Теорема Машке

В математике , Машке теорема имени Генриха Машке , — это теорема теории представлений групп , касающаяся разложения представлений конечной группы на неприводимые части. Теорема Машке позволяет делать общие выводы о представлениях конечной группы G, не вычисляя их. Это сводит задачу классификации всех представлений к более выполнимой задаче классификации неприводимых представлений , поскольку при применении теоремы любое представление представляет собой прямую сумму неприводимых частей (составляющих). следует Более того, из теоремы Йордана-Гельдера , что, хотя разложение в прямую сумму неприводимых подпредставлений может быть неединственным, неприводимые части имеют четко определенную кратность . В частности, представление конечной группы над полем определяется нулевой характеристики с точностью до изоморфизма ее характером .

Составы

Теорема Машке решает вопрос: когда общее (конечномерное) представление строится из неприводимых подпредставлений с помощью операции прямой суммы ? Этот вопрос (и ответ на него) формулируются по-разному для разных точек зрения на теорию представления групп.

теоретико-групповой

Теорему Машке обычно формулируют как следствие следующего результата:

Теорема — $V$ является представлением конечной группы $G$ над полем $\mathbb {F}$ с характеристикой, не порядок делящей $G$. Если $V$ имеет подпредставительство $W$, то оно имеет другое подпредставление $U$ такой, что $V=W\oplus U$.

Тогда следствие

Следствие (теорема Машке) — Каждое представление конечной группы $G$ над полем $\mathbb {F}$ с характеристикой, не делящей порядок $G$ является прямой суммой неприводимых представлений.

Векторное пространство комплекснозначных функций группы класса $G$ имеет естественный $G$-инвариантная структура внутреннего продукта , описанная в статье Отношения ортогональности Шура . Теорема Машке первоначально была доказана для случая представлений над $\mathbb {C}$ построив $U$ как дополнение ортогональное $W$ под этим внутренним продуктом.

Теоретико-модульный

Один из подходов к представлениям конечных групп основан на теории модулей . Представления группы $G$ заменяются модулями над его групповой алгеброй  $K[G]$ (точнее, существует изоморфизм категорий между $K[G]{\text{-Mod}}$ и $\operatorname {Rep} _{G}$, представлений категория $G$). Неприводимые представления соответствуют простым модулям . На языке теории модулей теорема Машке спрашивает: является ли произвольный модуль полупростым ? В этом контексте теорему можно переформулировать следующим образом:

Теорема Машке — Пусть $G$ быть конечной группой и $K$ поле, характеристика которого не делит порядок $G$. Затем $K[G]$, групповая алгебра $G$, является полупростым .

Важность этого результата обусловлена ​​хорошо развитой теорией полупростых колец, в частности, их классификацией, данной теоремой Веддерберна–Артина . Когда $K$ — поле комплексных чисел, это показывает, что алгебра $K[G]$ является продуктом нескольких копий комплексных матричных алгебр , по одной для каждого неприводимого представления. Если поле $K$ имеет нулевую характеристику, но не является алгебраически замкнутым , например, если $K$ — поле действительных или рациональных чисел, то справедливо несколько более сложное утверждение: групповая алгебра $K[G]$ является произведением матричных алгебр над телами над $K$. Слагаемые соответствуют неприводимым представлениям $G$ над $K$.

Теоретико-категориальный

Переформулированная на языке полупростых категорий теорема Машке утверждает:

Теорема Машке . Если G — группа, а F , не делящей порядок G , то категория представлений G — поле с характеристикой над F полупроста.

Доказательства

теоретико-групповой

Пусть U подпространство V -дополнения W. — Позволять $p_{0}:V\to W$ — проекционная функция, т. е. $p_{0}(w+u)=w$ для любого $u\in U,w\in W$.

Определять ${\textstyle p(x)={\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}(x)}$, где $g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}$ это аббревиатура от $\rho _{W}{g}\cdot p_{0}\cdot \rho _{V}{g^{-1}}$, с $\rho _{W}{g},\rho _{V}{g^{-1}}$ являющееся представлением G на W и V . Затем, $\ker p$ сохраняется группой G при представлении $\rho _{V}$: для любого $w'\in \ker p,h\in G$, $${\begin{aligned}p(hw')&=h\cdot h^{-1}{\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}(hw')\\&=h\cdot {\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}(h^{-1}\cdot g)\cdot p_{0}\cdot (g^{-1}h)w'\\&=h\cdot {\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}w'\\&=h\cdot p(w')\\&=0\end{aligned}}$$

так $w'\in \ker p$ подразумевает, что $hw'\in \ker p$. Таким образом, ограничение $\rho _{V}$ на $\ker p$ также является представлением.

По определению $p$, для любого $w\in W$, $p(w)=w$, так $W\cap \ker \ p=\{0\}$, и для любого $v\in V$, $p(p(v))=p(v)$. Таким образом, $p(v-p(v))=0$, и $v-p(v)\in \ker p$. Поэтому, $V=W\oplus \ker p$.

Теоретико-модульный

Пусть V — K [ G ]-подмодуль. Докажем, что V — прямое слагаемое. Пусть π — любой K -линейный проектор K [ G на V. ] Рассмотрите карту $${\begin{cases}\varphi :K[G]\to V\\\varphi :x\mapsto {\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot x)\end{cases}}$$

Тогда φ снова является проекцией: она, очевидно, K -линейна, отображает K [ G ] в V и индуцирует тождество на V (следовательно, отображает K [ G ] на V ). Более того, у нас есть

$${\begin{aligned}\varphi (t\cdot x)&={\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot t\cdot x)\\&={\frac {1}{\#G}}\sum _{u\in G}t\cdot u\cdot \pi (u^{-1}\cdot x)\\&=t\cdot \varphi (x),\end{aligned}}$$

поэтому φ на самом деле K [ G ]-линейна. По о расщеплении лемме $K[G]=V\oplus \ker \varphi$. Это доказывает, что каждый подмодуль является прямым слагаемым, т. е. K [ G ] полупрост.

Обратное утверждение

Приведенное выше доказательство зависит от того факта #G обратим что в K. , Это может привести к вопросу, верно ли также и обратное утверждение теоремы Машке: если характеристика K делит порядок G , следует ли из этого, что K [ G ] не является полупростым? Ответ: да .

Доказательство. Для ${\textstyle x=\sum \lambda _{g}g\in K[G]}$ определять ${\textstyle \epsilon (x)=\sum \lambda _{g}}$. Позволять $I=\ker \epsilon$. Тогда I — K [ G ]-подмодуль. Мы докажем, что для любого нетривиального подмодуля V модуля K [ G ] $I\cap V\neq 0$. Пусть V задано, и пусть ${\textstyle v=\sum \mu _{g}g}$ быть любым ненулевым элементом V . Если $\epsilon (v)=0$, претензия немедленная. В противном случае, пусть ${\textstyle s=\sum 1g}$. Затем $\epsilon (s)=\#G\cdot 1=0$ так $s\in I$ и $$sv=\left(\sum 1g\right)\!\left(\sum \mu _{g}g\right)=\sum \epsilon (v)g=\epsilon (v)s$$

так что $sv$ является ненулевым элементом как I , так и V . Это доказывает, что V не является прямым дополнением к I для всех V , поэтому K [ G ] не является полупростым.

Непримеры

Теорему нельзя применить к случаю, когда G бесконечно или когда поле K имеет характеристики, делящие # G . Например,

• Рассмотрим бесконечную группу $\mathbb {Z}$ и представительство $\rho :\mathbb {Z} \to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {C} )$ определяется $\rho (n)={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}}$. Позволять $W=\mathbb {C} \cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$, одномерное подпространство $\mathbb {C} ^{2}$ охватываемый ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$. Тогда ограничение $\rho$ на W является тривиальным подпредставлением $\mathbb {Z}$. Однако не существует U такого, что оба W, U являются подпредставлениями $\mathbb {Z}$ и $\mathbb {C} ^{2}=W\oplus U$: любой такой U должен быть одномерным, но любое одномерное подпространство сохраняется $\rho$ должен быть натянут на собственный вектор для ${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$, и единственным собственным вектором для него является ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$.
• Рассмотрим простое число p и группу $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$, поле $K=\mathbb {F} _{p}$и представление $\rho :\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {F} _{p})$ определяется $\rho (n)={\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}}$. Простые расчеты показывают, что у ${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ здесь, таким образом, по тому же аргументу, одномерное подпредставление $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ является уникальным, и $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ не может быть разложено в прямую сумму двух одномерных подпредставлений.

Ссылки

• Ланг, Серж (8 января 2002 г.). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике , 211 (пересмотренное 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-95385-4 . МР   1878556 . Збл   0984.00001 .
• Серр, Жан-Пьер (1 сентября 1977 г.). Линейные представления конечных групп . Тексты для аспирантов по математике , 42 . Нью-Йорк – Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-90190-9 . МР   0450380 . Збл   0355.20006 .
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 .