Категория Крулля – Шмидта

В теории категорий , разделе математики, категория Крулля–Шмидта является обобщением категорий, в которых справедлива теорема Крулля–Шмидта . Они возникают, например, при изучении конечномерных модулей над алгеброй .

Определение

Пусть C — аддитивная категория в более общем смысле, аддитивная R -линейная категория для коммутативного кольца   R. или , Мы называем C категорией Крулля–Шмидта при условии, что каждый объект разлагается в конечную прямую сумму объектов, имеющих локальные кольца эндоморфизмов. Эквивалентно, C имеет расщепляемые идемпотенты , а кольцо эндоморфизмов каждого объекта полусовершенно .

Характеристики

Имеется аналог теоремы Крулля–Шмидта в категориях Крулля–Шмидта:

Объект называется неразложимым , если он не изоморфен прямой сумме двух ненулевых объектов. В категории Крулля-Шмидта мы имеем это

• объект неразложим тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов локально.
• каждый объект изоморфен конечной прямой сумме неразложимых объектов.
• если $X_{1}\oplus X_{2}\oplus \cdots \oplus X_{r}\cong Y_{1}\oplus Y_{2}\oplus \cdots \oplus Y_{s}$ где $X_{i}$ и $Y_{j}$ все неразложимы, то $r=s$, и существует перестановка $\pi$ такой, что $X_{\pi (i)}\cong Y_{i}$ для всех я .

Можно определить колчан Ауслендера–Рейтена категории Крулля–Шмидта.

Примеры

• Абелева категория , в которой каждый объект имеет конечную длину . Сюда входит в качестве частного случая категория конечномерных модулей над алгеброй.
• Категория конечно-порожденных модулей над конечным R -алгебра , где R — коммутативное нётерово полное локальное кольцо .
• Категория когерентных пучков на полном многообразии над алгебраически замкнутым полем .

Не пример

Категория конечно порожденных проективных модулей над целыми числами имеет расщепляемые идемпотенты, и каждый модуль изоморфен конечной прямой сумме копий регулярного модуля, число которых задается рангом . Таким образом, категория имеет единственное разложение на неразложимые, но не является категорией Крулля-Шмидта, поскольку регулярный модуль не имеет локального кольца эндоморфизмов.

См. также

• Колчан
• Конверт Каруби

Ссылки

• Майкл Атья (1956) О теореме Крулля-Шмидта в применении к пучкам Булла. Соц. Математика. Франция 84 , 307–317.
• Хеннинг Краузе, Категории Крулля-Ремака-Шмидта и проективные покрытия , май 2012 г.
• Ирвинг Райнер (2003) Максимальные порядки. Исправленная перепечатка оригинала 1975 года. С предисловием М. Дж. Тейлора. Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, 28. The Clarendon Press, Oxford University Press, Оксфорд. ISBN   0-19-852673-3 .
• Клаус Майкл Рингель (1984) Ручные алгебры и интегральные квадратичные формы , Конспекты лекций по математике 1099 , Springer-Verlag, 1984.