Неравенства Турана

В математике неравенства Турана — это некоторые неравенства для полиномов Лежандра, найденные Палом Тураном ( 1950 ) (и впервые опубликованные Сегё (1948) ). Существует множество обобщений других полиномов, часто называемых неравенствами Турана, данных (EF Beckenbach, W. Seidel & Otto Szász 1951 ) и других авторов.

Если $P_{n}$ это $n$ , полинома Лежандра неравенства Турана утверждают, что

$\,\!P_{n}(x)^{2}>P_{n-1}(x)P_{n+1}(x)\ {\text{for}}\ -1<x<1.$

Для $H_{n}$, $n$ , полином Эрмита неравенства Турана имеют вид

$H_{n}(x)^{2}-H_{n-1}(x)H_{n+1}(x)=(n-1)!\cdot \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}H_{i}(x)^{2}>0,$

тогда как для полиномов Чебышева они

$T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)=1-x^{2}>0\ {\text{for}}\ -1<x<1.$

См. также

• Неравенство Аски – Гаспера
• Цепь Штурма

Ссылки

• Беккенбах, EF; Зейдель, В.; Сас, Отто (1951), «Рекуррентные определители Лежандра и ультрасферических полиномов», Duke Math. Ж. , 18 : 1–10, doi : 10.1215/S0012-7094-51-01801-7 , MR   0040487
• Сегё, Г. (1948), «О неравенстве П. Турана относительно полиномов Лежандра», Bull. амер. Математика. Соц. , 54 (4): 401–405, doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09017-6 , MR   0023954
• Туран, Пауль (1950), «О нулях многочленов Лежандра», Časopis Pěst. Мэтт. Физ. , 75 (3): 113–122, doi : 10.21136/CPMF.1950.123879 , MR   0041284