Вейвлет-преобразование

Пример 2D дискретного вейвлет-преобразования , используемого в JPEG2000 .

Для более широкого освещения этой темы см. Wavelet .

В математике вейвлет -ряд — это представление интегрируемой с квадратом ( действительной или комплекснозначной ) функции с помощью определенного ортонормированного ряда, генерируемого вейвлетом . В этой статье дается формальное математическое определение ортонормированного вейвлета и интегрального вейвлет-преобразования .

Определение

Функция $\psi \,\in \,L^{2}(\mathbb {R} )$ называется ортонормированным вейвлетом, если его можно использовать для определения гильбертового базиса , то есть полной ортонормированной системы , для гильбертова пространства. $L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$ квадратично интегрируемых функций.

Базис Гильберта строится как семейство функций $\{\psi _{jk}:\,j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} \}$ посредством диадических переводов и расширений ​ $\psi \,$,

$\psi _{jk}(x)=2^{\frac {j}{2}}\psi \left(2^{j}x-k\right)\,$

для целых чисел $j,\,k\,\in \,\mathbb {Z}$.

Если под стандартным внутренним продуктом на $L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$,

$\langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}dx$

это семейство ортонормировано, это ортонормированная система:

${\begin{aligned}\langle \psi _{jk},\psi _{lm}\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{jk}(x){\overline {\psi _{lm}(x)}}dx\\&=\delta _{jl}\delta _{km}\end{aligned}}$

где $\delta _{jl}\,$ это дельта Кронекера .

Полнота удовлетворяется, если каждая функция $f\,\in \,L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$ может быть расширен в базисе как

$f(x)=\sum _{j,k=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}(x)$

при этом под сходимостью ряда понимается сходимость по норме . Такое представление f известно как вейвлет-серия . Это означает, что ортонормированный вейвлет самодуален .

Интегральное вейвлет-преобразование — это интегральное преобразование, определяемое как

$\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\psi \left({\frac {x-b}{a}}\right)}}f(x)dx\,$

Вейвлет -коэффициенты $c_{jk}$ затем даются

$c_{jk}=\left[W_{\psi }f\right]\left(2^{-j},k2^{-j}\right)$

Здесь, $a=2^{-j}$ называется бинарной дилатацией или диадической дилатацией , и $b=k2^{-j}$ это бинарная или диадическая позиция .

Принцип

Фундаментальная идея вейвлет-преобразований заключается в том, что преобразование должно допускать изменения только во времени, но не в форме, что накладывает ограничение на выбор подходящих базисных функций. Ожидается, что изменения во времени будут соответствовать соответствующей частоте анализа базовой функции. На основе принципа неопределенности обработки сигналов,

$\Delta t\Delta \omega \geq {\frac {1}{2}}$

где $t$ представляет время и $\omega$ угловая частота ( $\omega =2\pi f$, где $f$ — обычная частота ).

Чем выше требуемое разрешение по времени, тем ниже должно быть разрешение по частоте. Чем большее расширение окон анализа выбрано, тем больше значение $\Delta t$.

Когда $\Delta t$ большой,

1. Плохое разрешение времени
2. Хорошее разрешение по частоте
3. Низкая частота, большой коэффициент масштабирования

Когда $\Delta t$ маленький

1. Хорошее временное разрешение
2. Плохое разрешение по частоте
3. Высокая частота, малый коэффициент масштабирования

Другими словами, базисная функция $\psi$ можно рассматривать как импульсную характеристику системы, при которой функция $x(t)$ был отфильтрован. Преобразованный сигнал предоставляет информацию о времени и частоте. Следовательно, вейвлет-преобразование содержит информацию, аналогичную кратковременному преобразованию Фурье , но с дополнительными специальными свойствами вейвлетов, которые проявляются при разрешении во времени на более высоких частотах анализа базисной функции. Разница во временном разрешении на возрастающих частотах для преобразования Фурье и вейвлет-преобразования показана ниже. Однако обратите внимание, что разрешение по частоте уменьшается с увеличением частоты, в то время как временное разрешение увеличивается. Это следствие принципа неопределенности Фурье неверно отображено на рисунке.

Это показывает, что вейвлет-преобразование хорошо обеспечивает временное разрешение высоких частот, тогда как для медленно меняющихся функций частотное разрешение является замечательным.

Другой пример: анализ трех наложенных друг на друга синусоидальных сигналов. $y(t)\;=\;\sin(2\pi f_{0}t)\;+\;\sin(4\pi f_{0}t)\;+\;\sin(8\pi f_{0}t)$ с STFT и вейвлет-преобразованием.

Вейвлет-сжатие

См. также: Дискретное вейвлет-преобразование.

Вейвлет-сжатие — это форма сжатия данных, хорошо подходящая для сжатия изображений (иногда также сжатия видео и аудио ). Известные реализации — JPEG 2000 , DjVu и ECW для неподвижных изображений, JPEG XS , CineForm от BBC и Dirac . Цель состоит в том, чтобы хранить данные изображения в файле как можно меньше места . Вейвлет-сжатие может быть как без потерь , так и с потерями .

Используя вейвлет-преобразование, методы вейвлет-сжатия подходят для представления переходных процессов , таких как перкуссионные звуки в аудио или высокочастотные компоненты в двумерных изображениях, например, изображения звезд на ночном небе. Это означает, что переходные элементы сигнала данных могут быть представлены меньшим объемом информации, чем было бы в случае, если бы какое-либо другое преобразование, например более распространенное дискретное косинусное преобразование использовалось .

Дискретное вейвлет-преобразование успешно применяется для сжатия сигналов электрокардиографа (ЭКГ). В данной работе используется высокая корреляция между соответствующими вейвлет-коэффициентами сигналов последовательных сердечных циклов с использованием линейного прогнозирования.

Вейвлет-сжатие неэффективно для всех типов данных. Вейвлет-сжатие хорошо обрабатывает переходные сигналы. Но гладкие периодические сигналы лучше сжимаются с помощью других методов, в частности, традиционного гармонического анализа в частотной области с преобразованиями Фурье . Сжатие данных, имеющих как переходные, так и периодические характеристики, может быть выполнено с помощью гибридных методов, в которых используются вейвлеты наряду с традиционным гармоническим анализом. Например, Vorbis аудиокодек в основном использует модифицированное дискретное косинусное преобразование для сжатия звука (который обычно является плавным и периодическим), однако позволяет добавить банк гибридных вейвлет-фильтров для улучшения воспроизведения переходных процессов.

См. «Дневник разработчика x264: Проблемы с вейвлетами» (2010 г.), где обсуждаются практические вопросы современных методов использования вейвлетов для сжатия видео.

Метод

Сначала применяется вейвлет-преобразование. В результате получается столько коэффициентов , сколько пикселей в изображении (т. е. сжатие еще не производится, поскольку это всего лишь преобразование). Эти коэффициенты затем можно будет легче сжать, поскольку информация статистически сконцентрирована всего в нескольких коэффициентах. Этот принцип называется кодированием с преобразованием . После этого коэффициенты квантуются , а квантованные значения подвергаются энтропийному кодированию и/или кодированию длины серии .

В некоторых одномерных и двумерных приложениях вейвлет-сжатия используется метод, называемый «вейвлет-следы».

Оценка

Требование к сжатию изображений

Для большинства естественных изображений спектральная плотность нижних частот выше. В результате информация низкочастотного сигнала (опорного сигнала) обычно сохраняется, тогда как информация подробного сигнала отбрасывается. С точки зрения сжатия и реконструкции изображений вейвлет при выполнении сжатия изображений должен соответствовать следующим критериям:

• Возможность преобразовать более оригинальное изображение в опорный сигнал.
• Реконструкция с высочайшей точностью на основе опорного сигнала.
• Не должно приводить к появлению артефактов в изображении, восстановленном только по опорному сигналу.

Требование к отклонению смены и поведению звонка

Система сжатия вейвлет-изображений включает в себя фильтры и прореживание, поэтому ее можно описать как систему с линейным сдвигом. Типичная диаграмма вейвлет-преобразования показана ниже:

Система преобразования содержит два фильтра анализа (фильтр нижних частот $h_{0}(n)$ и фильтр верхних частот $h_{1}(n)$), процесс прореживания, процесс интерполяции и два фильтра синтеза ( $g_{0}(n)$ и $g_{1}(n)$). Система сжатия и реконструкции обычно включает в себя низкочастотные компоненты, то есть фильтры анализа. $h_{0}(n)$ для сжатия изображений и фильтров синтеза $g_{0}(n)$ для реконструкции. Чтобы оценить такую ​​систему, мы можем ввести импульс $\delta (n-n_{i})$ и наблюдать за его реконструкцией $h(n-n_{i})$; Оптимальным вейвлетом являются те, которые обеспечивают минимальную дисперсию сдвига и боковые лепестки. $h(n-n_{i})$. Несмотря на то, что вейвлет со строгим отклонением сдвига нереалистичен, можно выбрать вейвлет с лишь небольшим отклонением сдвига. Например, мы можем сравнить дисперсию сдвига двух фильтров:

Биортогональные фильтры для вейвлет-сжатия изображений

		Длина	Коэффициенты фильтра	Регулярность
Вейвлет-фильтр 1	Н0	9	.852699, .377402, -.110624, -.023849, .037828	1.068
	G0	7	.788486, .418092, -.040689, -.064539	1.701
Вейвлет-фильтр 2	Н0	6	.788486, .047699, -.129078	0.701
	G0	10	.615051, .133389, -.067237, .006989, .018914	2.068

Наблюдая за импульсными характеристиками двух фильтров, мы можем сделать вывод, что второй фильтр менее чувствителен к местоположению входа (т.е. это вариант с меньшим сдвигом).

Еще одной важной проблемой сжатия и реконструкции изображений является колебательное поведение системы, которое может привести к серьезным нежелательным артефактам в реконструированном изображении. Чтобы добиться этого, вейвлет-фильтры должны иметь большое отношение пика к боковым лепесткам.

До сих пор мы обсуждали одномерную трансформацию системы сжатия изображений. Эту проблему можно распространить на два измерения, при этом предлагается более общий термин — смещаемые многомасштабные преобразования.

характеристики

Как упоминалось ранее, импульсный отклик можно использовать для оценки системы сжатия/восстановления изображения.

Для входной последовательности $x(n)=\delta (n-n_{i})$, опорный сигнал $r_{1}(n)$ после одного уровня разложения $x(n)*h_{0}(n)$ подвергается децимации в два раза, в то время как $h_{0}(n)$ представляет собой фильтр нижних частот. Аналогично, следующий опорный сигнал $r_{2}(n)$ получается путем $r_{1}(n)*h_{0}(n)$ проходит децимацию в два раза. После L уровней разложения (и децимации) ответ анализа получается путем сохранения одного из каждых $2^{L}$ образцы: $h_{A}^{(L)}(n,n_{i})=f_{h0}^{(L)}(n-n_{i}/2^{L})$.

С другой стороны, чтобы восстановить сигнал x(n), мы можем рассмотреть опорный сигнал $r_{L}(n)=\delta (n-n_{j})$. Если деталь сигнализирует $d_{i}(n)$ равны нулю для $1\leq i\leq L$, то опорный сигнал на предыдущем этапе ( $L-1$ этап) есть $r_{L-1}(n)=g_{0}(n-2n_{j})$, который получается интерполяцией $r_{L}(n)$ и свертки с $g_{0}(n)$. Аналогично процедура повторяется для получения опорного сигнала. $r(n)$ на этапе $L-2,L-3,....,1$. После L итераций вычисляется импульсная характеристика синтеза: $h_{s}^{(L)}(n,n_{i})=f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-n_{j})$, который связывает опорный сигнал $r_{L}(n)$ и восстановленный сигнал.

Чтобы получить общую систему анализа/синтеза уровня L, ответы анализа и синтеза объединяются, как показано ниже:

$h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})=\sum _{k}f_{h0}^{(L)}(k-n_{i}/2^{L})f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-k)$.

Наконец, отношение пика к первому боковому лепестку и среднее значение второго бокового лепестка общей импульсной характеристики. $h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})$ может использоваться для оценки эффективности сжатия вейвлет-изображения.

с преобразованием Фурье и частотно-

Трансформировать	Представительство	Вход
Преобразование Фурье	${\hat {X}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}\,dt$	$f$ : частота
Частотно-временной анализ	$X(t,f)$	$t$ время; $f$ частота
Вейвлет-преобразование	$X(a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\Psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)}}x(t)\,dt$	$a$ масштабирование; $b$ коэффициент временного сдвига

Вейвлеты имеют некоторые небольшие преимущества перед преобразованиями Фурье в сокращении вычислений при исследовании определенных частот. Однако они редко бывают более чувствительными, и действительно, обычный вейвлет Морле математически идентичен кратковременному преобразованию Фурье с использованием оконной функции Гаусса. Исключение составляет поиск сигналов известной, несинусоидальной формы (например, сердцебиения); в этом случае использование согласованных вейвлетов может превзойти стандартный анализ STFT/Morlet.

Другие

Вейвлет-преобразование может предоставить нам частоту сигналов и время, связанное с этими частотами, что делает его очень удобным для применения во многих областях. Например, обработка сигналов ускорений для анализа походки, для обнаружения неисправностей, для разработки кардиостимуляторов малой мощности, а также для сверхширокополосной (СШП) беспроводной связи.

1. Дискретизация $c-\tau$ ось

   Применили следующую дискретизацию частоты и времени:

   ${\begin{aligned}c_{n}&=c_{0}^{n}\\\tau _{m}&=m\cdot T\cdot c_{0}^{n}\end{aligned}}$

   Приводя к вейвлетам вида, дискретная формула для базового вейвлета:

   $\Psi (k,n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[{\frac {k-mc_{0}^{n}}{c_{0}^{n}}}T\right]={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]$

   Такие дискретные вейвлеты можно использовать для преобразования:

   $Y_{DW}(n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \sum _{k=0}^{K-1}y(k)\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]$

2. Реализация через БПФ (быстрое преобразование Фурье)

   Как видно из представления вейвлет-преобразования (показано ниже)

   $Y_{W}(c,\tau )={\frac {1}{\sqrt {c}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }y(t)\cdot \Psi \left({\frac {t-\tau }{c}}\right)\,dt$

   где $c$ масштабный коэффициент, $\tau$ представляет собой коэффициент временного сдвига

   и, как уже упоминалось в этом контексте, вейвлет-преобразование соответствует свертке функции $y(t)$ и вейвлет-функция. Свертку можно реализовать как умножение в частотной области. При этом следующий подход к реализации приводит к:

   • Фурье-преобразование сигнала $y(k)$ с БПФ
   • Выбор дискретного масштабного коэффициента $c_{n}$
   • Масштабирование вейвлет-базиса по этому коэффициенту $c_{n}$ и последующее БПФ этой функции
   • Умножение на преобразованный сигнал YFFT первого шага
   • Обратное преобразование произведения во временную область приводит к $Y_{W}(c,\tau )$ для различных дискретных значений $\tau$ и дискретное значение $c_{n}$
   • Вернемся ко второму шагу, пока все дискретные значения масштабирования для $c_{n}$обрабатываются
   Существует множество различных типов вейвлет-преобразований для конкретных целей. См. также полный список преобразований, связанных с вейвлетами , но наиболее распространенные перечислены ниже: вейвлет «Мексиканская шляпа» , вейвлет Хаара , вейвлет Добеши , треугольный вейвлет.
3. Обнаружение неисправностей в электроэнергетических системах.
4. Локально адаптивная статистическая оценка функций, гладкость которых существенно варьируется в зависимости от области, или, более конкретно, оценка функций, которые разрежены в вейвлет-области.

-

Для обработки временных сигналов в реальном времени важно, чтобы вейвлет-фильтры не обращались к значениям сигналов из будущего, а также чтобы можно было получить минимальные временные задержки. Представления вейвлетов, причинных временем, были разработаны Szu et al. и Линдеберг, причем последний метод также включает в себя рекурсивную по времени реализацию, эффективно использующую память.

Синхронно-сжатое преобразование

Синхронно-сжатое преобразование может значительно улучшить временное и частотное разрешение частотно-временного представления, полученного с использованием обычного вейвлет-преобразования.

См. также

• Биномиальный QMF (также известный как вейвлет Добеши )
• Биортогональный почти койфлетный базис , который показывает, что вейвлет для сжатия изображений также может быть почти койфлетным (почти ортогональным)
• Преобразование чирплета
• Комплексное вейвлет-преобразование
• Преобразование с постоянной Q
• Непрерывное вейвлет-преобразование
• Вейвлет Добеши
• Дискретное вейвлет-преобразование
• Формат DjVu использует вейвлет-алгоритм IW44 для сжатия изображений.
• Двойной вейвлет
• ECW изображений на основе вейвлетов, — формат геопространственных разработанный для скорости и эффективности обработки.
• Вейвлет Габора
• Вейвлет для волос
• JPEG 2000 на основе вейвлетов. сжатия изображений — стандарт
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Вейвлет Морле
• Мультиразрешительный анализ
• MrSID , формат изображения, разработанный на основе оригинальных исследований вейвлет-сжатия в Национальной лаборатории Лос-Аламоса (LANL).
• S-преобразование
• Скалеограммы — тип спектрограммы , генерируемой с использованием вейвлетов вместо кратковременного преобразования Фурье.
• Установить разделение в иерархических деревьях
• Кратковременное преобразование Фурье
• Стационарное вейвлет-преобразование
• Частотно-временное представление
• Вейвлет

Внешние ссылки

• Амара Грапс (июнь 1995 г.). «Введение в вейвлеты» . IEEE Вычислительная наука и инженерия . 2 (2): 50–61. дои : 10.1109/99.388960 .
• Роби Поликар (12 января 2001 г.). «Урок по вейвлетам» .
• Краткое введение в вейвлеты Рене Пушингера