Неравенство Аски – Гаспера

В математике неравенство Аски–Гаспера — это неравенство для полиномов Якоби, доказанное Ричардом Аски и Джорджем Гаспером ( 1976 ) и использованное при доказательстве гипотезы Бибербаха .

Заявление

В нем говорится, что если $\beta \geq 0$, $\alpha +\beta \geq -2$, и $-1\leq x\leq 1$ затем

$\sum _{k=0}^{n}{\frac {P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{P_{k}^{(\beta ,\alpha )}(1)}}\geq 0$

где

$P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)$

является полиномом Якоби.

Тот случай, когда $\beta =0$ также можно записать как

${}_{3}F_{2}\left(-n,n+\alpha +2,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +3),\alpha +1;t\right)>0,\qquad 0\leq t<1,\quad \alpha >-1.$

В этой форме, когда α — неотрицательное целое число, неравенство использовал Луи де Бранж в своем доказательстве гипотезы Бибербаха .

Доказательство

Эхад ( 1993 ) дал краткое доказательство этого неравенства, объединив тождество

${\begin{aligned}{\frac {(\alpha +2)_{n}}{n!}}&\times {}_{3}F_{2}\left(-n,n+\alpha +2,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +3),\alpha +1;t\right)=\\&={\frac {\left({\tfrac {1}{2}}\right)_{j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+1\right)_{n-j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {3}{2}}\right)_{n-2j}(\alpha +1)_{n-2j}}{j!\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {3}{2}}\right)_{n-j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {1}{2}}\right)_{n-2j}(n-2j)!}}\times {}_{3}F_{2}\left(-n+2j,n-2j+\alpha +1,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +2),\alpha +1;t\right)\end{aligned}}$

с неравенством Клаузена .

Обобщения

Гаспер и Рахман (2004 , 8.9) дают некоторые обобщения неравенства Аски – Гаспера на основные гипергеометрические ряды .

См. также

• Неравенства Турана

Ссылки

• Аски, Ричард ; Гаспер, Джордж (1976), «Положительные полиномиальные суммы Якоби. II», American Journal of Mathematics , 98 (3): 709–737, doi : 10.2307/2373813 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2373813 , MR   0430358
• Аски, Ричард; Гаспер, Джордж (1986), «Неравенства для полиномов» , в Бернштайне, Альберте; Драсин, Дэвид; Дюрен, Питер; Марден, Альберт (ред.), Гипотеза Бибербаха (Западный Лафайет, Индиана, 1985) , Math. Обзоры Моногр., вып. 21, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 7–32, ISBN.  978-0-8218-1521-2 , МР   0875228
• Эхад, Шалош Б. (1993), Делест, М.; Джейкоб, Г.; Леру, П. (ред.), «Краткое, элементарное и простое доказательство ВЗ неравенства Аски-Гаспера, которое использовалось де Бранжем в его доказательстве гипотезы Бибербаха», Теоретическая информатика , Конференция по формальным степенным рядам. и Алгебраическая комбинаторика (Бордо, 1991), 117 (1): 199–202, doi : 10.1016/0304-3975(93)90313-I , ISSN   0304-3975 , МР   1235178
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Основные гипергеометрические серии , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 96 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-83357-8 , МР   2128719