Простой модуль

В математике , особенно в теории колец , простые модули над кольцом R — это (левые или правые) модули над R , которые ненулевые и не имеют ненулевых собственных подмодулей . Эквивалентно, модуль M является простым тогда и только тогда, когда каждый циклический подмодуль , порожденный ненулевым элементом M , равен M . Простые модули образуют строительные блоки для модулей конечной длины и аналогичны простым группам в теории групп .

статье все модули будут считаться правоединичными модулями над кольцом R. В этой

Примеры [ править ]

Z -модули — это то же самое, что и абелевы группы , поэтому простой Z -модуль — это абелева группа, не имеющая ненулевых собственных подгрупп . Это группы порядка простого . циклические

Если I — правый идеал R . , то I прост как правый модуль тогда и только тогда, когда I — минимальный ненулевой правый идеал: Если M — ненулевой собственный подмодуль I , то он также является правым идеалом , так что я не минимален. И наоборот , если I не является минимальным, то существует ненулевой правый идеал J, содержащийся в I. собственно J — правый подмодуль I , поэтому I не прост.

Если I — правый идеал R , то фактор-модуль R / I прост тогда и только тогда, когда — максимальный правый идеал: Если M — ненулевой собственный подмодуль R / I , то прообраз M I при Факторотображение R → R / I — это правый идеал, который не равен R и собственно I. содержит Следовательно, I не является максимальным. Обратно, если I не является максимальным, то существует правый идеал J, собственно содержащий I . Факторотображение R / I → R / J имеет ненулевое ядро , не равное R / I , и, следовательно, R / I не является простым.

Каждый простой R -модуль изоморфен фактору R / m где m — максимальный правый идеал кольца R. , ^[1]Согласно предыдущему абзацу, любое частное R / m является простым модулем. Обратно, предположим, что M — простой R -модуль. Тогда для любого ненулевого элемента x из M циклический подмодуль xR равен M. должен быть Исправьте такой x . Утверждение, что xR = M , эквивалентно сюръективности гомоморфизма , R → M который переводит r в xr . Ядро этого гомоморфизма является правым идеалом I кольца R , и стандартная теорема утверждает, что M изоморфно R / I . Из предыдущего абзаца мы находим, что I — максимальный правый идеал. Следовательно, M изоморфно фактору R по максимальному правому идеалу.

Если k — поле , а G — группа , то групповое представление G — это левый модуль над групповым кольцом k [ G ] (подробнее об этом отношении см. на главной странице ). ^[2]Простые k [ G ]-модули также известны как неприводимые представления. Основная цель теории представлений — понять неприводимые представления групп.

Основные свойства простых модулей [ править ]

Простые модули — это в точности модули длины 1; это переформулировка определения.

Каждый простой модуль неразложим , но обратное, вообще говоря, неверно.

Любой простой модуль является циклическим , то есть порождается одним элементом.

Не каждый модуль имеет простой подмодуль; рассмотрим, например, Z -модуль Z в свете первого примера выше.

Пусть M и N — (левые или правые) модули над одним и тем же кольцом, и пусть f : M → N — гомоморфизм модулей. Если M простой, то f либо нулевой гомоморфизм, либо инъективен, поскольку ядро f является подмодулем M . Если N простой, то f является либо нулевым гомоморфизмом, либо сюръективным, поскольку f является N подмодулем образ . Если M = N , то f — эндоморфизм M f , а если M простой, то из двух предыдущих утверждений следует, что — либо нулевой гомоморфизм, либо изоморфизм. Следовательно, кольцо эндоморфизмов любого простого модуля является телом . Этот результат известен как лемма Шура .

Обратное утверждение леммы Шура, вообще говоря, неверно. Например, Z -модуль Q не является простым, но его кольцо эндоморфизмов изоморфно полю Q .

Простые модули и серии композиций [ править ]

Если M — модуль, имеющий ненулевой собственный подмодуль N , то существует короткая точная последовательность

0\to N\to M\to M/N\to 0.

Обычный подход к доказательству факта о M состоит в том, чтобы показать, что этот факт верен для центрального члена короткой точной последовательности, когда он верен для левого и правого членов, а затем доказать этот факт для N и M / N . Если N имеет ненулевой собственный подмодуль, то этот процесс можно повторить. Это создает цепочку подмодулей

\cdots \subset M_{2}\subset M_{1}\subset M.

Чтобы доказать этот факт, нужны условия на эту последовательность и на модули / _Mi M i _{+ 1} . Одним из особенно полезных условий является то, что длина последовательности конечна и каждый фактор-модуль M _i / Mi _{+ 1} прост. В этом случае последовательность называется композиционным рядом для M . Чтобы доказать утверждение индуктивно с использованием композиционного ряда, сначала утверждение доказывается для простых модулей, которые образуют базовый случай индукции, а затем доказывается, что утверждение остается верным при расширении модуля простым модулем. Например, лемма Фиттинга показывает, что кольцо эндоморфизмов конечной длины неразложимого модуля является локальным кольцом , так что выполняется сильная теорема Крулла–Шмидта , а категория модулей конечной длины является категорией Крулля–Шмидта .

Теорема Джордана -Гёльдера и теорема уточнения Шрайера описывают отношения между всеми композиционными рядами одного модуля. Группа Гротендика игнорирует порядок в композиционном ряду и рассматривает каждый модуль конечной длины как формальную сумму простых модулей. Для полупростых колец это не является потерей, поскольку каждый модуль является полупростым модулем и, следовательно, представляет собой прямую сумму простых модулей. Теория обычных характеров обеспечивает лучший арифметический контроль и использует простые для модули CG понимания структуры конечных G. групп Теория модульных представлений использует символы Брауэра для рассмотрения модулей как формальных сумм простых модулей, но также интересуется тем, как эти простые модули соединяются вместе в композиционных рядах. Это формализуется путем изучения функтора Ext и описания категории модулей различными способами, включая колчаны (узлы которых представляют собой простые модули, а ребра представляют собой композиционные серии неполупростых модулей длины 2) и теорию Ауслендера – Райтена , где связанный граф имеет вершина для каждого неразложимого модуля.

Теорема Джекобсона плотности

Важным достижением в теории простых модулей стала теорема о плотности Джекобсона . Теорема плотности Джейкобсона гласит:

Пусть U — простой правый R -модуль и D = End _R ( U ). Пусть A — любой D -линейный оператор на U и X — конечное D подмножество U. -линейно независимое Тогда существует элемент r из R такой, что x ⋅ A = x ⋅ r для всех x в X . ^[3]

В частности, любое примитивное кольцо можно рассматривать как (т. е. изоморфное) кольцо D -линейных операторов в некотором D -пространстве.

Следствием теоремы плотности Джекобсона является теорема Веддерберна; а именно, что любое артиново простое справа кольцо изоморфно полному кольцу матриц размера n на n над телом для некоторого n . Это также можно установить как следствие теоремы Артина – Веддерберна .

См. также [ править ]

Полупростые модули — это модули, которые можно записать как сумму простых подмодулей.
Непреодолимый идеал
Неприводимое представление

Ссылки [ править ]

^ Херштейн, Некоммутативная теория колец , Лемма 1.1.3.
^ Серр, Жан-Пьер (1977). Линейные представления конечных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 47 . ISBN 0387901906 . ISSN 0072-5285 . ОСЛК 2202385 .
^ Айзекс, Теорема 13.14, с. 185

[1] Херштейн, Некоммутативная теория колец , Лемма 1.1.3.

[2] Серр, Жан-Пьер (1977). Линейные представления конечных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 47 . ISBN 0387901906 . ISSN 0072-5285 . ОСЛК 2202385 .

[3] Айзекс, Теорема 13.14, с. 185

[1]

[2]

[3]