В математике бесконечное целое число — это элемент кольца ( иногда произносится как «зи-хэт» или «зед-хэт»).
![{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z}}}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7c0747deb28687ba340c3a988d551469155a250)
где обратный предел
![{\displaystyle \varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8da1307b8e74add8f4cb60e4a06efc25be2cde)
указывает на завершение бесконечное
, индекс
пробегает все простые числа и
— кольцо p -адических целых чисел . Эта группа важна из-за ее связи с теорией Галуа , этальной гомотопической теорией и кольцом аделей . Кроме того, он представляет собой простой и понятный пример проконечной группы .
Строительство [ править ]
Проконечные целые числа
можно построить как набор последовательностей
остатков, представленных как
![{\displaystyle \upsilon =(\upsilon _{1}{\bmod {1}},~\upsilon _{2}{\bmod {2}},~\upsilon _{3}{\bmod {3}} ,~\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa365471ca8ab542016efec560a7d4abc6d986d)
такой, что
![{\displaystyle м\ |\ п\подразумевает \upsilon _ {m} \equiv \ upsilon _ {n} {\bmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/712ce36247e3bcb09f191b6256c24898d5aebcf1)
.
Поточечное сложение и умножение делают его коммутативным кольцом.
Кольцо целых чисел вкладывается в кольцо бесконечных целых чисел посредством канонической инъекции:
![{\displaystyle \eta :\mathbb {Z} \hookrightarrow {\widehat {\mathbb {Z} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0c45a89fb5aa4cb5b99d66d004688d9056b0c8)
где
![{\displaystyle n\mapsto (n{\bmod {1}},n{\bmod {2}},\dots).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edeb6e5a8cee3e865c5c1614d35dcacebe8d74cc)
Она канонична, поскольку удовлетворяет
универсальному свойству проконечных групп , согласно которому для любой проконечной группы
![{\displaystyle H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
и любой групповой гомоморфизм
![{\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8038c4211856116aced38250767d07b0ec4a4dc6)
, существует единственный
непрерывный групповой гомоморфизм
![{\displaystyle g:{\widehat {\mathbb {Z}}}\rightarrow H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f810a32d128c0433668bc78d322a6e93eaf4b2ab)
с
![{\displaystyle f=g\eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3ff8c87661a4a4f4a2b87d139e86170d3d12006)
.
Использование факториальной системы счисления [ править ]
Каждое целое число
имеет уникальное представление в факториальной системе счисления как
![{\displaystyle n=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}i!\qquad {\text{with }}c_{i}\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b6cc24a36e68dfd8b7110e686a245120182bffb)
где
![{\displaystyle 0\leq c_ {i}\leq i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b1dedfc686e031863663efc712355ec5a8f2934)
для каждого
![{\displaystyle я}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
и только конечное число
![{\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef1e9b4e0270189ea89608e6a68cc6d3164eb075)
ненулевые.
Его представление факториала можно записать как
.
Точно так же бесконечное целое число может быть однозначно представлено в факториальной системе счисления как бесконечная строка.
, где каждый
является целым числом, удовлетворяющим
. [1]
Цифры
определить значение модуля бесконечного целого числа
. Более конкретно, существует кольцевой гомоморфизм
отправка
![{\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}\mapsto \sum _{i=1}^{k-1}c_{i}i!\mod k!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c01f85689970ac5a081f4bfe5d7d6b0903af7dca)
Разница между бесконечным целым числом и целым числом состоит в том, что условие «конечного числа ненулевых цифр» опускается, что позволяет его представлению факториального числа иметь бесконечное количество ненулевых цифр.
китайской теоремы об остатках Использование
Другой способ понять конструкцию бесконечных целых чисел — использовать китайскую теорему об остатках . Напомним, что для целого числа
с простой факторизацией
![{\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a0b9fa24964d5354f56263c05bd4b3056ac9d4)
неповторяющихся простых чисел существует
кольцевой изоморфизм
![{\displaystyle \mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}} \times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{k}^{a_{k }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f354e172ff1b60c35eb05cb92bec192bce11aa)
из теоремы. Более того, любая
сюръекция
![{\displaystyle \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8f13873035c9b8716b57a171a15a04ba7c2054)
будет просто отображением основных разложений, где есть индуцированные сюръекции
![{\displaystyle \mathbb {Z} /p_{i}^{a_{i}} \to \mathbb {Z} /p_{i}^{b_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/309fcb547282ed7f6caa4a3df32f782c6fc0546c)
поскольку мы должны иметь
![{\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f253e3b777e5d60cd6926f0e278bed128cda79)
. Должно быть гораздо яснее, что при определении обратного предела проконечных целых чисел мы имеем изоморфизм
![{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ee5a78afe32a9bac736c6fbcff651978e1d2fdd)
с прямым произведением
p -адических целых чисел.
Явно изоморфизм равен
к
![{\displaystyle \phi ((n_{2},n_{3},n_{5},\cdots))(k)=\prod _{q}n_{q}\mod k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ec380143a7de932369f023a8919e06956c42d6)
где
![{\displaystyle q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)
колеблется по всем коэффициентам простой мощности
![{\displaystyle p_{i}^{d_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cbad61e1b83632b179243e662394641718a7e7f)
из
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
, то есть,
![{\ displaystyle k = \ prod _ {i = 1} ^ {l} p_ {i} ^ {d_ {i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24f5539dde9acbe205f6c91a6e19fb329fb2de4)
для некоторых разных простых чисел
![{\displaystyle p_{1},...,p_{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bbea3990b3acd968f304ddfdf2efac963400ae7)
.
Топологические свойства [ править ]
Множество бесконечных целых чисел имеет индуцированную топологию, в которой оно представляет собой компактное хаусдорфово пространство , исходя из того факта, что его можно рассматривать как замкнутое подмножество бесконечного прямого произведения.
![{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\subset \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ae235bd0d3d9c866a91e04fa168122e3ded2b6)
который компактен со своей
топологией произведения по
теореме Тихонова . Обратите внимание на топологию каждой конечной группы.
![{\displaystyle \mathbb {Z} / n\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2120ebbc85f91df66c6de5446367bf9fd620844)
задается как
дискретная топология .
Топология на
можно определить с помощью метрики, [1]
![{\displaystyle d(x,y)={\frac {1}{\min\{k\in \mathbb {Z} _{>0}:x\not \equiv y {\bmod {(k+1) !}}\}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21729f8b5e4b69ae125d8f36566aedc75588d35c)
Поскольку сложение бесконечных целых чисел непрерывно,
— компактная абелева группа по Хаусдорфу, и, следовательно, ее двойственная по Понтрягину группа должна быть дискретной абелевой группой.
Фактически, двойственный Понтрягину
это абелева группа
оснащен дискретной топологией (обратите внимание, что это не топология подмножества, унаследованная от
, который не является дискретным). Двойственный Понтрягину явно строится по функции [2]
![{\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times {\widehat {\mathbb {Z}}}\to U(1),\,(q,a)\mapsto \chi (qa)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16c135aa083e74c3b4d97fabc3368ee26921d59)
где
![{\displaystyle \чи }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656111758322ace96d80a9371771aa6d3de25437)
это персонаж Адель (представлен ниже)
![{\displaystyle \mathbf {A} _ {\mathbb {Q}, f}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6570c187bc253f5d15768f4f4d206741577aab1)
индуцированный
![{\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to U(1),\,\alpha \mapsto e^{2\pi i\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1501475a218e0f9371aac1e68a50fdc1b207ac)
.
[3]
Отношения с Адель [ править ]
Тензорное произведение
— кольцо конечных аделей
![{\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q},f}={\prod _{p}}'\mathbb {Q} _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d693696289ab4b91e15079c318c30fdb3aa61a)
из
![{\displaystyle \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a)
где символ
![{\displaystyle '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/761bf83727fb142497cfbee036fd61b368d4fbf0)
означает
ограниченный продукт . То есть элемент — это последовательность, которая является целой, за исключением конечного числа мест.
[4] Существует изоморфизм
![{\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {R} \times ({\hat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb { В} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/277e092ac5868a38035b7a5a1cd8a073307f8bab)
гомотопий Этала Галуа и теории Приложения в теории
Для алгебраического замыкания
конечного поля
порядка q группа Галуа может быть вычислена явно. Из того факта
где автоморфизмы задаются эндоморфизмом Фробениуса , группой Галуа алгебраического замыкания
задается обратным пределом групп
, поэтому ее группа Галуа изоморфна группе бесконечных целых чисел [5]
![{\displaystyle\operatorname {Гал}({\overline{\mathbf{F}}}_{q}/\mathbf{F}_{q})\cong{\widehat{\mathbb{Z}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4f08b3cbeacc774fb50e699090918d8d2153a8)
что дает вычисление абсолютной
группы Галуа конечного поля.
фундаментальными группами алгебраических торов Связь с этальными
Эту конструкцию можно интерпретировать по-разному. Один из них взят из теории гомотопий Этала , которая определяет фундаментальную группу Этале.
как бесконечное пополнение автоморфизмов
![{\displaystyle \pi _{1}^{et}(X)=\lim _{i\in I}{\text{Aut}}(X_{i}/X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42612814b0ba787d134efaeb03481855c5d9a3d2)
где
![{\displaystyle X_{i}\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f861cefe82cfd39fe6d84cd43964277c54ec00)
это
кавер-версия Etale . Тогда проконечные целые числа изоморфны группе
![{\displayStyle\pi_{1}^{et}({\text{Spec}}(\mathbf{F}_{q}))\cong{\hat{\mathbb{Z}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6801ca1152d96e187306a66af2e7b31e61108a)
из более раннего вычисления проконечной группы Галуа. Кроме того, существует вложение конечных целых чисел в фундаментальную группу Этала алгебраического
тора.
![{\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}\hookrightarrow \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f367353a1cf400b3fb5f03a4157f17e9743c26f)
поскольку накрывающие карты происходят из
полиномиальных отображений
![{\displaystyle (\cdot)^{n}:\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3fc6dd93c3224af61f7e36a12721d4a5091394)
из карты
коммутативных колец
![{\displaystyle f:\mathbb {Z} [x,x^{-1}]\to \mathbb {Z} [x,x^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a285de37cb2ef3aeb20609fc6c797d04a7d9ae7)
отправка
![{\displaystyle x\mapsto x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/098425d2bbb3800078c191d5872c631469a88963)
с
![{\displaystyle \mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcdb2711b0c19dd71924b6ad6118609e5f1bf231)
. Если алгебраический тор рассматривается над полем
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
, то фундаментальная группа Этале
![{\displaystyle \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m}/{\text{Spec(k)}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e295aae9cd4d1bbb83515db485028e1de4573bd)
содержит действие
![{\displaystyle {\text{Гал}}({\overline {k}}/k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ccdb511d817294e08566cd05696f9c477a05238)
а также из
фундаментальной точной последовательности в этальной теории гомотопий.
бесконечные числа целые Теория полей классов и
Теория полей классов — это раздел теории алгебраических чисел, изучающий абелевы расширения поля. Учитывая глобальное поле
, абелианизация ее абсолютной группы Галуа
![{\displaystyle {\text{Гал}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q})^{ab}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb33fc85da4d5b1722ebc835bb20846022aa42d7)
тесно связано с соответствующим кольцом аделей
![{\displaystyle \mathbb {A} _ {\mathbb {Q} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9d3468eef6e7ce070ec0c3125ba4bf03ad145d)
и группа бесконечных целых чисел. В частности, существует карта, называемая
картой Артина. [6]
![{\displaystyle \Psi _{\mathbb {Q} }:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }\to {\text{Гал }}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q})^{ab}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b797f7b98c29ec5c2d0f6f397d4e59799c4f36cd)
что является изоморфизмом. Этот коэффициент можно определить явно как
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }&\cong (\mathbb {R} \times { \hat {\mathbb {Z} }})/\mathbb {Z} \\&={\underset {\leftarrow }{\lim }}\mathbb {(} {\mathbb {R} }/m\mathbb { Z} )\\&={\underset {x\mapsto x^{m}}{\lim }}S^{1}\\&={\hat {\mathbb {Z} }}\end{aligned} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ba1b6902f02a4d8cd6165cb380707bdefd444f)
давая желаемое отношение. Аналогичное утверждение существует и для локальной теории полей классов, поскольку каждое конечное абелево расширение поля
индуцируется из конечного расширения поля
.
Примечания [ править ]
Внешние ссылки [ править ]