Завершение кольца

В абстрактной алгебре пополнение — это любой из нескольких связанных функторов на кольцах и модулях , которые приводят к полным топологическим кольцам и модулям . Завершение похоже на локализацию , и вместе они являются одними из самых основных инструментов анализа коммутативных колец . Полные коммутативные кольца имеют более простое строение, чем общие, и лемма Гензеля к ним применима . В алгебраической геометрии пополнение кольца функций R в пространстве X концентрируется на формальной окрестности точки X : эвристически это настолько маленькая окрестность, что все ряды Тейлора с центром в этой точке сходятся. Алгебраическое пополнение строится аналогично пополнению метрического пространства последовательностями Коши и согласуется с ним в случае, когда R имеет метрику, заданную неархимедовым абсолютным значением .

Общее строительство

Предположим, что E — абелева группа с убывающей фильтрацией

E=F^{0}E\supset F^{1}E\supset F^{2}E\supset \cdots \,

подгрупп. Затем пополнение (по отношению к фильтрации) определяется как обратный предел :

{\widehat {E}}=\varprojlim (E/F^{n}E)=\left\{\left.({\overline {a_{n}}})_{n\geq 0}\in \prod _{n\geq 0}(E/F^{n}E)\;\right|\;a_{i}\equiv a_{j}{\pmod {F^{i}E}}{\text{ for all }}i\leq j\right\}.\,

Это снова абелева группа. Обычно E — аддитивная абелева группа. Если E имеет дополнительную алгебраическую структуру, совместимую с фильтрацией, например E — фильтрованное кольцо , фильтрованный модуль или фильтрованное векторное пространство , то его пополнение снова является объектом с той же структурой, полным в топологии, определяемой фильтрацией. . Эту конструкцию можно применить как к коммутативным , так и к некоммутативным кольцам . Как и следовало ожидать, при пересечении $F^{i}E$ равно нулю, это дает полное топологическое кольцо .

Топология Крулла

В коммутативной алгебре фильтрация на коммутативном кольце R степеням собственного идеала I определяет Крулля (по Вольфгангу Круллю ) или I - адическую топологию на R. по Случай максимального идеала $I={\mathfrak {m}}$ особенно важен, например, выделенный максимальный идеал кольца нормирования . Базис открытых окрестностей 0 в R задается степенями I ^н, которые вложены и образуют нисходящую фильтрацию на R :

F^{0}R=R\supset I\supset I^{2}\supset \cdots ,\quad F^{n}R=I^{n}.

(Открытые окрестности любого r ∈ R задаются классами r + I ^н ) ( I -адическое) пополнение есть обратный предел факторкольца . ,

{\widehat {R}}_{I}=\varprojlim (R/I^{n})

произносится как «шляпа РИ». Ядро канонического отображения $π$ от кольца до его пополнения есть пересечение степеней I . Таким образом, $π$ инъективно тогда и только тогда, когда это пересечение сводится к нулевому элементу кольца; по теореме Крулля о пересечении это справедливо для любого коммутативного нётерова кольца , которое является областью целостности или локальным кольцом .

Существует родственная топология R - модулей , также называемая Круллом или I -адической топологией. Базис открытых окрестностей модуля M задается множествами вида

x+I^{n}M\quad {\text{for }}x\in M.

-адическое I пополнение R -модуля M есть обратный предел частных

{\widehat {M}}_{I}=\varprojlim (M/I^{n}M).

Эта процедура преобразует любой модуль над R в полный топологический модуль над ${\widehat {R}}_{I}$ . [это вообще неправильно! Это так только в том случае, если идеал конечно порожден.]

Примеры

Кольцо p -адических целых чисел $\mathbb {Z} _{p}$ получается путем завершения кольца $\mathbb {Z}$ целых чисел в идеале ( p ).

Пусть R = K [ x1 _xn ,..., ] _— кольцо многочленов от n переменных над полем K и ${\mathfrak {m}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ — максимальный идеал, порожденный переменными. Тогда завершение ${\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}$ — кольцо K [[ x ₁ ,..., x _n ]] формальных степенных рядов от n переменных над K .

Учитывая нетерово кольцо $R$ и идеал $I=(f_{1},\ldots ,f_{n}),$ тот $I$ -адическое завершение $R$ есть образ кольца формальных степенных рядов, а именно образ сюръекции ^[1]

{\begin{cases}R[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]\to {\widehat {R}}_{I}\\x_{i}\mapsto f_{i}\end{cases}}

Ядро – идеальное

(x_{1}-f_{1},\ldots ,x_{n}-f_{n}).

Пополнения можно использовать и для анализа локальной особенностей схемы структуры . Например, аффинные схемы, связанные с $\mathbb {C} [x,y]/(xy)$ и узловая кубическая плоская кривая $\mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x^{2}(1+x))$ имеют схожие особенности в начале координат при просмотре их графиков (оба выглядят как знак плюса). Заметим, что во втором случае любая окрестность начала координат Зариского по-прежнему остается неприводимой кривой. Если мы используем дополнения, то мы рассматриваем «достаточно маленькую» окрестность, в которой узел имеет два компонента. Взяв локализации этих колец вдоль идеала $(x,y)$ и завершение дает $\mathbb {C} [[x,y]]/(xy)$ и $\mathbb {C} [[x,y]]/((y+u)(y-u))$ соответственно, где $u$ формальный квадратный корень из $x^{2}(1+x)$ в $\mathbb {C} [[x,y]].$ Более явно, степенной ряд:

u=x{\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n+1}.

Поскольку оба кольца задаются пересечением двух идеалов, порожденных однородным многочленом степени 1, мы можем алгебраически видеть, что особенности «выглядят» одинаково. Это связано с тем, что такая схема представляет собой объединение двух неравных линейных подпространств аффинной плоскости.

Характеристики

Пополнение нётерова кольца относительно некоторого идеала является нётеровым кольцом. ^[2]
Пополнение нётерового локального кольца относительно единственного максимального идеала является нётеровым локальным кольцом. ^[3]
Пополнение является функториальной операцией: непрерывное отображение f : R → S топологических колец порождает отображение их пополнений, ${\widehat {f}}:{\widehat {R}}\to {\widehat {S}}.$

Более того, если M и N — два модуля над одним и тем же топологическим кольцом R и f : M → N — непрерывное отображение модулей, то f однозначно продолжается до отображения пополнений:

{\widehat {f}}:{\widehat {M}}\to {\widehat {N}},

где

{\widehat {M}},{\widehat {N}}

модули закончились

{\widehat {R}}.

Пополнение нетерова кольца R это плоский модуль над R. — ^[4]
Пополнение конечно порожденного модуля M над нётеровым кольцом R можно получить расширением скаляров :

{\widehat {M}}=M\otimes _{R}{\widehat {R}}.

Вместе с предыдущим свойством это означает, что функтор пополнения на конечно порожденных R -модулях точен : он сохраняет короткие точные последовательности . В частности, факторизация колец коммутирует с пополнением, а это означает, что для любой фактор R -алгебры

R/I

, существует изоморфизм

{\widehat {R/I}}\cong {\widehat {R}}/{\widehat {I}}.

Структурная теорема Коэна (равнохарактеристический случай). Пусть R — полное локальное нётерово коммутативное кольцо с максимальным идеалом ${\mathfrak {m}}$ и поле вычетов K . Если R содержит поле, то

R\simeq K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I

для некоторого n и некоторого идеала I (Эйзенбуд, теорема 7.7).

См. также

Цитаты

^ «Проект Stacks — Тег 0316» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 14 января 2017 г.
^ Атья и Макдональд 1969 , Теорема 10.26.
^ Атья и Макдональд 1969 , Предложение 10.16. и теорема 10.26.
^ Атья и Макдональд 1969 , Предложение 10.14.

Ссылки

Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Вествью Пресс. ISBN 978-0-201-40751-8 .
Дэвид Эйзенбуд , Коммутативная алгебра. В целях алгебраической геометрии . Тексты для выпускников по математике , 150. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1995. xvi+785 стр. ISBN 0-387-94268-8 ; ISBN 0-387-94269-6 МР 1322960
Фудзивара, Кадзухиро; Габбер, Офер ; Като, Фумихару (2011). «О хаусдорфовых пополнениях коммутативных колец в жесткой геометрии» . Журнал алгебры . 332 (1): 293–321. дои : 10.1016/j.jalgebra.2011.02.001 .

[1] «Проект Stacks — Тег 0316» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 14 января 2017 г.

[2] Атья и Макдональд 1969 , Теорема 10.26.

[3] Атья и Макдональд 1969 , Предложение 10.16. и теорема 10.26.

[4] Атья и Макдональд 1969 , Предложение 10.14.

[1]

[2]

[3]

[4]