Полиномы Эрмита

Эта статья о семействе ортогональных многочленов на действительной прямой. Для полиномиальной интерполяции на сегменте с использованием производных см. Интерполяцию Эрмита . Для интегрального преобразования полиномов Эрмита см. Преобразование Эрмита .

В математике полиномы Эрмита представляют собой классическую последовательность ортогональных полиномов .

Полиномы возникают в:

• обработка сигналов в виде эрмитовых вейвлетов для вейвлет-преобразования анализа
• вероятность , такая как ряд Эджворта , а также в связи с броуновским движением ;
• комбинаторика , как пример последовательности Аппеля , подчиняющейся теневому исчислению ;
• численный анализ в виде квадратуры Гаусса ;
• физика , где они порождают собственные состояния квантового гармонического осциллятора ; и они также встречаются в некоторых случаях уравнения теплопроводности (когда член ${\begin{aligned}xu_{x}\end{aligned}}$ присутствует);
• Теория систем в связи с нелинейными операциями над гауссовским шумом .
• Теория случайных матриц в гауссовских ансамблях .

Полиномы Эрмита были определены Пьером-Симоном Лапласом в 1810 году. хотя и в малоузнаваемой форме, и подробно изучен Пафнутием Чебышевым в 1859 году. Работы Чебышева были проигнорированы, и они были названы позже в честь Чарльза Эрмита , который писал о полиномах в 1864 году, назвав их новыми. Следовательно, они не были новыми, хотя Эрмит был первым, кто дал определение многомерным полиномам.

Определение

Как и другие классические ортогональные полиномы , полиномы Эрмита могут быть определены из нескольких разных отправных точек. С самого начала отметив, что широко используются две разные стандартизации, один из удобных методов заключается в следующем:

• « Вероятностные полиномы Эрмита» имеют вид $$\operatorname {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},$$
• в то время как «полиномы Эрмита физики» имеют вид $$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.$$

Эти уравнения имеют форму формулы Родригеса и также могут быть записаны как: $$\operatorname {He} _{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n}(x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.$$

Эти два определения не совсем идентичны; каждый является масштабированием другого: $$H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}\operatorname {He} _{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),\quad \operatorname {He} _{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).$$

Это полиномиальные последовательности Эрмита различной дисперсии; см. материал о отклонениях ниже.

Обозначения He и H используются в стандартных ссылках. Полиномы He _n иногда обозначаются H _n , особенно в теории вероятностей, поскольку $${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$$— функция плотности вероятности для нормального распределения с ожидаемым значением 0 и стандартным отклонением 1.

Первые шесть вероятностных полиномов Эрмита He _n ( x )

Первые шесть (физических) полиномов Эрмита H _n ( x )

• Первые одиннадцать вероятностных полиномов Эрмита: $${\begin{aligned}\operatorname {He} _{0}(x)&=1,\\\operatorname {He} _{1}(x)&=x,\\\operatorname {He} _{2}(x)&=x^{2}-1,\\\operatorname {He} _{3}(x)&=x^{3}-3x,\\\operatorname {He} _{4}(x)&=x^{4}-6x^{2}+3,\\\operatorname {He} _{5}(x)&=x^{5}-10x^{3}+15x,\\\operatorname {He} _{6}(x)&=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15,\\\operatorname {He} _{7}(x)&=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x,\\\operatorname {He} _{8}(x)&=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105,\\\operatorname {He} _{9}(x)&=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x,\\\operatorname {He} _{10}(x)&=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945.\end{aligned}}$$
• Первые одиннадцать полиномов Эрмита физики: $${\begin{aligned}H_{0}(x)&=1,\\H_{1}(x)&=2x,\\H_{2}(x)&=4x^{2}-2,\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x,\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12,\\H_{5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x,\\H_{6}(x)&=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120,\\H_{7}(x)&=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x,\\H_{8}(x)&=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680,\\H_{9}(x)&=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x,\\H_{10}(x)&=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240.\end{aligned}}$$

Характеристики

Полином Эрмита n -го порядка — это многочлен степени n . Версия вероятностного He _n имеет ведущий коэффициент 1, а версия физика H _n имеет ведущий коэффициент 2. ^н .

Симметрия

Из приведенных выше формул Родригеса мы видим, что H _n ( x ) и He _n ( x ) являются четными или нечетными функциями, зависящими от n : $$H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),\quad \operatorname {He} _{n}(-x)=(-1)^{n}\operatorname {He} _{n}(x).$$

Ортогональность

H _n ( x ) и He _n ( x ) являются полиномами n -й степени для n = 0, 1, 2, 3,... . Эти полиномы ортогональны относительно весовой функции ( меры ) $$w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\quad ({\text{for }}\operatorname {He} )$$ или $$w(x)=e^{-x^{2}}\quad ({\text{for }}H),$$то есть у нас есть $$\int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad {\text{for all }}m\neq n.$$

Более того, $$\int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},$$и $$\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {He} _{m}(x)\operatorname {He} _{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},$$где $\delta _{nm}$ это дельта Кронекера .

Таким образом, вероятностные полиномы ортогональны относительно стандартной нормальной функции плотности вероятности.

Полнота

Полиномы Эрмита (вероятностные или физические) образуют ортогональный базис гильбертова пространства функций, удовлетворяющих $$\int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,$$в котором внутренний продукт определяется интегралом $$\langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx$$включая Гаусса весовую функцию w ( x ), определенную в предыдущем разделе

Ортогональный базис для L ² ( R , w ( x ) dx ) полная . ортогональная система Для ортогональной системы полнота эквивалентна тому, что 0-функция является единственной функцией f ∈ L ² ( R , w ( x ) dx ) ортогональны всем функциям в системе.

Поскольку линейная оболочка полиномов Эрмита представляет собой пространство всех полиномов, необходимо показать (в случае физики), что если f удовлетворяет условию $$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0$$для каждого n ≥ 0 , то f = 0 .

Один из возможных способов сделать это — осознать, что вся функция $$F(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{zx-x^{2}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0$$исчезает одинаково. Тогда тот факт, что F ( it ) = 0 для каждого вещественного t, , что преобразование Фурье f означает ( x ) e ^{− х 2} равно 0, следовательно, f равно 0 почти всюду. Варианты приведенного выше доказательства полноты применимы и к другим весам с экспоненциальным затуханием.

В случае Эрмита также возможно доказать явное тождество, предполагающее полноту (см. раздел об отношении полноты ниже).

Эквивалентная формулировка того факта, что полиномы Эрмита являются ортогональным базисом для L ² ( R , w ( x ) dx ) состоит во введении функций Эрмита (см. ниже) и в утверждении, что функции Эрмита являются ортонормированным базисом для L ² ( Р ) .

Дифференциальное уравнение Эрмита

Полиномы Эрмита вероятностного специалиста являются решениями дифференциального уравнения $$\left(e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u'\right)'+\lambda e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u=0,$$где λ — константа. При наложении граничного условия, согласно которому u должно быть полиномиально ограничено на бесконечности, уравнение имеет решения только в том случае, если λ является неотрицательным целым числом, и решение однозначно дается формулой $u(x)=C_{1}\operatorname {He} _{\lambda }(x)$, где $C_{1}$ обозначает константу.

Переписывание дифференциального уравнения как проблемы собственных значений $$L[u]=u''-xu'=-\lambda u,$$полиномы Эрмита $\operatorname {He} _{\lambda }(x)$ можно понимать как собственные функции дифференциального оператора $L[u]$ . Эта проблема собственных значений называется уравнением Эрмита , хотя этот термин также используется для тесно связанного уравнения $$u''-2xu'=-2\lambda u.$$ решение которого однозначно дается через физические полиномы Эрмита в виде $u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)$, где $C_{1}$ обозначает константу после наложения граничного условия, согласно которому u должно быть полиномиально ограничено на бесконечности.

Общие решения приведенных выше дифференциальных уравнений второго порядка фактически представляют собой линейные комбинации как полиномов Эрмита, так и вырожденных гипергеометрических функций первого рода. Например, для уравнения Эрмита физика $$u''-2xu'+2\lambda u=0,$$общее решение принимает вид $$u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)+C_{2}h_{\lambda }(x),$$где $C_{1}$ и $C_{2}$ являются константами, $H_{\lambda }(x)$ — физические полиномы Эрмита (первого рода), а $h_{\lambda }(x)$ — физические функции Эрмита (второго рода). Последние функции компактно представляются как $h_{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {\lambda }{2}};{\tfrac {1}{2}};x^{2})$ где ${}_{1}F_{1}(a;b;z)$ являются вырожденными гипергеометрическими функциями первого рода . Обычные полиномы Эрмита также можно выразить через вырожденные гипергеометрические функции, см. ниже.

При более общих граничных условиях полиномы Эрмита можно обобщить для получения более общих аналитических функций для комплекснозначных λ . явная формула полиномов Эрмита через контурные интегралы ( Courant & Hilbert 1989 Также возможна ).

Рекуррентное отношение

Последовательность вероятностных полиномов Эрмита также удовлетворяет рекуррентному соотношению $$\operatorname {He} _{n+1}(x)=x\operatorname {He} _{n}(x)-\operatorname {He} _{n}'(x).$$Отдельные коэффициенты связаны следующей рекурсивной формулой: $$a_{n+1,k}={\begin{cases}-(k+1)a_{n,k+1}&k=0,\\a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}$$ и а _0,0 = 1 , а _1,0 = 0 , а _1,1 = 1 .

Для полиномов физика, предполагая $$H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},$$у нас есть $$H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).$$Отдельные коэффициенты связаны следующей рекурсивной формулой: $$a_{n+1,k}={\begin{cases}-a_{n,k+1}&k=0,\\2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}$$и а _0,0 = 1 , а _1,0 = 0 , а _1,1 = 2 .

Полиномы Эрмита составляют последовательность Аппелла , т. е. представляют собой полиномиальную последовательность, удовлетворяющую тождеству $${\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}'(x)&=n\operatorname {He} _{n-1}(x),\\H_{n}'(x)&=2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}$$

Интегральная рекуррентность, которая выведена и продемонстрирована в заключается в следующем: $$\operatorname {He} _{n+1}(x)=(n+1)\int _{0}^{x}\operatorname {He} _{n}(t)dt-He'_{n}(0),$$

$$H_{n+1}(x)=2(n+1)\int _{0}^{x}H_{n}(t)dt-H'_{n}(0).$$

Эквивалентно, с помощью расширения Тейлора , $${\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\operatorname {He} _{k}(y)&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)\operatorname {He} _{k}\left(y{\sqrt {2}}\right),\\H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{k}(x)(2y)^{n-k}&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).\end{aligned}}$$Эти теневые тождества самоочевидны и включены в представление дифференциального оператора , подробно описанное ниже: $${\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x)&=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},\\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{\frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.\end{aligned}}$$

Следовательно, для m -х производных справедливы следующие соотношения: $${\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}^{(m)}(x)&={\frac {n!}{(n-m)!}}\operatorname {He} _{n-m}(x)&&=m!{\binom {n}{m}}\operatorname {He} _{n-m}(x),\\H_{n}^{(m)}(x)&=2^{m}{\frac {n!}{(n-m)!}}H_{n-m}(x)&&=2^{m}m!{\binom {n}{m}}H_{n-m}(x).\end{aligned}}$$

Отсюда следует, что полиномы Эрмита также удовлетворяют рекуррентному соотношению $${\begin{aligned}\operatorname {He} _{n+1}(x)&=x\operatorname {He} _{n}(x)-n\operatorname {He} _{n-1}(x),\\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}$$

Эти последние соотношения вместе с исходными полиномами H ₀ ( x ) и H ₁ ( x ) можно использовать на практике для быстрого вычисления полиномов.

Неравенства Турана : $${\mathit {H}}_{n}(x)^{2}-{\mathit {H}}_{n-1}(x){\mathit {H}}_{n+1}(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}{\mathit {H}}_{i}(x)^{2}>0.$$

Более того, имеет место следующая теорема умножения : $${\begin{aligned}H_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i}(x),\\\operatorname {He} _{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}2^{-i}\operatorname {He} _{n-2i}(x).\end{aligned}}$$

Явное выражение

Полиномы Эрмита физика можно явно записать как $$H_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {(-1)^{{\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\left({\tfrac {n}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l}&{\text{for even }}n,\\\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {(-1)^{{\frac {n-1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1}&{\text{for odd }}n.\end{cases}}$$

Эти два уравнения можно объединить в одно с помощью функции пола : $$H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.$$

Полиномы Эрмита He имеют аналогичные формулы, которые можно получить из них, заменив степень 2 x соответствующей степенью √ 2   x и умножив всю сумму на 2. ^{− ⁠ n / 2 ⁠} : $$\operatorname {He} _{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.$$

Обратное явное выражение

Обратные к приведенным выше явным выражениям, то есть выражения для мономов в терминах вероятностных полиномов Эрмита He , равны $$x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{m}m!(n-2m)!}}\operatorname {He} _{n-2m}(x).$$

физика Соответствующие выражения для полиномов Эрмита H следуют непосредственно при правильном масштабировании: $$x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).$$

Генерирующая функция

Полиномы Эрмита задаются экспоненциальной производящей функцией $${\begin{aligned}e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{aligned}}$$

Это равенство справедливо для всех комплексных значений x и t и может быть получено путем записи разложения Тейлора в точке x всей функции z → e ^{- г 2} (в случае физика). Можно также получить производящую функцию (физика), используя интегральную формулу Коши для записи полиномов Эрмита в виде $$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e^{-z^{2}}}{(z-x)^{n+1}}}\,dz.$$

Используя это в сумме $$\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},$$ оставшийся интеграл можно вычислить с помощью исчисления вычетов и получить искомую производящую функцию.

Ожидаемые значения

Если X — случайная величина с нормальным распределением со стандартным отклонением 1 и ожидаемым значением μ , то $$\operatorname {\mathbb {E} } \left[\operatorname {He} _{n}(X)\right]=\mu ^{n}.$$

Моменты стандартной нормали (с нулевым математическим ожиданием) можно считать непосредственно из соотношения для четных индексов: $$\operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}\operatorname {He} _{2n}(0)=(2n-1)!!,$$где (2 n − 1)!! это двойной факториал . Обратите внимание, что приведенное выше выражение является частным случаем представления вероятностных полиномов Эрмита в виде моментов: $$\operatorname {He} _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy.$$

Асимптотическое расширение

Асимптотически при n → ∞ разложение $$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)$$ соответствует действительности. Для некоторых случаев, касающихся более широкого диапазона оценки, необходимо включить коэффициент изменения амплитуды: $$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {2\Gamma (n)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}},$$которое, используя приближение Стирлинга , в пределе можно упростить до $$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.$$

Это разложение необходимо для разрешения волновой функции квантового гармонического осциллятора так, чтобы она согласовывалась с классическим приближением в пределе принципа соответствия .

Лучшее приближение, учитывающее изменение частоты, имеет вид $$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n+1-{\frac {x^{2}}{3}}}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.$$

Более точное приближение, учитывающий неравномерность расположения нулей вблизи краев, используется замена $$x={\sqrt {2n+1}}\cos(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \pi -\varepsilon ,$$ с которым имеется равномерное приближение $$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sin \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot \left(\sin \left({\frac {3\pi }{4}}+\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(\sin 2\varphi -2\varphi \right)\right)+O\left(n^{-1}\right)\right).$$

Аналогичные приближения справедливы для монотонной и переходной областей. В частности, если $$x={\sqrt {2n+1}}\cosh(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \omega <\infty ,$$ затем $$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}-{\frac {3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sinh \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot e^{\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\varphi -\sinh 2\varphi \right)}\left(1+O\left(n^{-1}\right)\right),$$в то время как для $$x={\sqrt {2n+1}}+t$$ с t комплексным и ограниченным, приближение имеет вид $$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{\frac {1}{4}}2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}\,n^{-{\frac {1}{12}}}\left(\operatorname {Ai} \left(2^{\frac {1}{2}}n^{\frac {1}{6}}t\right)+O\left(n^{-{\frac {2}{3}}}\right)\right),$$где Ai — функция Эйри первого рода.

Особые значения

Полиномы Эрмита, полученные физиком при нулевом аргументе H _n (0), называются числами Эрмита .

$$H_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-2)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n,\end{cases}}$$которые удовлетворяют рекурсивному соотношению H _n (0) = −2( n − 1) H _{n − 2} (0) .

С точки зрения вероятностных полиномов это переводится как $$\operatorname {He} _{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-1)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n.\end{cases}}$$

Отношения с другими функциями

Полиномы Лагерра

Полиномы Эрмита можно выразить как частный случай полиномов Лагерра : $${\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-4)^{n}n!L_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k}}{k!}},\\H_{2n+1}(x)&=2(-4)^{n}n!xL_{n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=2\cdot 4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k+1}}{k!}}.\end{aligned}}$$

Связь с вырожденными гипергеометрическими функциями

Полиномы Эрмита физики могут быть выражены как частный случай функций параболического цилиндра : $$H_{n}(x)=2^{n}U\left(-{\tfrac {1}{2}}n,{\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)$$в правой полуплоскости , где U ( a , b , z ) — вырожденная гипергеометрическая функция Трикоми . Сходным образом, $${\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}}\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {1}{2}};x^{2}{\big )},\\H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n+1)!}{n!}}\,2x\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {3}{2}};x^{2}{\big )},\end{aligned}}$$где ₁ F ₁ ( a , b ; z ) = M ( a , b ; z ) — вырожденная гипергеометрическая функция Куммера .

Полиномиальное разложение Эрмита

Подобно разложению Тейлора, некоторые функции выражаются в виде бесконечной суммы полиномов Эрмита. В частности, если $\int e^{-x^{2}}f(x)^{2}dx<\infty$, то оно имеет разложение по полиномам Эрмита физики.

Учитывая такой $f$, частичные суммы разложения Эрмита $f$ сходится к в $L^{p}$ норма тогда и только тогда, когда $4/3<p<4$. $$x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\,\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {1}{k!\,(n-2k)!}}\,H_{n-2k}(x)=n!\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {1}{k!\,2^{k}\,(n-2k)!}}\,\operatorname {He} _{n-2k}(x),\qquad n\in \mathbb {Z} _{+}.$$$$e^{ax}=e^{a^{2}/4}\sum _{n\geq 0}{\frac {a^{n}}{n!\,2^{n}}}\,H_{n}(x),\qquad a\in \mathbb {C} ,\quad x\in \mathbb {R} .$$$$e^{-a^{2}x^{2}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{n!\left(1+a^{2}\right)^{n+1/2}2^{2n}}}\,H_{2n}(x).$$$$\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}~dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{k!(2k+1)2^{3k}}}H_{2k}(x).$$$$\cosh(2x)=e\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{(2k)!}}\,H_{2k}(x),\qquad \sinh(2x)=e\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{(2k+1)!}}\,H_{2k+1}(x).$$$$\cos(x)=e^{-1/4}\,\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{2^{2k}\,(2k)!}}\,H_{2k}(x)\quad \sin(x)=e^{-1/4}\,\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\,H_{2k+1}(x)$$

Дифференциально-операторное представление

Полиномы Эрмита вероятностного специалиста удовлетворяют тождеству $$\operatorname {He} _{n}(x)=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},$$ где D представляет собой дифференцирование по x , а экспонента интерпретируется путем разложения ее как степенной ряд . Тонких вопросов о сходимости этого ряда при работе с полиномами не возникает, поскольку все члены, кроме конечного числа, обращаются в нуль.

Поскольку коэффициенты степенного ряда экспоненты хорошо известны, а старшие производные монома x ^н можно записать явно, это дифференциально-операторное представление приводит к конкретной формуле для коэффициентов H _n , которую можно использовать для быстрого вычисления этих полиномов.

Поскольку формальное выражение преобразования Вейерштрасса W есть e ^{Д 2} , мы видим, что преобразование Вейерштрасса ( √ 2 ) ^н Он _н ( ⁠ x / √ 2 ⁠ ) — это x ^н . По сути, преобразование Вейерштрасса превращает ряд полиномов Эрмита в соответствующий ряд Маклорена .

Существование некоторого формального степенного ряда g ( D ) с ненулевым постоянным коэффициентом, такого что He _n ( x ) = g ( D ) x ^н , является еще одним эквивалентом утверждения, что эти полиномы образуют последовательность Аппелла . Поскольку они являются последовательностью Апелля, они тем более Шеффера являются последовательностями .

Дополнительная информация: преобразование Вейерштрасса § Обратное преобразование

Контурно-интегральное представление

Из приведенного выше представления производящей функции мы видим, что полиномы Эрмита имеют представление в терминах контурного интеграла , как $${\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}}{t^{n+1}}}\,dt,\\H_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}}\,dt,\end{aligned}}$$с контуром, окружающим начало координат.

Обобщения

Определенные выше полиномы Эрмита вероятностного средства ортогональны относительно стандартного нормального распределения вероятностей, функция плотности которого равна $${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},$$который имеет ожидаемое значение 0 и дисперсию 1.

Масштабируя, аналогично можно говорить об обобщенных полиномах Эрмита $$\operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)$$дисперсии α , где α — любое положительное число. Тогда они ортогональны относительно нормального распределения вероятностей, функция плотности которого равна $$(2\pi \alpha )^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\alpha }}}.$$Они даны $$\operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)=\alpha ^{\frac {n}{2}}\operatorname {He} _{n}\left({\frac {x}{\sqrt {\alpha }}}\right)=\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{\frac {n}{2}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2\alpha }}}\right)=e^{-{\frac {\alpha D^{2}}{2}}}\left(x^{n}\right).$$

Теперь, если $$\operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)=\sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}x^{k},$$то полиномиальная последовательность, n- й член которой равен $$\left(\operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}\circ \operatorname {He} ^{[\beta ]}\right)(x)\equiv \sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}\,\operatorname {He} _{k}^{[\beta ]}(x)$$называется теневой композицией двух полиномиальных последовательностей. Можно показать, что он удовлетворяет тождествам $$\left(\operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}\circ \operatorname {He} ^{[\beta ]}\right)(x)=\operatorname {He} _{n}^{[\alpha +\beta ]}(x)$$и $$\operatorname {He} _{n}^{[\alpha +\beta ]}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{k}^{[\alpha ]}(x)\operatorname {He} _{n-k}^{[\beta ]}(y).$$Последнее тождество выражается в том, что это параметризованное семейство полиномиальных последовательностей известно как перекрестная последовательность. (См. раздел выше о последовательностях Аппелла и о представлении дифференциального оператора , который приводит к его готовому выводу. Это тождество биномиального типа для α = β = ⁠ 1/2 Relations ⁠ #Recursion уже встречался в приведенном выше разделе . )

«Отрицательная дисперсия»

Поскольку полиномиальные последовательности образуют группу при операции теневой композиции , можно обозначить через $$\operatorname {He} _{n}^{[-\alpha ]}(x)$$последовательность, обратную последовательности, обозначенной аналогичным образом, но без знака минус, и, таким образом, говорят о полиномах Эрмита отрицательной дисперсии. При α > 0 коэффициенты $\operatorname {He} _{n}^{[-\alpha ]}(x)$ являются просто абсолютными значениями соответствующих коэффициентов $\operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)$.

Они возникают как моменты нормального распределения вероятностей: n- й момент нормального распределения с ожидаемым значением µ и дисперсией σ. ² является $$E[X^{n}]=\operatorname {He} _{n}^{[-\sigma ^{2}]}(\mu ),$$где X — случайная величина с заданным нормальным распределением. Тогда частный случай идентичности перекрестных последовательностей говорит, что $$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{k}^{[\alpha ]}(x)\operatorname {He} _{n-k}^{[-\alpha ]}(y)=\operatorname {He} _{n}^{[0]}(x+y)=(x+y)^{n}.$$

Функции Эрмита

Определение

Можно определить функции Эрмита (часто называемые функциями Эрмита-Гаусса) из полиномов физики: $$\psi _{n}(x)=\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}H_{n}(x)=(-1)^{n}\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.$$Таким образом, $${\sqrt {2(n+1)}}~~\psi _{n+1}(x)=\left(x-{d \over dx}\right)\psi _{n}(x).$$

Поскольку эти функции содержат квадратный корень из весовой функции и были соответствующим образом масштабированы, они ортонормированы : $$\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,dx=\delta _{nm},$$и они образуют ортонормированный базис L ² ( Р ) . Этот факт эквивалентен соответствующему утверждению для полиномов Эрмита (см. выше).

Функции Эрмита тесно связаны с функцией Уиттекера ( Whittaker & Watson 1996 ) D _n ( z ) : $$D_{n}(z)=\left(n!{\sqrt {\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\psi _{n}\left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)=(-1)^{n}e^{\frac {z^{2}}{4}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}e^{\frac {-z^{2}}{2}}$$и тем самым к другим функциям параболического цилиндра .

Функции Эрмита удовлетворяют дифференциальному уравнению $$\psi _{n}''(x)+\left(2n+1-x^{2}\right)\psi _{n}(x)=0.$$Это уравнение эквивалентно уравнению Шредингера для гармонического осциллятора в квантовой механике, поэтому эти функции являются собственными функциями .

Функции Эрмита: 0 (синий, сплошной), 1 (оранжевый, пунктирный), 2 (зеленый, пунктирный), 3 (красный, пунктирный), 4 (фиолетовый, сплошной) и 5 ​​(коричневый, пунктирный).

$${\begin{aligned}\psi _{0}(x)&=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{1}(x)&={\sqrt {2}}\,\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,x\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{2}(x)&=\left({\sqrt {2}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{2}-1\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{3}(x)&=\left({\sqrt {3}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{3}-3x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{4}(x)&=\left(2{\sqrt {6}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{4}-12x^{2}+3\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{5}(x)&=\left(2{\sqrt {15}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{5}-20x^{3}+15x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.\end{aligned}}$$

Функции Эрмита: 0 (синий, сплошной), 2 (оранжевый, пунктирный), 4 (зеленый, пунктирный) и 50 (красный, сплошной).

Рекурсивное отношение

Следуя рекуррентным соотношениям полиномов Эрмита, функции Эрмита подчиняются $$\psi _{n}'(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)$$и $$x\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x).$$

Распространение первого соотношения на произвольные m -ые производные для любого натурального числа m приводит к $$\psi _{n}^{(m)}(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{k}2^{\frac {m-k}{2}}{\sqrt {\frac {n!}{(n-m+k)!}}}\psi _{n-m+k}(x)\operatorname {He} _{k}(x).$$

Эту формулу можно использовать в сочетании с рекуррентными соотношениями для He _n и ψ _n для эффективного вычисления любой производной функций Эрмита.

Неравенство Крамера

Для вещественного x функции Эрмита удовлетворяют следующей оценке Харальда Крамера и Джек Индриц: $${\bigl |}\psi _{n}(x){\bigr |}\leq \pi ^{-{\frac {1}{4}}}.$$

Функции Эрмита как собственные функции преобразования Фурье

Функции Эрмита ψ _n ( x ) представляют собой набор собственных функций непрерывного преобразования Фурье F . Чтобы убедиться в этом, возьмите физическую версию производящей функции и умножьте на e. ^{− ⁠ 1 / 2 ⁠ x 2} . Это дает $$e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$$

Преобразование Фурье левой части имеет вид $${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\right\}(k)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ixk}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\,dx\\&=e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}-2kit+t^{2}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k){\frac {(-it)^{n}}{n!}}.\end{aligned}}$$

Преобразование Фурье правой части имеет вид $${\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.$$

Приравнивание одинаковых степеней t в преобразованных версиях левой и правой частей в конечном итоге дает $${\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}=(-i)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k).$$

Таким образом, функции Эрмита ψ _n ( x ) являются ортонормированным базисом L ² ( R ) , который диагонализует оператор преобразования Фурье .

Распределения Вигнера функций Эрмита

Функция распределения Вигнера функции Эрмита n -го порядка связана с n -го порядка полиномом Лагерра . Полиномы Лагерра: $$L_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k},$$что приводит к осцилляторным функциям Лагерра $$l_{n}(x):=e^{-{\frac {x}{2}}}L_{n}(x).$$Для всех натуральных целых чисел n легко увидеть что $$W_{\psi _{n}}(t,f)=(-1)^{n}l_{n}{\big (}4\pi (t^{2}+f^{2}){\big )},$$где распределение Вигнера функции x ∈ L ² ( R , C ) определяется как $$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,x\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{*}\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .$$Это фундаментальный результат для квантового гармонического осциллятора, открытого Хипом Грёневолдом в 1946 году в его докторской диссертации. Это стандартная парадигма квантовой механики в фазовом пространстве .

существуют и другие отношения Между двумя семействами полиномов .

Комбинаторная интерпретация коэффициентов

В полиноме Эрмита He _n ( x ) дисперсии 1 абсолютное значение коэффициента при x ^к - количество (неупорядоченных) разделов набора из n -элементов на k одиночных элементов и ⁠ n − k / 2 ⁠ (неупорядоченных) пар. Эквивалентно, это количество инволюций набора из n -элементов ровно с k неподвижными точками или, другими словами, количество паросочетаний в полном графе на n вершинах, которые оставляют k вершин непокрытыми (действительно, полиномы Эрмита - это паросочетания полиномы этих графов). Сумма абсолютных значений коэффициентов дает общее количество разбиений на одиночки и пары, так называемые телефонные номера.

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496,... (последовательность A000085 в OEIS ).

Эта комбинаторная интерпретация может быть связана с полными экспоненциальными полиномами Белла следующим образом: $$\operatorname {He} _{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0),$$где x _i знак равно 0 для всех i > 2 .

Эти числа также можно выразить как особое значение полиномов Эрмита: $$T(n)={\frac {\operatorname {He} _{n}(i)}{i^{n}}}.$$

Отношение полноты

Формула Кристоффеля -Дарбу для полиномов Эрмита гласит: $$\sum _{k=0}^{n}{\frac {H_{k}(x)H_{k}(y)}{k!2^{k}}}={\frac {1}{n!2^{n+1}}}\,{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}(y)}{x-y}}.$$

для указанных выше функций Эрмита справедливо следующее тождество полноты Более того, в смысле распределений : $$\sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)=\delta (x-y),$$где δ — дельта-функция Дирака , ψ _{n —} функции Эрмита, а δ ( x − y ) представляет собой меру Лебега на прямой y = x в R ² , нормированный так, что его проекция на горизонтальную ось является обычной мерой Лебега.

Это тождество распределения следует Винеру (1958), принимается u → 1 поскольку в формуле Мелера , справедливой при −1 < u < 1 : $$E(x,y;u):=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\,\psi _{n}(x)\,\psi _{n}(y)={\frac {1}{\sqrt {\pi (1-u^{2})}}}\,\exp \left(-{\frac {1-u}{1+u}}\,{\frac {(x+y)^{2}}{4}}-{\frac {1+u}{1-u}}\,{\frac {(x-y)^{2}}{4}}\right),$$которое часто эквивалентно называют отделимым ядром, $$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)H_{n}(y)}{n!}}\left({\frac {u}{2}}\right)^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}e^{{\frac {2u}{1+u}}xy-{\frac {u^{2}}{1-u^{2}}}(x-y)^{2}}.$$

Функция ( x , y ) → E ( x , y ; u ) является двумерной гауссовой плотностью вероятности на R ² , который, когда u близок к 1, очень сконцентрирован вокруг линии y = x и очень разбросан по этой линии. Отсюда следует, что $$\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\langle f,\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n},g\rangle =\iint E(x,y;u)f(x){\overline {g(y)}}\,dx\,dy\to \int f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\langle f,g\rangle$$когда f и g непрерывны и имеют компактный носитель.

Отсюда следует, что f можно выразить через функции Эрмита как сумму ряда векторов из L ² ( R ) , а именно, $$f=\sum _{n=0}^{\infty }\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}.$$

Чтобы доказать приведенное выше равенство для E ( x , y ; u ) , преобразование Фурье гауссовых функций неоднократно используется : $$\rho {\sqrt {\pi }}e^{-{\frac {\rho ^{2}x^{2}}{4}}}=\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{\rho ^{2}}}}\,ds\quad {\text{for }}\rho >0.$$

Полином Эрмита тогда представляется как $$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left({\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds\right)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int (is)^{n}e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds.$$

С помощью этого представления для H _n ( x ) и H _n ( y ) очевидно, что $${\begin{aligned}E(x,y;u)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}\,H_{n}(x)H_{n}(y)e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint \left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n!}}(-ust)^{n}\right)e^{isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint e^{-{\frac {ust}{2}}}\,e^{isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt,\end{aligned}}$$и это дает желаемое разрешение тождественного результата, снова используя преобразование Фурье гауссовских ядер при замене $$s={\frac {\sigma +\tau }{\sqrt {2}}},\quad t={\frac {\sigma -\tau }{\sqrt {2}}}.$$

См. также

• Преобразование Эрмита
• Полиномы Лежандра
• Ядро Мелера
• Функция параболического цилиндра
• Полиномы Романовского
• Неравенства Турана

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 22» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 773. ИСБН  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 .
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1989) [1953], Методы математической физики , том. 1, Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-50447-4
• Эрдели, Артур ; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955), Высшие трансцендентные функции (PDF) , том. II, МакГроу Хилл, ISBN  978-0-07-019546-2
• Федорюк, М.В. (2001) [1994], «Функция Эрмита» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Коорнвиндер, Том Х .; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Ортогональные полиномы» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Лаплас, П.С. (1810), «Записки об определенных интегралах и их применении к вероятностям, и особенно к поиску среды, которая должна быть выбрана между результатами наблюдений», Мемуары Академии наук : 279–347 Сочинений завершено 12 , стр. 357-412 , английский перевод. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine .
• Шохат, Дж.А.; Хилле, Эйнар; Уолш, Джозеф Л. (1940), Библиография по ортогональным полиномам , Бюллетень Национального исследовательского совета, Вашингтон, округ Колумбия: Национальная академия наук - 2000 ссылок на библиографию по полиномам Эрмита.
• Суетин, П.К. (2001) [1994], «Полиномы Эрмита» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Сегё, Габор (1955) [1939], Ортогональные полиномы , Публикации коллоквиума, том. 23 (4-е изд.), Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-1023-1
• Темме, Нико (1996), Специальные функции: введение в классические функции математической физики , Нью-Йорк: Wiley, ISBN  978-0-471-11313-3
• Винер, Норберт (1958) [1933], Интеграл Фурье и некоторые его приложения (переработанная редакция), Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  0-486-60272-9
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж.Н. (1996) [1927], Курс современного анализа (4-е изд.), Лондон: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-58807-2

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с полиномами Эрмита, на Викискладе?
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Эрмита» . Математический мир .
• Научная библиотека GNU — включает C- версию полиномов Эрмита, функций, их производных и нулей (см. также Научную библиотеку GNU ).