Эндоморфизм Фробениуса

В коммутативной алгебре и теории поля ( эндоморфизм Фробениуса в честь Фердинанда Георга Фробениуса ) — специальный эндоморфизм коммутативных колец — с простой характеристикой $p$ важный класс, включающий конечные поля . Эндоморфизм отображает каждый элемент в его $p$ -ю степень. В определенных контекстах это автоморфизм , но в целом это неверно.

Определение [ править ]

Пусть $R$ — коммутативное кольцо с простой характеристикой $p$ ( область целостности например, положительной характеристики всегда имеет простую характеристику). Эндоморфизм Фробениуса F определяется формулой

F(r)=r^{p}

для r в R. всех Он соблюдает умножение R :

F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s),

и $F (1)$ также равно 1. Более того, он также учитывает добавление $R$ . Выражение $(r + s) п$ может быть расширено с помощью биномиальной теоремы . Поскольку $p$ простое, оно делит $p!$ но не любой $вопрос!$ для $q < p$ ; поэтому он разделит числитель , но не знаменатель явной формулы биномиальных коэффициентов

{\frac {p!}{k!(p-k)!}},

если $1 \leq k \leq п - 1$ . Следовательно, коэффициенты всех слагаемых, кроме $r п$ и $с п$ делятся на $p$ и, следовательно, обращаются в нуль. ^[1] Таким образом

F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s).

Это показывает, что F — кольцевой гомоморфизм .

Если $φ : R \to S$ — гомоморфизм колец характеристики $p$ , то

\varphi (x^{p})=\varphi (x)^{p}.

Если $FR —$ и $FS S$ эндоморфизмы Фробениуса $R$ и $,$ то это можно переписать как:

\varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi .

Это означает, что эндоморфизм Фробениуса является естественным преобразованием тождественного функтора в категории характеристических $p$ -колец в самого себя.

Если кольцо $R$ является кольцом без нильпотентных элементов, то эндоморфизм Фробениуса инъективен : $F (r) = 0$ означает $r п = 0$ , что по определению означает, что $r$ нильпотент порядка не выше $p$ . На самом деле это необходимо и достаточно, поскольку если $r$ — любой нильпотент, то одна из его степеней будет нильпотентна порядка не выше $p$ . В частности, если $R$ — поле, то эндоморфизм Фробениуса инъективен.

Морфизм Фробениуса не обязательно сюръективен , даже если $R$ — поле. Например, пусть $K = Fp (элементов вместе с t)$ — конечное поле из $p$ одним трансцендентным элементом ; эквивалентно, $K$ — поле рациональных функций с коэффициентами из $F p$ . Тогда образ $F$ не содержит $t$ . Если бы это было так, то существовала бы рациональная функция $q (t)/ r (t)$ которой $, p$ -я степень $q (t) п / р (т) п$ будет равно $т$ . Но степень этой $p$ -й степени (разница между степенями ее числителя и знаменателя) равна $p deg(q) - p deg(r)$ , что кратно $p$ . В частности, оно не может быть равно 1, что является степенью $t$ . Это противоречие; так что $не$ в образе $F.$ t

Поле $K$ называется совершенным , если оно имеет нулевую характеристику или положительную характеристику и его эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом. Например, все конечные поля совершенны.

эндоморфизма Фробениуса точки Неподвижные

конечное поле $Fp .$ Рассмотрим По малой теореме Ферма каждый элемент $x$ из $F p$ удовлетворяет $x п = х$ . Эквивалентно, это корень многочлена $X п - Х.$ Следовательно, элементы $F p$ определяют $p$ корней этого уравнения, и поскольку это уравнение имеет степень $p,$ оно имеет не более $p$ корней в любом расширении . В частности, если $K$ — алгебраическое расширение $F p$ (такое как алгебраическое замыкание или другое конечное поле), то $F p$ — фиксированное поле автоморфизма Фробениуса $K$ .

Пусть $R$ — кольцо характеристики $p > 0$ . Если $R$ — область целостности, то по тем же соображениям неподвижные точки Фробениуса являются элементами простого поля. Однако если $R$ не является доменом, то $X п - X$ может иметь более $p$ корней; например, это происходит, если $R = F p \times F p$ .

Аналогичным свойством обладает и конечное поле $\mathbf {F} _{p^{n}}$ й n- итерацией автоморфизма Фробениуса: каждый элемент $\mathbf {F} _{p^{n}}$ является корнем $X^{p^{n}}-X$ , поэтому, если $K$ является алгебраическим расширением $\mathbf {F} _{p^{n}}$ и $F$ — автоморфизм Фробениуса $K$ , то фиксированное поле $F н$ является $\mathbf {F} _{p^{n}}$ . Если R — это домен, который является $\mathbf {F} _{p^{n}}$ -алгебры, то неподвижные точки n- й итерации Фробениуса являются элементами образа $\mathbf {F} _{p^{n}}$ .

Итерация карты Фробениуса дает последовательность элементов в $R$ :

x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots .

Эта последовательность итераций используется для определения замыкания Фробениуса и точного замыкания идеала.

Как генератор групп Галуа [ править ]

Группа Галуа расширения конечных полей порождается итерацией автоморфизма Фробениуса. Сначала рассмотрим случай, когда основным полем является простое поле $F p$ . Пусть $F q$ — конечное поле из $q$ элементов, где $q = p н$ . Автоморфизм Фробениуса $F$ группы $F q$ фиксирует простое поле $F p$ , поэтому оно является элементом группы Галуа $Gal(F q / F p)$ . Фактически, поскольку $\mathbf {F} _{q}^{\times }$ является циклическим с q − 1 элементами , мы знаем, что группа Галуа циклическая и $F$ — образующая. Порядок $F$ равен $n,$ потому что $F дж$ действует на элемент $x$ , отправляя его в $x п дж$ , и $x^{p^{j}}=x$ может иметь только $p^{j}$ много корней, так как мы находимся в поле. Каждый автоморфизм $F q$ является степенью $F$ , а образующие - это степени $F я$ с $i$ взаимно простым с $n$ .

Теперь рассмотрим конечное поле $F q ж$ как расширение $F q$ , где $q = p н$ как указано выше. Если $n > 1$ , то автоморфизм Фробениуса $F$ функции $F q ж$ фиксирует не основное поле $F q$ , а его $n-$ ю итерацию $F н$ делает. Группа Галуа $Gal(F q ж / F q)$ является циклическим порядка $f$ и порождается $F н$ . Это подгруппа группы $Gal(F q ж / F p),$ порожденный $F н$ . Генераторы $Gal(F q ж / F q)$ — степени $F в$ где $я$ взаимно прост с $f$ .

Автоморфизм Фробениуса не является генератором абсолютной группы Галуа.

\operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}\right),

потому что эта группа Галуа изоморфна проконечным целым числам

{\widehat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim _{n}\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ,

которые не являются циклическими. Однако, поскольку автоморфизм Фробениуса является генератором группы Галуа каждого конечного расширения $F q$ , он является генератором каждого конечного фактора абсолютной группы Галуа. Следовательно, это топологический генератор в обычной топологии Крулля на абсолютной группе Галуа.

Фробениус за схемы [ править ]

Существует несколько различных способов определения морфизма Фробениуса для схемы . Наиболее фундаментальным является абсолютный морфизм Фробениуса. Однако абсолютный морфизм Фробениуса плохо ведет себя в относительной ситуации, поскольку не обращает внимания на базовую схему. Существует несколько различных способов адаптации морфизма Фробениуса к относительной ситуации, каждый из которых полезен в определенных ситуациях.

Абсолютный Фробениуса морфизм

Предположим, что $X$ — схема характеристики $p > 0$ . Выберите открытое аффинное подмножество $U = Spec A$ of $X$ . Кольцо $A$ является $Fp -$ алгеброй, поэтому оно допускает эндоморфизм Фробениуса. Если $V$ — открытое аффинное подмножество $U$ естественности Фробениуса морфизм Фробениуса на $U$ , ограниченный на $V$ , является морфизмом Фробениуса на $V.$ , то по Следовательно, морфизм Фробениуса склеивается, образуя эндоморфизм $X$ . Этот эндоморфизм называется абсолютным морфизмом Фробениуса X $и$ обозначается $F X$ . По определению, это гомеоморфизм $X$ самого себя. Абсолютный морфизм Фробениуса представляет собой естественное преобразование тождественного функтора на категории $F p$ -схем в самого себя.

Если $X$ — $S-$ схема и морфизм Фробениуса $S$ тождественен, то абсолютный морфизм Фробениуса является морфизмом $S$ -схем. Однако в целом это не так. Например, рассмотрим кольцо $A=\mathbf {F} _{p^{2}}$ . Пусть $X$ и $S$ равны $Spec A,$ причем структурная карта $X \to S$ является тождественной. Морфизм Фробениуса на $A$ переводит $a$ в $a п$ . Это не морфизм $\mathbf {F} _{p^{2}}$ -алгебры. Если бы это было так, то умножив на элемент $b$ в $\mathbf {F} _{p^{2}}$ коммутировал бы с применением эндоморфизма Фробениуса. Но это неправда, потому что:

b\cdot a=ba\neq F(b)\cdot a=b^{p}a.

Первое — это действие $b$ в $\mathbf {F} _{p^{2}}$ -структура алгебры, с которой $начинается А$ , и последняя есть действие $\mathbf {F} _{p^{2}}$ индуцированный Фробениусом. Следовательно, морфизм Фробениуса на $Spec A$ не является морфизмом $\mathbf {F} _{p^{2}}$ -схемы.

Абсолютный морфизм Фробениуса — это чисто неотделимый морфизм степени $p$ . Его дифференциал равен нулю. что для любых двух схем $X$ и $Y$ Он сохраняет продукты, а это означает , $F X \times Y = F X \times F Y$ .

скаляров Фробениуса расширение Ограничение и

Предположим, что $: X \to S —$ структурный морфизм $S$ -схемы $X.$ φ Базовая схема $S$ имеет морфизм Фробениуса F _S . Соединение $φ$ с FS _, приводит к $S$ -схеме X _F названной Фробениусом ограничением скаляров . Ограничение скаляров на самом деле является функтором, поскольку $S$ -морфизм $X \to Y$ индуцирует $S$ -морфизм $X F \to Y F$ .

Например, рассмотрим кольцо A характеристики $p > 0$ и конечно определенную алгебру над A :

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).

Действие A на R определяется следующим образом:

c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum ca_{\alpha }X^{\alpha },

где α — мультииндекс. Пусть $X = R.$ Spec Тогда $X F$ — аффинная схема $Spec R$ , но ее структурный морфизм $Spec R \to Spec A$ и, следовательно, действие A на R различны:

c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum F(c)a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum c^{p}a_{\alpha }X^{\alpha }.

Поскольку ограничение скаляров Фробениусом представляет собой просто композицию, многие свойства $X$ наследуются X _F при соответствующих гипотезах о морфизме Фробениуса. Например, если $X$ и S _F тоже оба относятся к конечному типу, то и X _F .

Расширение скаляров Фробениусом определяется как:

X^{(p)}=X\times _{S}S_{F}.

Проекция на $S-$ фактор делает $X (п)$ S $-$ схема. Если $S$ непонятно из контекста, то $X (п)$ обозначается $X (п / с)$ . Подобно ограничению скаляров, расширение скаляров является функтором: $S$ -морфизм $X \to Y$ определяет $S$ -морфизм $X (п) \to И (п)$ .

Как и раньше, рассмотрим кольцо A и конечно определенную алгебру R над A и снова пусть $X = Spec R.$ , Затем:

X^{(p)}=\operatorname {Spec} R\otimes _{A}A_{F}.

Глобальный раздел $X (п)$ имеет вид:

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }^{p}b_{i},

где α — мультииндекс, а все a _iα и b _i — элемент A . Действие элемента c из A на этом участке:

c\cdot \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}c.

Следовательно, $X (п)$ изоморфен:

\operatorname {Spec} A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),

где, если:

f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },

затем:

f_{j}^{(p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{p}X^{\beta }.

Аналогичное описание справедливо для произвольных A -алгебр R .

Поскольку расширение скаляров представляет собой изменение базы, оно сохраняет пределы и сопутствующие произведения. Это подразумевает, в частности, что если $X$ имеет алгебраическую структуру, определенную в терминах конечных пределов (например, групповую схему), то и $X имеет то же самое. (п)$ . Более того, изменение базы означает, что расширение скаляров сохраняет такие свойства, как конечный тип, конечное представление, разделенность, аффинность и т. д.

Расширение скаляров корректно относительно замены базы: для морфизма $S' \to S$ существует естественный изоморфизм:

X^{(p/S)}\times _{S}S'\cong (X\times _{S}S')^{(p/S')}.

Относительно Фробениуса [ править ]

Пусть $X$ — $S$ -схема со структурным морфизмом $φ$ . Относительный морфизм Фробениуса X $-$ это морфизм:

F_{X/S}:X\to X^{(p)}

определяется универсальным свойством обратного образа $X (п)$ (см. схему выше):

F_{X/S}=(F_{X},\varphi ).

Поскольку абсолютный морфизм Фробениуса естественен, относительный морфизм Фробениуса является морфизмом $S$ -схем.

Рассмотрим, например, A -алгебру:

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).

У нас есть:

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}).

Относительный морфизм Фробениуса — это гомоморфизм $R (п) \to R$ определяется как:

\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{p\alpha }.

Относительный Фробениус совместим с заменой базы в том смысле, что при естественном изоморфизме $X (п / с) \times S S'$ и $(X \times S S') (п / С' )$ , у нас есть:

F_{X/S}\times 1_{S'}=F_{X\times _{S}S'/S'}.

Относительный Фробениус — универсальный гомеоморфизм. Если $X \to S$ — открытое погружение, то оно тождественно. Если $X \to S$ — замкнутое погружение, определяемое идеальным пучком I группы $O S$ , то $X (п)$ определяется идеальным пучком $I п$ а относительный Фробениус — отображение приращения $O S / I п \to О С / И$ .

X неразветвлено над $S$ тогда и только тогда, когда F _{X / S} неразветвлено и тогда и только тогда, когда F _{X / S} — мономорфизм. X эталь над $S$ тогда и только тогда, когда F _{X / S} этальна и тогда и только тогда, когда F _{X / S} является изоморфизмом.

Арифметика Фробениуса [ править ]

Арифметический морфизм Фробениуса S $-схемы$ X $является$ морфизмом:

F_{X/S}^{a}:X^{(p)}\to X\times _{S}S\cong X

определяется:

F_{X/S}^{a}=1_{X}\times F_{S}.

То есть это изменение FS _базы 1 _X. на

Опять же, если:

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F},

тогда арифметика Фробениуса является гомоморфизмом:

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{p}X^{\alpha }.

Если мы перепишем $R (п)$ как:

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),

тогда этот гомоморфизм:

\sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{p}X^{\alpha }.

Геометрический Фробениус [ править ]

Предположим, что абсолютный морфизм Фробениуса группы $S$ обратим с обратным $F_{S}^{-1}$ . Позволять $S_{F^{-1}}$ обозначим $S$ -схему $F_{S}^{-1}:S\to S$ . Тогда существует расширение скаляров $X$ на $F_{S}^{-1}$ :

X^{(1/p)}=X\times _{S}S_{F^{-1}}.

Если:

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),

затем расширяя скаляры на $F_{S}^{-1}$ дает:

R^{(1/p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F^{-1}}.

Если:

f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },

тогда пишем:

f_{j}^{(1/p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{1/p}X^{\beta },

и тогда существует изоморфизм:

R^{(1/p)}\cong A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(1/p)},\ldots ,f_{m}^{(1/p)}).

Геометрический морфизм Фробениуса S $-схемы$ X $является$ морфизмом:

F_{X/S}^{g}:X^{(1/p)}\to X\times _{S}S\cong X

определяется:

F_{X/S}^{g}=1_{X}\times F_{S}^{-1}.

Это базовое изменение $F_{S}^{-1}$ на $1 Х.$

Продолжая наш пример с A и R , приведенный выше, геометрический Фробениус определяется как:

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{1/p}X^{\alpha }.

После переписывания Р ^{(1/ п )} с точки зрения $\{f_{j}^{(1/p)}\}$ , геометрический Фробениус:

\sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{1/p}X^{\alpha }.

Арифметический и геометрический Фробениус Галуа как действия

Предположим, что морфизм Фробениуса группы $S$ является изоморфизмом. Затем он порождает подгруппу группы автоморфизмов $S$ . Если $S = Spec k$ — спектр конечного поля, то его группа автоморфизмов — это группа Галуа поля над простым полем, а морфизм Фробениуса и его обратный являются генераторами группы автоморфизмов. Кроме того, $Х (п)$ и $Х (1/ п)$ может быть отождествлен $X.$ с Арифметические и геометрические морфизмы Фробениуса тогда являются эндоморфизмами $X$ и поэтому приводят к действию группы Галуа k на X .

Рассмотрим множество K -точек $X (K)$ . Этот набор имеет действие Галуа: каждая такая точка x соответствует гомоморфизму $O X \to K$ из структурного пучка в K , который факторизуется через k(x) , поле вычетов в x , а действие Фробениуса на x - это применение морфизма Фробениуса к полю вычетов. Это действие Галуа согласуется с действием арифметики Фробениуса: составной морфизм

{\mathcal {O}}_{X}\to k(x){\xrightarrow {\overset {}{F}}}k(x)

то же самое, что составной морфизм:

{\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {{\overset {}{F}}_{X/S}^{a}}}{\mathcal {O}}_{X}\to k(x)

по определению арифметики Фробениуса. Следовательно, арифметика Фробениуса явно показывает действие группы Галуа на точки как эндоморфизм X .

для полей Фробениус местных

Для неразветвленного конечного расширения $L/K$ локальных полей существует понятие эндоморфизма Фробениуса , которое индуцирует эндоморфизм Фробениуса в соответствующем расширении полей вычетов . ^[2]

Предположим, что $L/K$ — неразветвленное расширение локальных полей с кольцом целых чисел OK _поля K $таким ,$ что поле вычетов, целые числа $K$ по модулю их единственного максимального идеала $φ$ , является конечным полем порядка $q$ , где $q$ — степень простого числа. Если $Φ$ — простое число $L$ , лежащее над $φ$ , то, что $L/K$ неразветвлено, по определению означает, что целые числа $L$ по модулю $Φ$ , поле вычетов $L$ , будут конечным полем порядка $q. ж$ расширение поля вычетов $K$ , где $f$ — степень $L / K$ . Мы можем определить отображение Фробениуса для элементов кольца целых чисел $O L$ группы $L$ как автоморфизм $s Φ$ группы $L$ такой, что

s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi .

Фробениус для глобальных полей [ править ]

В теории алгебраических чисел элементы Фробениуса определяются для расширений $L / K$ глобальных полей , которые являются конечными расширениями Галуа для простых идеалов $Φ$ поля $L$ , неразветвленных в $L / K$ . Поскольку расширение неразветвлено, разложения группа $Φ$ является группой Галуа расширения полей вычетов. Тогда элемент Фробениуса можно определить для элементов кольца целых чисел $L$ , как и в локальном случае, следующим образом:

s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi ,

где $q$ — порядок поля вычетов $O K /(Φ \cap O K)$ .

Лифты Фробениуса соответствуют p-выводам .

Примеры [ править ]

Полином

Икс 5 - х - 1

имеет дискриминант

19 \times 151

,

и поэтому неразветвлен в простом числе 3; присоединение его корня $ρ$ к полю $3$ чисел $Q3 модулю 3. Следовательно ,$ дает неразветвленное расширение $Q3 оно также неприводимо по (ρ)$ поля $Q3 .$ - адических Мы можем найти образ $ρ$ при отображении Фробениуса, найдя ближайший к $ρ корень. 3$ , что мы можем сделать методом Ньютона . получим элемент кольца целых $Z 3 [ρ]$ Таким образом ; это многочлен четвертой степени от $ρ$ с коэффициентами в $3$ -адических целых числах $Z 3$ . по модулю $38$ этот многочлен

\rho ^{3}+3(460+183\rho -354\rho ^{2}-979\rho ^{3}-575\rho ^{4})

.

Это алгебраично над $Q$ и является правильным глобальным образом Фробениуса с точки зрения вложения $Q$ в $Q 3$ ; при этом коэффициенты алгебраические и результат можно выразить алгебраически. Однако они имеют степень 120, порядок группы Галуа, что иллюстрирует тот факт, что явные вычисления гораздо легче выполнить, если $p$ -адических результатов будет достаточно.

Если $L/K$ является абелевым расширением глобальных полей, мы получаем гораздо более сильное сравнение, поскольку оно зависит только от простого числа $в$ базовом поле $K.$ φ В качестве примера рассмотрим расширение $Q (β)$ языка $Q$ , полученное присоединением корня $β,$ удовлетворяющего

\beta ^{5}+\beta ^{4}-4\beta ^{3}-3\beta ^{2}+3\beta +1=0

к $К.$ Это расширение циклическое пятого порядка с корнями

2\cos {\tfrac {2\pi n}{11}}

для целого числа $n$ . Его корни представляют собой полиномы Чебышева от $β$ :

б 2 - 2, б 3 - 3 б, б 5 - 5 б 3 + 5 б

дайте результат отображения Фробениуса для простых чисел 2, 3 и 5 и т. д. для больших простых чисел, не равных 11 или имеющих форму $22 n + 1$ (которые расщепляются). Сразу видно, как отображение Фробениуса дает результат, равный $модулю p$ по $p$ -й степени корня $β$ .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Это известно как мечта первокурсника .
^ Фрелих, А .; Тейлор, MJ (1991). Алгебраическая теория чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 27. Издательство Кембриджского университета . п. 144. ИСБН 0-521-36664-Х . Артикул 0744.11001 .

«Автоморфизм Фробениуса» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
«Эндоморфизм Фробениуса» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Это известно как мечта первокурсника .

[FT144-2] Фрелих, А .; Тейлор, MJ (1991). Алгебраическая теория чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 27. Издательство Кембриджского университета . п. 144. ИСБН 0-521-36664-Х . Артикул 0744.11001 .

[1]

[2]