпускников по математике, том. 163, Шпрингер-Верлаг , ISBN  978-0-387-94599-6 , МР   1409812
• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 1 (2-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-47189-1 .
• Калужнин, Лео (1948), «Структура силовских p-групп конечных симметричных групп» , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 65 : 239–276, doi : 10.24033/asens.961 , ISSN   0012 - 9593 , МР   0028834
• Кербер, Адальберт (1971), Представления групп перестановок. I , Конспект лекций по математике, Vol. 240, том. 240, Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/BFb0067943 , ISBN.  978-3-540-05693-5 , МР   0325752
• Либек, М.В.; Прегер, CE ; Саксл, Дж. (1988), «О теореме О'Нэна–Скотта для конечных примитивных групп перестановок», Журнал Австралийского математического общества , 44 (3): 389–396, doi : 10.1017/S144678870003216X
• Накаока, Минору (март 1961 г.), «Гомологии бесконечной симметричной группы», Annals of Mathematics , 2, 73 (2): 229–257, doi : 10.2307/1970333 , JSTOR   1970333
• Нетто, Ойген (1882), Теория подстановки и ее приложения к алгебре (на немецком языке), Лейпциг. Тойбнер, JFM   14.0090.01
• Ротман, Джозеф Дж. (1995), «Расширения и когомологии» (PDF) , Введение в теорию групп , Тексты для аспирантов по математике, том. 148, Springer, стр. 154–216, номер документа : 10.1007/978-1-4612-4176-8_7 , ISBN.  978-1-4612-8686-8
• Скотт, WR (1987), Теория групп , Dover Publications , стр. 45–46, ISBN  978-0-486-65377-8
• Шур, Иссаи (1911), «О представлении симметричной и знакопеременной группы дробными линейными заменами», Журнал чистой и прикладной математики , 1911 (139): 155–250, doi : 10.1515/crll.1911.139.155 , S2CID   122809608
• Шрайер, Юзеф ; Улам, Станислав (1936), «Об автоморфизмах группы перестановок последовательности натуральных чисел» (PDF) , Fundamenta Mathematicae (на немецком языке), 28 : 258–260, doi : 10.4064/fm-28-1-258- 260 , Збл   0016.20301

Внешние ссылки

• «Симметричная группа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Симметричная группа» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Граф симметричной группы» . Математический мир .
• Маркюс дю Сотуа: Симметрия, загадка реальности (видео выступления)
• Записи OEIS , касающиеся Symmetric Group