Полиномы Чебышева

Не путать с дискретными полиномами Чебышева .

График полинома Чебышева первого рода T n(x) с n=5 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Полиномы Чебышева представляют собой две последовательности полиномов , связанных с функциями косинуса и синуса , обозначенные как $T_{n}(x)$ и $U_{n}(x)$. Их можно определить несколькими эквивалентными способами, один из которых начинается с тригонометрических функций :

Полиномы Чебышева первого рода $T_{n}$ определяются:

$$T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ).$$

Аналогично полиномы Чебышева второго рода $U_{n}$ определяются:

$$U_{n}(\cos \theta )\sin \theta =\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}.$$

Эти выражения определяют полиномы в $\cos \theta$ может быть неочевидно на первый взгляд, но следует переписать $\cos(n\theta )$ и $\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}$ используя формулу Муавра или используя формулы суммы углов для $\cos$ и $\sin$ неоднократно. Например, формулы двойного угла , которые следуют непосредственно из формул суммы углов, можно использовать для получения $T_{2}(\cos \theta )=\cos(2\theta )=2\cos ^{2}\theta -1$ и $U_{1}(\cos \theta )\sin \theta =\sin(2\theta )=2\cos \theta \sin \theta$, которые соответственно являются полиномом от $\cos \theta$ и полином в $\cos \theta$ умноженный на $\sin \theta$. Следовательно $T_{2}(x)=2x^{2}-1$ и $U_{1}(x)=2x$.

Важным и удобным свойством Tn _{является то ,} ( x ) что они ортогональны относительно скалярного произведения :

$$\langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\,g(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}},$$

и Un _. ( x ) ортогональны относительно другого аналогичного скалярного произведения, приведенного ниже

Полиномы Чебышева T _n — это многочлены с максимально возможным старшим коэффициентом, абсолютное значение которого на интервале [−1, 1] ограничено 1. Они также являются «экстремальными» полиномами для многих других свойств.

В 1952 году Корнелиус Ланцош показал, что полиномы Чебышева важны в теории приближений для решения линейных систем; корни полиномиальной Tn оптимизации _{, которые также} ( x ) называются узлами Чебышёва , используются в качестве точек совмещения для интерполяции . Полученный интерполяционный полином минимизирует проблему феномена Рунге и обеспечивает приближение, близкое к наилучшему полиномиальному приближению непрерывной функции при максимальной норме , также называемой « минимаксным » критерием. Это приближение приводит непосредственно к методу квадратур Кленшоу – Кертиса .

Эти многочлены были названы в честь Пафнутия Чебышева . Буква Т используется из-за альтернативной транслитерации имени Чебышев как Чебышев , Чебышев (французский) или Чебышев (немецкий).

Определения

Определение повторения

График первых пяти T _n полиномов Чебышева (первого рода)

Полиномы Чебышева первого рода получаются из рекуррентного соотношения :

$${\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}$$

Рекуррентность также позволяет представить их явно как определитель трехдиагональной матрицы размера $k\times k$:

$$T_{k}(x)=\det {\begin{bmatrix}x&1&0&\cdots &0\\1&2x&1&\ddots &\vdots \\0&1&2x&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&1&2x\end{bmatrix}}$$

Обычная производящая функция для T _n :

$$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.$$

Есть несколько других производящих функций для полиномов Чебышева; экспоненциальная производящая функция :

$$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{2}}\!\left(e^{t\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}+e^{t\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}\right)=e^{tx}\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right).$$

Производящая функция, актуальная для двумерной теории потенциала и мультипольного расширения :

$$\sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}(x)\,{\frac {t^{n}}{n}}=\ln \left({\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}\right).$$

График первых пяти полиномов _{Чебышева} (второго рода)

Полиномы Чебышева второго рода определяются рекуррентным соотношением:

$${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2x\,U_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}$$

Обратите внимание, что два набора рекуррентных отношений идентичны, за исключением $T_{1}(x)=x$ против. $U_{1}(x)=2x$. Обычная производящая функция Un _для :

$$\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}},$$

и экспоненциальная производящая функция:

$$\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{tx}\!\left(\!\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\sinh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\!\right).$$

Тригонометрическое определение

Как описано во введении, полиномы Чебышева первого рода можно определить как уникальные полиномы, удовлетворяющие:

$$T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos x)&{\text{ if }}~|x|\leq 1\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)&{\text{ if }}~x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\operatorname {arcosh} (-x))&{\text{ if }}~x\leq -1\end{cases}}$$

или, другими словами, как уникальные многочлены, удовлетворяющие:

$$T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )$$

для n = 0, 1, 2, 3, … .

Полиномы второго рода удовлетворяют:

$$U_{n-1}(\cos \theta )\sin \theta =\sin(n\theta ),$$

или

$$U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\,\theta {\big )}}{\sin \theta }},$$

которое структурно очень похоже на ядро ​​Дирихле D _n ( x ) :

$$D_{n}(x)={\frac {\sin \left((2n+1){\dfrac {x}{2}}\,\right)}{\sin {\dfrac {x}{2}}}}=U_{2n}\!\!\left(\cos {\frac {x}{2}}\right).$$

(Ядро Дирихле, по сути, совпадает с тем, что сейчас известно как полином Чебышева четвертого рода .)

Эквивалентный способ выразить это — возвести в степень комплексное число : дано комплексное число z = a + bi с абсолютным значением, равным единице:

$$z^{n}=T_{n}(a)+ibU_{n-1}(a).$$

В таком виде полиномы Чебышева можно определить при изучении тригонометрических полиномов .

То, что cos nx является полиномом n-й степени от cos x , можно увидеть, заметив, что cos nx является действительной частью одной стороны формулы де Муавра :

$$\cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.$$

Действительная часть другой стороны представляет собой полином от cos x и sin x , в котором все степени и , следовательно sin x четны , заменяемы тождеством cos ² х + грех ² х знак равно 1 . По тем же соображениям sin nx — это мнимая часть многочлена, в которой все степени sin x нечетны , один множитель sin x и, таким образом, если выбросить , остальные множители можно заменить, чтобы получить ( n −1 ) полином первой степени по cos x .

Определение

Полиномы Чебышева также можно охарактеризовать следующей теоремой:

Если $F_{n}(x)$ представляет собой семейство монических полиномов с коэффициентами в поле характеристики $0$ такой, что $\deg F_{n}(x)=n$ и $F_{m}(F_{n}(x))=F_{n}(F_{m}(x))$ для всех $m$ и $n$, то с точностью до простой замены переменных либо $F_{n}(x)=x^{n}$ для всех $n$ или $F_{n}(x)=2\cdot T_{n}(x/2)$ для всех $n$.

Определение уравнения Пелла

Полиномы Чебышева также можно определить как решения уравнения Пелля :

$$T_{n}(x)^{2}-\left(x^{2}-1\right)U_{n-1}(x)^{2}=1$$

в кольце R [ x ] . Таким образом, их можно сгенерировать стандартным для уравнений Пелля методом возведения степеней фундаментального решения:

$$T_{n}(x)+U_{n-1}(x)\,{\sqrt {x^{2}-1}}=\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n}~.$$

двумя видами полиномов

Полиномы Чебышева первого и второго рода соответствуют дополнительной паре последовательностей Люка Ṽ _n ( P , Q ) и Ũ _n ( P , Q ) с параметрами P = 2 x и Q = 1 :

$${\begin{aligned}{\tilde {U}}_{n}(2x,1)&=U_{n-1}(x),\\{\tilde {V}}_{n}(2x,1)&=2\,T_{n}(x).\end{aligned}}$$

Отсюда следует, что они также удовлетворяют паре взаимных рекуррентных уравнений:

$${\begin{aligned}T_{n+1}(x)&=x\,T_{n}(x)-(1-x^{2})\,U_{n-1}(x),\\U_{n+1}(x)&=x\,U_{n}(x)+T_{n+1}(x).\end{aligned}}$$

Второй из них можно переставить, используя определение рекуррентности для полиномов Чебышева второго рода, чтобы получить:

$$T_{n}(x)={\frac {1}{2}}{\big (}U_{n}(x)-U_{n-2}(x){\big )}.$$

Итеративное использование этой формулы дает формулу суммы:

$$U_{n}(x)={\begin{cases}2\sum _{{\text{ odd }}j}^{n}T_{j}(x)&{\text{ for odd }}n.\\2\sum _{{\text{ even }}j}^{n}T_{j}(x)+1&{\text{ for even }}n,\end{cases}}$$

при замене $U_{n}(x)$ и $U_{n-2}(x)$ используя формулу производной для $T_{n}(x)$ дает рекуррентное соотношение для производной $T_{n}$:

$$2\,T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n-1}(x),\qquad n=2,3,\ldots$$

Это соотношение используется в спектральном методе Чебышева решения дифференциальных уравнений.

Неравенства Турана для полиномов Чебышева:

$${\begin{aligned}T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)\,T_{n+1}(x)&=1-x^{2}>0&&{\text{ for }}-1<x<1&&{\text{ and }}\\U_{n}(x)^{2}-U_{n-1}(x)\,U_{n+1}(x)&=1>0~.\end{aligned}}$$

Интегральные ​ отношения

$${\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {T_{n}(y)}{y-x}}\,{\frac {\mathrm {d} y}{\sqrt {1-y^{2}}}}&=\pi \,U_{n-1}(x)~,\\[1.5ex]\int _{-1}^{1}{\frac {U_{n-1}(y)}{y-x}}\,{\sqrt {1-y^{2}}}\mathrm {d} y&=-\pi \,T_{n}(x)\end{aligned}}$$

где интегралы рассматриваются как главное значение.

Явные выражения

Различные подходы к определению полиномов Чебышева приводят к разным явным выражениям. Тригонометрическое определение дает явную формулу следующего вида:

$${\begin{aligned}T_{n}(x)&={\begin{cases}\cos(n\arccos x)\qquad \quad &{\text{ for }}~-1\leq x\leq 1\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)\qquad \quad &{\text{ for }}~1\leq x\\(-1)^{n}\cosh {\big (}n\operatorname {arcosh} (-x){\big )}\qquad \quad &{\text{ for }}~x\leq -1\end{cases}}\end{aligned}}$$

Из этой тригонометрической формы определение рекуррентности можно восстановить путем непосредственного вычисления того, что выполняются базовые случаи:

$$T_{0}(\cos \theta )=\cos(0\theta )=1$$

и

$$T_{1}(\cos \theta )=\cos \theta ,$$

и что тождество произведения к сумме сохраняется:

$$2\cos n\theta \cos \theta =\cos \lbrack (n+1)\theta \rbrack +\cos \lbrack (n-1)\theta \rbrack .$$

Используя определение возведения в степень комплексного числа полинома Чебышева, можно вывести следующее выражение:

$$T_{n}(x)={\dfrac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}+{\Big (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}{\bigg )}\qquad {\text{ for }}~x\in \mathbb {R}$$

$$T_{n}(x)={\dfrac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}+{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{-n}{\bigg )}\qquad {\text{ for }}~x\in \mathbb {R}$$

Эти два эквивалента эквивалентны, потому что $(x+{\sqrt {x^{2}-1}})(x-{\sqrt {x^{2}-1}})=1$.

Явный вид полинома Чебышева через мономы x ^к следует из формулы Муавра :

$$T_{n}(\cos(\theta ))=\operatorname {Re} (\cos n\theta +i\sin n\theta )=\operatorname {Re} ((\cos \theta +i\sin \theta )^{n}),$$

где Re обозначает действительную часть комплексного числа. Развернув формулу, получим:

$$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\sum \limits _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}i^{j}\sin ^{j}\theta \cos ^{n-j}\theta .$$

Действительная часть выражения получается из слагаемых, соответствующих четным индексам. Отмечая $i^{2j}=(-1)^{j}$ и $\sin ^{2j}\theta =(1-\cos ^{2}\theta )^{j}$, получим явную формулу:

$$\cos n\theta =\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}(\cos ^{2}\theta -1)^{j}\cos ^{n-2j}\theta ,$$

что, в свою очередь, означает, что:

$$T_{n}(x)=\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}(x^{2}-1)^{j}x^{n-2j}.$$

Это можно записать как ₂ F ₁ гипергеометрическую функцию :

$${\begin{aligned}T_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&={\frac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\qquad \qquad {\text{ for }}~n>0\\\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\qquad \qquad ~{\text{ for }}~n>0\\\\&={}_{2}F_{1}\!\left(-n,n;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right)\\\end{aligned}}$$

с обратным:

$$x^{n}=2^{1-n}\mathop {{\sum }'} _{j=0 \atop j\,\equiv \,n{\pmod {2}}}^{n}\!\!{\binom {n}{\tfrac {n-j}{2}}}\!\;T_{j}(x),$$

где штрих перед символом суммирования указывает, что вклад j = 0 необходимо уменьшить вдвое, если он появится.

Родственное выражение для T _n как суммы мономов с биномиальными коэффициентами и степенями двойки:

$$T_{n}\left(x\right)=\sum \limits _{m=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }\left(-1\right)^{m}\left({\binom {n-m}{m}}+{\binom {n-m-1}{n-2m}}\right)\cdot 2^{n-2m-1}\cdot x^{n-2m}.$$

Аналогично Un _: можно выразить через гипергеометрические функции

$${\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}-\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}~n>0\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}~n>0\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}&{\text{ for }}~n>0\\&=(n+1)\ {}_{2}F_{1}\left(-n,n+2;{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right).\\\end{aligned}}$$

Свойства

Симметрия

$${\begin{aligned}T_{n}(-x)&=(-1)^{n}\,T_{n}(x)={\begin{cases}T_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ even}}\\-T_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ odd}}\end{cases}}\\\\U_{n}(-x)&=(-1)^{n}\,U_{n}(x)={\begin{cases}U_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ even}}\\-U_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ odd}}\end{cases}}\end{aligned}}$$

То есть полиномы Чебышева четного порядка обладают четной симметрией и, следовательно, содержат только четные степени x . Полиномы Чебышева нечетного порядка обладают нечетной симметрией и поэтому содержат только нечетные степени x .

Корни и экстремумы

Полином Чебышева любого вида со степенью n имеет n различных простых корней , называемых корнями Чебышева , в интервале [−1, 1] . Корни полинома Чебышева первого рода иногда называют узлами Чебышева, поскольку они используются в качестве узлов при полиномиальной интерполяции. Используя тригонометрическое определение и тот факт, что:

$$\cos \left((2k+1){\frac {\pi }{2}}\right)=0$$

можно показать, что корни T _n :

$$x_{k}=\cos \left({\frac {\pi (k+1/2)}{n}}\right),\quad k=0,\ldots ,n-1.$$

, корни Un _: Аналогично

$$x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.$$

Экстремумы на T ≤ _n интервале −1 ≤ x 1 расположены в точках:

$$x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n.$$

Одним из уникальных свойств полиномов Чебышева первого рода является то, что на интервале −1 ≤ x ≤ 1 все экстремумы имеют значения либо −1, либо 1. Таким образом, эти полиномы имеют только два конечных критических значения , что является определяющим свойством Полиномы Шабата . И первый, и второй виды полинома Чебышева имеют экстремумы в конечных точках, определяемые формулой:

$${\begin{aligned}T_{n}(1)&=1\\T_{n}(-1)&=(-1)^{n}\\U_{n}(1)&=n+1\\U_{n}(-1)&=(-1)^{n}(n+1).\end{aligned}}$$

Экстремумы ​ ​ $T_{n}(x)$ на интервале $-1\leq x\leq 1$ где $n>0$ расположены в $n+1$ значения $x$. Они есть $\pm 1$, или $\cos \left({\frac {2\pi k}{d}}\right)$ где $d>2$, $d\;|\;2n$, $0<k<d/2$ и $(k,d)=1$, то есть, $k$ и $d$ являются относительно простыми числами.

Конкретно, когда $n$ четный:

• $T_{n}(x)=1$ если $x=\pm 1$, или $d>2$ и $2n/d$ четный. Есть $n/2+1$ такие ценности $x$.
• $T_{n}(x)=-1$ если $d>2$ и $2n/d$ странно. Есть $n/2$ такие ценности $x$.

Когда $n$ странно:

• $T_{n}(x)=1$ если $x=1$, или $d>2$ и $2n/d$ четный. Есть $(n+1)/2$ такие ценности $x$.
• $T_{n}(x)=-1$ если $x=-1$, или $d>2$ и $2n/d$ странно. Есть $(n+1)/2$ такие ценности $x$.

Этот результат был обобщен на решения $U_{n}(x)\pm 1=0$, и чтобы $V_{n}(x)\pm 1=0$ и $W_{n}(x)\pm 1=0$ для полиномов Чебышева третьего и четвертого рода соответственно.

Дифференциация и интеграция

Производные полиномов могут быть непростыми. Дифференцируя полиномы в их тригонометрических формах, можно показать, что:

$${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} T_{n}}{\mathrm {d} x}}&=nU_{n-1}\\{\frac {\mathrm {d} U_{n}}{\mathrm {d} x}}&={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=n\,{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n\,{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\end{aligned}}$$

Последние две формулы могут быть затруднительными в числовом отношении из-за деления на ноль ( 0/0 неопределенной x формы при , в частности ) = 1 и x = −1 . По правилу Лопиталя :

$${\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=1}\!\!&={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}},\\\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=-1}\!\!&=(-1)^{n}{\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}.\end{aligned}}$$

В более общем смысле,

$$\left.{\frac {d^{p}T_{n}}{dx^{p}}}\right|_{x=\pm 1}\!\!=(\pm 1)^{n+p}\prod _{k=0}^{p-1}{\frac {n^{2}-k^{2}}{2k+1}}~,$$

что очень полезно при численном решении задач на собственные значения .

Также у нас есть:

$${\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} x^{p}}}\,T_{n}(x)=2^{p}\,n\mathop {{\sum }'} _{0\leq k\leq n-p \atop k\,\equiv \,n-p{\pmod {2}}}{\binom {{\frac {n+p-k}{2}}-1}{\frac {n-p-k}{2}}}{\frac {\left({\frac {n+p+k}{2}}-1\right)!}{\left({\frac {n-p+k}{2}}\right)!}}\,T_{k}(x),~\qquad p\geq 1,$$

где штрих перед символами суммирования означает, что член, вносимый k = 0, должен быть уменьшен вдвое, если он появляется.

Что касается интегрирования, первая производная T _n означает, что:

$$\int U_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {T_{n+1}}{n+1}}$$

а рекуррентное соотношение для полиномов первого рода, включающих производные, устанавливает, что для n ≥ 2 :

$$\int T_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {T_{n+1}}{n+1}}-{\frac {T_{n-1}}{n-1}}\right)={\frac {n\,T_{n+1}}{n^{2}-1}}-{\frac {x\,T_{n}}{n-1}}.$$

Последнюю формулу можно дополнительно манипулировать, чтобы выразить интеграл от T _n как функцию только полиномов Чебышева первого рода:

$${\begin{aligned}\int T_{n}\,\mathrm {d} x&={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{n-1}}T_{1}T_{n}\\&={\frac {n}{n^{2}-1}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,(T_{n+1}+T_{n-1})\\&={\frac {1}{2(n+1)}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,T_{n-1}.\end{aligned}}$$

Кроме того, у нас есть:

$$\int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {(-1)^{n}+1}{1-n^{2}}}&{\text{ if }}~n\neq 1\\0&{\text{ if }}~n=1.\end{cases}}$$

полиномов

Полиномы Чебышева первого рода удовлетворяют соотношению:

$$T_{m}(x)\,T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}\!\left(T_{m+n}(x)+T_{|m-n|}(x)\right)\!,\qquad \forall m,n\geq 0,$$

что легко доказывается из формулы произведения на сумму для косинуса:

$$2\cos \alpha \,\cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ).$$

При n = 1 это приводит к уже известной рекуррентной формуле, просто устроенной по-другому, а при n = 2 она образует рекуррентное соотношение для всех четных или всех нечетных полиномов Чебышева с индексом (в зависимости от четности наименьшего m ), что подразумевает четность или нечетность этих полиномов. Из этого разложения произведения можно вывести еще три полезные формулы для оценки полиномов Чебышева:

$${\begin{aligned}T_{2n}(x)&=2\,T_{n}^{2}(x)-T_{0}(x)&&=2T_{n}^{2}(x)-1,\\T_{2n+1}(x)&=2\,T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2\,T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-x,\\T_{2n-1}(x)&=2\,T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2\,T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-x.\end{aligned}}$$

Полиномы второго рода удовлетворяют аналогичному соотношению:

$$T_{m}(x)\,U_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(U_{m+n}(x)+U_{n-m}(x)\right),&~{\text{ if }}~n\geq m-1,\\\\{\frac {1}{2}}\left(U_{m+n}(x)-U_{m-n-2}(x)\right),&~{\text{ if }}~n\leq m-2.\end{cases}}$$

(с определением U ₋₁ ≡ 0 по соглашению). Они также удовлетворяют:

$$U_{m}(x)\,U_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\,U_{m-n+2k}(x)=\sum _{\underset {\text{ step 2 }}{p=m-n}}^{m+n}U_{p}(x)~.$$

для м ≥ п .Для n = 2 эта повторяемость сводится к:

$$U_{m+2}(x)=U_{2}(x)\,U_{m}(x)-U_{m}(x)-U_{m-2}(x)=U_{m}(x)\,{\big (}U_{2}(x)-1{\big )}-U_{m-2}(x)~,$$

который устанавливает четность или нечетность четных или нечетных индексированных полиномов Чебышева второго рода в зависимости от того, начинается ли m с 2 или с 3.

Свойства состава и делимости

Тригонометрические определения T _n и Un _{подразумевают} свойства композиции или вложенности:

$${\begin{aligned}T_{mn}(x)&=T_{m}(T_{n}(x)),\\U_{mn-1}(x)&=U_{m-1}(T_{n}(x))U_{n-1}(x).\end{aligned}}$$

Для T _mn порядок композиции может быть изменен на обратный, в результате чего семейство полиномиальных функций T _n полугруппой коммутативной станет относительно композиции.

Поскольку T _m ( x ) делится на x , если m нечетно, отсюда следует, что T _mn ( x ) делится на T _n ( x ), если m нечетно. Кроме того, U _{mn −1} ( x ) делится на U _{n −1} ( x ) , а в случае, когда m четное, делится на T _n ( x ) U _{n −1} ( x ) .

Ортогональность

И Tn _, и Un _{образуют} последовательность ортогональных многочленов . Полиномы первого рода T _n ортогональны по весу:

$${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},$$

на интервале [−1, 1] , т.е. имеем:

$$\int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,T_{m}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~n\neq m,\\[5mu]\pi &~{\text{ if }}~n=m=0,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ if }}~n=m\neq 0.\end{cases}}$$

Это можно доказать, полагая x = cos θ и используя определяющее тождество T _n (cos θ ) = cos( nθ ) .

Аналогично многочлены второго рода Un _: ортогональны по весу

$${\sqrt {1-x^{2}}}$$

на интервале [−1, 1] , т.е. имеем:

$$\int _{-1}^{1}U_{n}(x)\,U_{m}(x)\,{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~n\neq m,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ if }}~n=m.\end{cases}}$$

(Мера √ 1 − x ² d x — с точностью до нормализующей константы распределение полукруга Вигнера .)

Эти свойства ортогональности следуют из того факта, что полиномы Чебышева решают дифференциальные уравнения Чебышева :

$${\begin{aligned}(1-x^{2})T_{n}''-xT_{n}'+n^{2}T_{n}&=0,\\[1ex](1-x^{2})U_{n}''-3xU_{n}'+n(n+2)U_{n}&=0,\end{aligned}}$$

которые представляют собой дифференциальные уравнения Штурма–Лиувилля . Общей чертой таких дифференциальных уравнений является наличие выделенного ортонормированного набора решений. (Другой способ определить полиномы Чебышева — это решения этих уравнений .)

T : _n также удовлетворяет дискретному условию ортогональности

$$\sum _{k=0}^{N-1}{T_{i}(x_{k})\,T_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\neq j,\\[5mu]N&~{\text{ if }}~i=j=0,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&~{\text{ if }}~i=j\neq 0,\end{cases}}$$

где N — любое целое число, большее max( i , j ) , а x _k — это N узлов Чебышева (см. выше) T _N ( x ) :

$$x_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {2k+1}{2N}}\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots ,N-1.$$

Для многочленов второго рода и любого целого числа N > i + j с одинаковыми узлами Чебышева x _k существуют аналогичные суммы:

$$\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})\left(1-x_{k}^{2}\right)}={\begin{cases}0&{\text{ if }}~i\neq j,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&{\text{ if }}~i=j,\end{cases}}$$

и без весовой функции:

$$\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]N\cdot (1+\min\{i,j\})&~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}$$

Для любого целого числа > i + j на основе N нулей UN _N ( x ) :

$$y_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {k+1}{N+1}}\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots ,N-1,$$

можно получить сумму:

$$\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})(1-y_{k}^{2})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]{\frac {N+1}{2}}&~{\text{ if }}i=j,\end{cases}}$$

и снова без весовой функции:

$$\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]{\bigl (}\min\{i,j\}+1{\bigr )}{\bigl (}N-\max\{i,j\}{\bigr )}&~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}$$

Минимальная ∞ -норма

Для любого заданного n ≥ 1 среди многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 ( монические многочлены):

$$f(x)={\frac {1}{\,2^{n-1}\,}}\,T_{n}(x)$$

это тот, у которого максимальное абсолютное значение на интервале [−1, 1] минимально.

Это максимальное абсолютное значение равно:

$${\frac {1}{2^{n-1}}}$$

и | ж ( Икс ) | достигает этого максимума ровно n + 1 раз при:

$$x=\cos {\frac {k\pi }{n}}\quad {\text{for }}0\leq k\leq n.$$

Доказательство

Предположим, что w _n ( x ) — многочлен степени n со старшим коэффициентом 1 с максимальным абсолютным значением на интервале [−1, 1] меньше 1/2. ^{п - 1} .

Определять

$$f_{n}(x)={\frac {1}{\,2^{n-1}\,}}\,T_{n}(x)-w_{n}(x)$$

Поскольку в крайних точках T _n имеем

$${\begin{aligned}|w_{n}(x)|&<\left|{\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)\right|\\f_{n}(x)&>0\qquad {\text{ for }}~x=\cos {\frac {2k\pi }{n}}~&&{\text{ where }}0\leq 2k\leq n\\f_{n}(x)&<0\qquad {\text{ for }}~x=\cos {\frac {(2k+1)\pi }{n}}~&&{\text{ where }}0\leq 2k+1\leq n\end{aligned}}$$

Из о промежуточном значении теоремы f _n ( x ) имеет по крайней мере n корней. Однако это невозможно, поскольку f _n ( x ) — многочлен степени n − 1 , поэтому из фундаментальной теоремы алгебры следует, что он имеет не более n − 1 корней.

Примечание

По теореме об равноколебании среди всех полиномов степени ≤ n полином f минимизирует ‖   f   ‖ _∞ на [−1, 1] тогда и только тогда, когда существует n + 2 точки −1 ≤ x ₀ < x ₁ < ⋯ < x _{n + 1} ≤ 1 такое, что |   ж ( Икс _я ) | знак равно ‖   ж   ‖ _∞ .

Конечно, нулевой полином на интервале [−1, 1] может быть аппроксимирован сам по себе и минимизирует ∞ -норму.

Однако выше |   ж   | достигает своего максимума только n + 1 раз, поскольку мы ищем лучший многочлен степени n ≥ 1 (поэтому приведенную ранее теорему использовать нельзя).

более общих

Полиномы Чебышева являются частным случаем ультрасферических полиномов или полиномов Гегенбауэра. $C_{n}^{(\lambda )}(x)$, которые сами по себе являются частным случаем полиномов Якоби $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)$:

$${\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {n}{2}}\lim _{q\to 0}{\frac {1}{q}}\,C_{n}^{(q)}(x)\qquad ~{\text{ if }}~n\geq 1,\\&={\frac {1}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {2^{2n}}{\binom {2n}{n}}}P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)~,\\[2ex]U_{n}(x)&=C_{n}^{(1)}(x)\\&={\frac {n+1}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {2^{2n+1}}{\binom {2n+2}{n+1}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)~.\end{aligned}}$$

Полиномы Чебышева также являются частным случаем полиномов Диксона :

$$D_{n}(2x\alpha ,\alpha ^{2})=2\alpha ^{n}T_{n}(x)\,$$

$$E_{n}(2x\alpha ,\alpha ^{2})=\alpha ^{n}U_{n}(x).\,$$

В частности, когда $\alpha ={\tfrac {1}{2}}$, они связаны соотношением $D_{n}(x,{\tfrac {1}{4}})=2^{1-n}T_{n}(x)$ и $E_{n}(x,{\tfrac {1}{4}})=2^{-n}U_{n}(x)$.

Другая недвижимость

Кривые, заданные y = T _n ( x ) или, что эквивалентно, параметрическими уравнениями y = T _n (cos θ ) = cos nθ , x = cos θ , являются частным случаем кривых Лиссажу с отношением частот, равным n .

Аналогично формуле:

$$T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ),$$

имеем аналогичную формулу:

$$T_{2n+1}(\sin \theta )=(-1)^{n}\sin \left(\left(2n+1\right)\theta \right).$$

Для х ≠ 0 :

$$T_{n}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)={\frac {x^{n}+x^{-n}}{2}}$$

и:

$$x^{n}=T_{n}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)+{\frac {x-x^{-1}}{2}}\ U_{n-1}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right),$$

что следует из того, что это справедливо по определению для x = e ^я .

Примеры

Первый вид

Первые несколько полиномов Чебышева первого рода в области −1 < x < 1 : плоскость T ₀ , T ₁ , T ₂ , T ₃ , T ₄ и T ₅ .

Первые несколько полиномов Чебышева первого рода — это OEIS : A028297.

$${\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\T_{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\T_{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\T_{9}(x)&=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\\T_{10}(x)&=512x^{10}-1280x^{8}+1120x^{6}-400x^{4}+50x^{2}-1\end{aligned}}$$

Второй вид

Первые несколько полиномов Чебышева второго рода в области −1 < x < 1 : плоскость U ₀ , U ₁ , U ₂ , U ₃ , U ₄ и U ₅ . Хотя это и не видно на изображении, U _n (1) = n + 1 и U _n (−1) = ( n + 1)(−1) ^н .

Первые несколько полиномов Чебышева второго рода — это OEIS : A053117.

$${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\U_{4}(x)&=16x^{4}-12x^{2}+1\\U_{5}(x)&=32x^{5}-32x^{3}+6x\\U_{6}(x)&=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\\U_{7}(x)&=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\\U_{8}(x)&=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\\U_{9}(x)&=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x\\U_{10}(x)&=1024x^{10}-2304x^{8}+1792x^{6}-560x^{4}+60x^{2}-1\end{aligned}}$$

В качестве базового набора

Негладкая функция (вверху) y = − x ³ H (− x ) , где H — ступенчатая функция Хевисайда , и (внизу) 5-я частичная сумма ее разложения Чебышева. 7-я сумма неотличима от исходной функции при разрешении графика.

В соответствующем пространстве Соболева набор полиномов Чебышёва образует ортонормированный базис , так что функция в том же пространстве может быть выражена при −1 ≤ x ≤ 1 через разложение:

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x).$$

Более того, как упоминалось ранее, полиномы Чебышева образуют могут быть легко _{ортогональный базис, который (среди прочего) подразумевает, что коэффициенты n} определены с помощью скалярного произведения . Эта сумма называется рядом Чебышева или разложением Чебышева .

Поскольку ряд Чебышева связан с косинусным рядом Фурье заменой переменных, все теоремы, тождества и т. д., применимые к рядам Фурье, имеют аналог Чебышева. Эти атрибуты включают в себя:

• Полиномы Чебышева образуют полную ортогональную систему.
• Ряд Чебышева сходится к f ( x ), если функция кусочно гладкая и непрерывная . Требование гладкости в большинстве случаев можно ослабить – при условии, что существует конечное число разрывов в f ( x ) и ее производных.
• При разрыве ряд сходится к среднему значению правого и левого пределов.

Обилие теорем и тождеств, унаследованных от рядов Фурье, делают полиномы Чебышева важным инструментом численного анализа ; например, это самые популярные базисные функции общего назначения, используемые в спектральном методе . часто в пользу тригонометрических рядов из-за более быстрой сходимости непрерывных функций ( феномен Гиббса все еще остается проблемой).

Пример 1

Рассмотрим разложение Чебышева log(1 + x ) . Можно выразить:

$$\log(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)~.$$

можно найти Коэффициенты n _. либо с помощью скалярного произведения, либо с помощью условия дискретной ортогональности Для внутреннего продукта:

$$\int _{-1}^{+1}\,{\frac {T_{m}(x)\,\log(1+x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\int _{-1}^{+1}{\frac {T_{m}(x)\,T_{n}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x,$$

что дает:

$$a_{n}={\begin{cases}-\log 2&{\text{ for }}~n=0,\\{\frac {-2(-1)^{n}}{n}}&{\text{ for }}~n>0.\end{cases}}$$

В качестве альтернативы, когда внутренний продукт аппроксимируемой функции не может быть вычислен, условие дискретной ортогональности дает часто полезный результат для аппроксимированных коэффициентов:

$$a_{n}\approx {\frac {\,2-\delta _{0n}\,}{N}}\,\sum _{k=0}^{N-1}T_{n}(x_{k})\,\log(1+x_{k}),$$

где δ _ij — дельта -функция Кронекера, а x _k — N нулей Гаусса–Чебышёва T _N ( x ) :

$$x_{k}=\cos \left({\frac {\pi \left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)}{N}}\right).$$

Для любого N эти приблизительные коэффициенты обеспечивают точное приближение функции в точке x _k с контролируемой ошибкой между этими точками. Точные коэффициенты получаются при N = ∞ , таким образом представляя функцию точно во всех точках в [−1,1] . Скорость сходимости зависит от функции и ее гладкости.

вычислять приблизительные коэффициенты с _n Это позволяет нам очень эффективно помощью дискретного косинусного преобразования :

$$a_{n}\approx {\frac {2-\delta _{0n}}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\cos \left({\frac {n\pi \left(\,k+{\tfrac {1}{2}}\right)}{N}}\right)\log(1+x_{k}).$$

Пример 2

Чтобы привести еще один пример:

$${\begin{aligned}\left(1-x^{2}\right)^{\alpha }&=-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+\alpha \right)}{\Gamma (\alpha +1)}}+2^{1-2\alpha }\,\sum _{n=0}\left(-1\right)^{n}\,{2\alpha \choose \alpha -n}\,T_{2n}(x)\\[1ex]&=2^{-2\alpha }\,\sum _{n=0}\left(-1\right)^{n}\,{2\alpha +1 \choose \alpha -n}\,U_{2n}(x).\end{aligned}}$$

Частичные суммы

Частичные суммы:

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)$$

очень полезны при приближении различных функций и при решении дифференциальных уравнений (см. Спектральный метод ). Два распространенных метода определения коэффициентов n _, — это использование внутреннего продукта как в методе Галеркина , и использование коллокации , связанной с интерполяцией .

В качестве интерполянта N коэффициентов ( N − 1) -й частичной суммы обычно получаются на основе Чебышева – Гаусса – Лобатто. точек (или сетки Лобатто), что приводит к минимальной ошибке и позволяет избежать явления Рунге, связанного с однородной сеткой. Этот набор точек соответствует экстремумам полинома высшего порядка в сумме плюс конечные точки и определяется следующим образом:

$$x_{k}=-\cos \left({\frac {k\pi }{N-1}}\right);\qquad k=0,1,\dots ,N-1.$$

Полином в форме Чебышева

Произвольный полином степени N можно записать через полиномы Чебышева первого рода. Такой полином p ( x ) имеет вид:

$$p(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x).$$

Полиномы в форме Чебышева можно оценить с помощью алгоритма Кленшоу .

Семейства полиномов,

Полиномы обозначаются $C_{n}(x)$ и $S_{n}(x)$ иногда используются тесно связанные с полиномами Чебышева. Они определяются:

$$C_{n}(x)=2T_{n}\left({\frac {x}{2}}\right),\qquad S_{n}(x)=U_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)$$

и удовлетворить:

$$C_{n}(x)=S_{n}(x)-S_{n-2}(x).$$

А. Ф. Горадам назвал полиномы $C_{n}(x)$ Полиномы Вьета–Люкаса и обозначение их $v_{n}(x)$. Он назвал многочлены $S_{n}(x)$ Полиномы Вьета–Фибоначчи и обозначили их $V_{n}(x)$. Списки обоих наборов полиномов приведены в Вьета Opera Mathematica , глава IX, теоремы VI и VII. Полиномы вещественного аргумента Вьета-Лукаса и Вьета-Фибоначчи с точностью до степени $i$ и сдвиг индекса в случае последнего, равный полиномам Люка и Фибоначчи L _n и F _n мнимого аргумента.

Сдвинутые полиномы Чебышева первого и второго рода связаны с полиномами Чебышева соотношением:

$$T_{n}^{*}(x)=T_{n}(2x-1),\qquad U_{n}^{*}(x)=U_{n}(2x-1).$$

Когда аргумент полинома Чебышева удовлетворяет условию 2 x − 1 ∈ [−1, 1], аргумент сдвинутого полинома Чебышева удовлетворяет условию x ∈ [0, 1] . Аналогичным образом можно определить сдвинутые полиномы для общих интервалов [ a , b ] .

Примерно в 1990 году термины «третьего рода» и «четвертого рода» вошли в употребление в связи с полиномами Чебышева, хотя полиномы, обозначаемые этими терминами, получили более раннее развитие под названием « полиномы аэродинамического профиля» . По мнению Дж. К. Мейсона и Г. Г. Эллиотта, терминология «третьего рода» и «четвертого рода» возникла благодаря Уолтеру Гаучи «в консультации с коллегами в области ортогональных полиномов». Полиномы Чебышева третьего рода определяются как:

$$V_{n}(x)={\frac {\cos \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}={\sqrt {\frac {2}{1+x}}}T_{2n+1}\left({\sqrt {\frac {x+1}{2}}}\right)$$

а полиномы Чебышева четвертого рода определяются как:

$$W_{n}(x)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}=U_{2n}\left({\sqrt {\frac {x+1}{2}}}\right),$$

где $\theta =\arccos x$. В аэропрофильной литературе $V_{n}(x)$ и $W_{n}(x)$ обозначаются $t_{n}(x)$ и $u_{n}(x)$. Полиномиальные семейства $T_{n}(x)$, $U_{n}(x)$, $V_{n}(x)$, и $W_{n}(x)$ ортогональны относительно весов:

$$\left(1-x^{2}\right)^{-1/2},\quad \left(1-x^{2}\right)^{1/2},\quad (1-x)^{-1/2}(1+x)^{1/2},\quad (1+x)^{-1/2}(1-x)^{1/2}$$

и пропорциональны полиномам Якоби $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)$ с:

$$(\alpha ,\beta )=\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right).$$

Все четыре семейства удовлетворяют повторяемости $p_{n}(x)=2xp_{n-1}(x)-p_{n-2}(x)$ с $p_{0}(x)=1$, где $p_{n}=T_{n}$, $U_{n}$, $V_{n}$, или $W_{n}$, но они различаются в зависимости от того, $p_{1}(x)$ равно $x$, $2x$, $2x-1$, или $2x+1$.

полиномы Чебышева

Некоторые приложения полагаются на полиномы Чебышева, но могут быть неспособны учесть отсутствие корня в нуле, что исключает использование стандартных полиномов Чебышева для приложений такого типа. Примером этого являются даже конструкции фильтров Чебышева порядка, использующие пассивные сети с одинаковым завершением. Однако полиномы Чебышева даже порядка можно модифицировать, чтобы сдвинуть самые низкие корни к нулю, сохраняя при этом желаемый эффект равной пульсации Чебышева. Такие модифицированные полиномы содержат два корня в нуле и могут называться модифицированными полиномами Чебышева четного порядка. Даже полиномы Чебышева с измененным порядком могут быть созданы из узлов Чебышева таким же образом, как и стандартные полиномы Чебышева.

$$P_{N}=\prod _{i=1}^{N}(x-C_{i})$$

где

• $P_{N}$ является N -го порядка полиномом Чебышёва
• $C_{i}$ — i -й узел Чебышева

В случае модифицированных полиномов Чебышева четного порядка узлы Чебышева, модифицированные четным порядком, используются для построения модифицированных полиномов Чебышева четного порядка.

$$Pe_{N}=\prod _{i=1}^{N}(x-Ce_{i})$$

где

• $Pe_{N}$ представляет собой N модифицированный полином Чебышева четного порядка
• $Ce_{i}$ — модифицированный узел Чебышева i -го порядка четного порядка

Например, полином Чебышева 4-го порядка из приведенного выше примера : $X^{4}-X^{2}+.125$, который при проверке не содержит корней из нуля. Создание полинома из модифицированных узлов Чебышева четного порядка создает модифицированный полином Чебышева четвертого порядка четного порядка $X^{4}-.828427X^{2}$, который при проверке содержит два корня в нуле и может использоваться в приложениях, требующих корней в нуле.

См. также

• фильтр Чебышева
• Кубический корень Чебышева
• Полиномы Диксона
• Полиномы Лежандра
• Полиномы Лагерра
• Полиномы Эрмита
• Минимальный полином 2cos(2pi/n)
• Полиномы Романовского
• Рациональные функции Чебышева
• Теория приближения
• Система Чебфун
• Дискретное преобразование Чебышева
• Неравенство братьев Марковых
• Алгоритм Кленшоу

Источники

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 22» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 773. ИСБН  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 .
• Детте, Хольгер (1995). «Заметка о некоторых своеобразных нелинейных экстремальных явлениях полиномов Чебышева». Труды Эдинбургского математического общества . 38 (2): 343–355. arXiv : математика/9406222 . дои : 10.1017/S001309150001912X . S2CID   16703489 .
• Эллиотт, Дэвид (1964). «Вычисление и оценка коэффициентов разложения функции в ряд Чебышева» . Математика. Комп . 18 (86): 274–284. дои : 10.1090/S0025-5718-1964-0166903-7 . МР   0166903 .
• Ерёменко А.; Лемперт, Л. (1994). «Экстремальная задача для полиномов» (PDF) . Труды Американского математического общества . 122 (1): 191–193. дои : 10.1090/S0002-9939-1994-1207536-1 . МР   1207536 .
• Эрнандес, Массачусетс (2001). «Алгоритмы аппроксимации Чебышева и их приложения» . Компьютеры и математика с приложениями . 41 (3–4): 433–445. дои : 10.1016/s0898-1221(00)00286-8 .
• Мейсон, Дж. К. (1984). «Некоторые свойства и приложения полинома Чебышева и рациональной аппроксимации». Рациональная аппроксимация и интерполяция . Конспект лекций по математике. Том. 1105. стр. 27–48. дои : 10.1007/BFb0072398 . ISBN  978-3-540-13899-0 .
• Мейсон, Дж. К.; Хэндскомб, округ Колумбия (2002). Полиномы Чебышева . Чепмен и Холл/CRC. дои : 10.1201/9781420036114 . ISBN  978-1-4200-3611-4 .

• Матар, Ричард Дж. (2006). «Разложение обратных многочленов в ряд Чебышева» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 196 (2): 596–607. arXiv : math/0403344 . Бибкод : 2006JCoAM.196..596M . дои : 10.1016/j.cam.2005.10.013 . S2CID   16476052 .
• Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Ортогональные полиномы» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Ремес, Юджин. «Об экстремальном свойстве полиномов Чебышева» (PDF) .
• Зальцер, Герберт Э. (1976). «Преобразование интерполяционного ряда в ряды Чебышева по рекуррентным формулам» . Математика вычислений . 30 (134): 295–302. дои : 10.1090/S0025-5718-1976-0395159-3 . МР   0395159 .
• Скратон, RE (1969). «Решение интегральных уравнений в рядах Чебышева» . Математика вычислений . 23 (108): 837–844. дои : 10.1090/S0025-5718-1969-0260224-4 . МР   0260224 .
• Смит, Лайл Б. (1966). «Вычисление коэффициентов ряда Чебышева» . Комм. АКМ . 9 (2): 86–87. дои : 10.1145/365170.365195 . S2CID   8876563 . Алгоритм 277.
• Суетин, П.К. (2001) [1994], «Полиномы Чебышева» , Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с полиномами Чебышева, на Викискладе?
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Чебышева первого рода» . Математический мир .
• Мэтьюз, Джон Х. (2003). «Модуль полиномов Чебышева» . Кафедра математики. Примечания к курсу Math 340 Numerical Analysis и Math 440 Advanced Numerical Analysis . Фуллертон, Калифорния: Калифорнийский государственный университет. Архивировано из оригинала 29 мая 2007 года . Проверено 17 августа 2020 г. .
• «Чебышевская интерполяция: Интерактивная экскурсия» . Mathematical Association of America (MAA) — включает иллюстративный Java-апплет .
• «Численные вычисления с функциями» . Проект Чебфун .
• «Есть ли интуитивное объяснение экстремальному свойству полиномов Чебышева?» . Математическое переполнение . Вопрос 25534.
• «Вычисление полинома Чебышева и преобразование Чебышева» . Способствовать росту . Математика.